1 / 15

Wykład 5

Wykład 5. Zbiory uporządkowane. x  x. Definicja. jeśli x  y i y  x, to x=y. jeśli x  y i y  z, to x  z. Relację binarną  w zbiorze X nazywamy porządkiem (częściowym porządkiem) wttw jest to relacja zwrotna, antysymetryczna i przechodnia.

whitby
Download Presentation

Wykład 5

An Image/Link below is provided (as is) to download presentation Download Policy: Content on the Website is provided to you AS IS for your information and personal use and may not be sold / licensed / shared on other websites without getting consent from its author. Content is provided to you AS IS for your information and personal use only. Download presentation by click this link. While downloading, if for some reason you are not able to download a presentation, the publisher may have deleted the file from their server. During download, if you can't get a presentation, the file might be deleted by the publisher.

E N D

Presentation Transcript


  1. Wykład 5 Zbiory uporządkowane Matematyka Dyskretna, G.Mirkowska PJWSTK

  2. x  x Definicja jeśli xy i yx, to x=y jeśli xy i yz, to x  z Relację binarną  w zbiorze X nazywamy porządkiem (częściowym porządkiem) wttw jest to relacja zwrotna, antysymetryczna i przechodnia. Zbiór X wraz z porządkiem  nazywamy zbiorem uporządkowanym. Ozn. <X,  > Przykład 1.<R,  > , 2.< P(X),  >, 3. <N, | > Uwaga Jeśli x  y i x  y, to piszemy x<y. Matematyka Dyskretna, G.Mirkowska PJWSTK

  3. 8 9 7 4 2 3 5 1 Diagramy Hassego powrót Diagramem Hassego relacji porządku  w X nazywamy graf zorientowany (skierowany) G= <V, E>, gdzieV=X oraz (x,y)E wttw x y oraz nie istnieje z, takie że z x i z y i x z  y ( y jest bezpośrednim następnikiem x w sensie relacji ). KonwencjaZwykle nie rysujemy strzałek i jeśli x y i xy, to y znajduje się na grafie Hassego wyżej niż x. Przykład Relacja | w zbiorze {1,2,...9} jest relacją porządku Diagram Hassego Matematyka Dyskretna, G.Mirkowska PJWSTK

  4. 000 001 010 011 100 101 00 01 10 11 01 e Diagram Hassego relacji r w zbiorze S* Przykład Niech S ={0,1}. W zbiorze S * definiujemy relację w1r w2 wttw istnieje zS *, że w1 z = w2 UwagaNiektóre zbiory częściowo uporządkowane nie mają diagramu Hassego, np.: <R,  >. Każdy skończony zbiór częściowo uporządkowany ma diagram Hassego. Matematyka Dyskretna, G.Mirkowska PJWSTK

  5. Przykład Diagram Hassego pewnej relacji Z diagramu Hassego można odczytać pełną informację o opisanej relacji porządku. e f X={a,b,c,d,e,f}a  b a  c a  d b  e b  f c  f a  e a  f a  a b  b c  c d  d e  e f  f b c d a Matematyka Dyskretna, G.Mirkowska PJWSTK

  6. Minima i maksima Niech  będzie relacją porządku w X. Element x nazywamy maksymalnym, jeżeli w X nie istnieje element y większy od x tzn. taki, że x < y. przykład Element x nazywamy minimalnym, jeżeli w X nie istnieje żaden element y taki, że y < x. Uwaga W diagramie Hassego relacji  elementy maksymalne znajdują się na górze a elementy minimalne na dole grafu. Matematyka Dyskretna, G.Mirkowska PJWSTK

  7. Definicje c.d. Jeżeli x  x0 dla wszystkich x X, to x0 nazywamy elementem największym zbioru X. Jeżeli x0  x dla wszystkich x X, to x0 nazywamy elementem najmniejszym zbioru X. Uwaga W zbiorze X może być więcej niż jeden element maksymalny lub minimalny ale jest co najwyżej jeden element największy i co najwyżej jeden element najmniejszy. Matematyka Dyskretna, G.Mirkowska PJWSTK

  8. Kresy Sup(A) Niech  będzie relacją porządku w X oraz niech A będzie podzbiorem X. Ograniczeniem górnym zbioru A w X nazywamy taki element x0  X, że x  x0 dla wszystkich x  A. Najmniejsze ograniczenie górne zbioru A nazywamy kresem górnym(supremum). Ograniczeniem dolnym zbioru A w X nazywamy taki element x0  X, że x0  x dla wszystkich x  A. Największe ograniczenie dolne zbioru A nazywamy kresem dolnym (infimum). Inf(A) Matematyka Dyskretna, G.Mirkowska PJWSTK

  9. Przykład Rozważmy relacje  w N : x  y wttw x jest dzielnikiem y. Jest to relacja porządku. Sup(n,m)= najmniejsza wspólna wielokrotność liczb n, m Co jest kresem górnym zbioru {n,m}, tzn. sup{n,m}? Inf{n,m}=największy wspólny dzielnik A kres dolny? Tzn., inf{n,m} =? Matematyka Dyskretna, G.Mirkowska PJWSTK

  10. Przykład Sześcian kolorów RGB Krata RG RB GB Dla dowolnych dwóch elem. istnieje kres górny i kres dolny. R G B Matematyka Dyskretna, G.Mirkowska PJWSTK

  11. Porządek liniowy łańcuch • Relację binarną  w zbiorze X nazywamy porządkiem liniowym wttw  jest porządkiem częściowym oraz ma następującą własność spójności: dla dowolnych x, y  X, • albo x  y albo y  x albo x = y Przykład Zbiór liczb wymiernych jest liniowo uporządkowany przez relację niewiększości  . Co więcej jest to zbiór liniowo uporządkowany gęsto. Twierdzenie W każdym niepustym zbiorze liniowo uporządkowanym i skończonym istnieje element najmniejszy (pierwszy) i element największy(ostatni). Matematyka Dyskretna, G.Mirkowska PJWSTK

  12. Porządek leksykograficzny Przykład Niech będą zbiory (X1, 1), (X 2, 2), ..., (X n, n), liniowo uporządkowne. Definiujemy relację w  produkcie (X1 X 2 .... ,X n) następująco: (x1, x2,...xn)  (t1,..., tn) wttw istnieje takie i, że x1 = t1,...,x2 =t2,...xi-1= ti-1, oraz xi itixi ti PrzykładXi ={0,1,...,9}dla i =1,2,...5 Wtedy 1234 51234612435 13245 23245 Tak zdefiniowana relacja jest relacją porządku liniowego w produkcie (X1 X 2 .... ,X n). Matematyka Dyskretna, G.Mirkowska PJWSTK

  13. Porządek słownikowy Niech będzie dany alfabet S oraz pewna relacja  liniowego porządku w S. Rozważamy relację  w zbiorze słów S* zdefiniowaną następująco: a1a2...an b1... bm wttw n<m i a1 = b1, a2 =b2,...an= bn, albo istnieje takie i, że a1 = b1,a2 =b2,...ai-1= bi-1, oraz ai< bi kos  kosmita  kosmologia  kosmonauta  kosmos Matematyka Dyskretna, G.Mirkowska PJWSTK

  14. Lemat Kuratowski (1922) - Zorn(1935)Jeżeli w zbiorze uporządkowanym X dla każdego łańcucha istnieje ograniczenie górne, to w X istnieje element maksymalny. Gödel 1940 niesprzeczność Cohen1963niezależność Aksjomat wyboru Matematyka Dyskretna, G.Mirkowska PJWSTK

  15. Dobry porządek Relację binarną  w zbiorze X nazywamy dobrym porządkiem wttw  jest liniowym porządkiem oraz dla dowolnego niepustego podzbioru A zbioru X istnieje element minimalny. Przykłady (1) Zbiór <N,  > jest dobrze uporządkowany przez relację niewiększości  .(2) Każdy zbiór skończony, liniowo uporządkowany jest dobrze uporządkowany.(3) Zbiór liczb rzeczywistych nie jest dobrze uporządkowany przez relację niewiększości . Matematyka Dyskretna, G.Mirkowska PJWSTK

More Related