Mérés és adatgyűjtés

1. Mérés és adatgyűjtés Mérési hibák A mérési eredmény megadása Mingesz Róbert 2014. február 20.

2. Tartalom • A statisztika alapjai • Mérési hibák • A mérési eredmény megadása • Hibaterjedés

3. A statisztika alapjai

4. Fogalmak • Tömegjelenség: azonos körülmények között akárhányszor lejátszódhat • Véletlen jelenség: a kimenetelét a figyelembe vehető tényezők összessége nem határozza meg egyértelműen • Véletlen kísérlet: egy véletlen tömegjelenséget mesterségesen előidézünk

5. Fogalmak • Elemi esemény: egy kísérlet egy lehetséges kimenetele • Eseménytér: az összes lehetséges elemi eseményből álló halmaz • Esemény: a kísérlet során vagy bekövetkezik, vagy nem. Az eseménytér részhalmaza

6. Valószínűség • Egy A esemény valószínűsége (P(A)): a kísérletet (végtelen) sokszor elvégezve, az esetek hány százalékában következik be az A esemény.

7. Példa • Kockadobás eredménye: ’5’:Kiszámolás: kombinatorika • Kockadobás eredménye: ’5’ vagy ’6’:

8. Események uniója és metszete • Unió: legalább az egyik esemény bekövetkezik • Metszet: mindkét esemény bekövetkezik • Mindig igaz: • Egymást kizáró események esetén:

9. Események függetlensége • Az egyik esemény bekövetkezése nem befolyásolja a másik bekövetkezési valószínűségét. Ekkor: • Pl. 1. dobókocka ’5’, másik dobókocka ’6’

10. Feltételes valószínűség • Feltéve, hogy B bekövetkezik, mi a valószínűsége, hogy A is bekövetkezik • Kapcsolódik: Bayes Formula

11. Valószínűségi változó • Olyan mennyiség, amelynek számértéke valamilyen véletlen esemény kimenetelétől függ. • Pl: • Kockadobás eredménye: • Ember → magassága

12. Valószínűségi változók típusa • Diszkrét: Megszámlálhatóan sok lehetséges érték,minden egyes értékhez egy valószínűséget lehet hozzárendelni. • pl. pénzfeldobás eredménye • Folytonos: Értékei folytonosan kitöltenek egy intervallumot. • pl. tojás tömege

13. Relatív gyakoriság • Diszkrét valószínűségi változó jellemzése:az egyes értékekhez hozzárendelt valószínűség • Ábrázolás: hisztogramon

14. Sűrűségfüggvény • Folytonos valószínűségi változó jellemzése pl.:

15. Valószínűségi változók jellemzői

16. Várható érték • A valódi értékkel azonosítjuk. • Diszkrét eset: • Folytonos eset:

17. Példa • Dobókocka várható értéke:

18. A várható érték tulajdonságai • Konstanssal való szorzás: • Valószínűségi változók összege:

19. Szórás • Mennyire térnek el az egyes eredmények az átlagtól. • Diszkrét eset: • Folytonos eset:

20. Példa • Dobókocka eredményének szórása:

21. Szórás tulajdonsága • Konstanssal való szorzás: • Valószínűségi változók összegecsak, ha az egyes értékek függetlenek egymástól:

22. Sokaság és minta • Statisztikai sokaság: objektumok összessége, mindegyik objektumhoz tartozik egy numerikus jellemző (valószínűségi változó) • Pl.: emberek magassága • Megfigyelés (mérés): a sokaságból kiválasztunk egy halmaztmintavételezés→minta • Pl. egy osztályban lévő emberek

23. Becslés • A sokaság tulajdonságaira (paramétereire) következtetünk a minta adatai (jellemzői) alapján • Becslés: • Torzítatlan becslés: • Konzisztens becslés: • Becslési módszerek • Legkisebb négyzetek módszere • Maximum-likelihood- (legnagyobb valószínűség) módszer

24. Gauss-eloszlás

25. Gauss-eloszlás (Normális eloszlás)

26. Normalizált Gauss-eloszlás

27. Centrális határeloszlás-tétel • Sok, független valószínűségi változó összegének eloszlása közelít a Gauss-eloszláshoz • Következmény: a természetben előforduló jelenségek nagy része Gauss-eloszlást követ

28. Mérési hibák

29. Mérési hibák típusai A méréseket mindig hiba terheli→ a mért érték eltér a valódi értéktől • Determinisztikus hibák • Véletlenszerű hibák • Durva mérési hiba

30. Determinisztikus hibák (rendszeres mérési hibák) • okok: • nullponthiba • skálahiba • hőmérséklet hatása a mérésre • ... • Előre meghatározott → kompenzálhatóKompenzálni kell!

31. Véletlenszerű hiba (mérési bizonytalanság) • minden mérésnél más és más értékű • nem megjósolható → nem kompenzálható • okok: • zavarforrások • hőmérsékletingadozás • ... • kezelés: statisztikai módszerek

32. Durva mérési hiba • Jelentős eltérés a várt értéktől • Okok: • figyelmetlenség • tévedés • hibás érintkezések • hibás műszerek • ... • Ki kell szűrni

33. Mérési hibák összehasonlítása

34. Mérések hibája Abszolút hiba Hi Relatív hibahi általában %-ban adjuk meg Sok esetben a hiba abszolútértékét használjuk ahol: • az aktuális mért érték • a helyes érték(esetleg átlag)

35. Példa • Egy mérés eredménye: 3,55 m • A valódi érték: 3,50 m • Abszolút hiba: • Relatív hiba:

36. Mérési eredmény megadása

37. Valószínűségi változók a mérésekben • Maga a mért mennyiség véletlenszerű • pl. emberek magassága • A mért mennyiséghez egy véletlenszerű zaj adódik hozzá • pl. csillag mért intenzitása

38. Mérési hibák következménye • A mérés során kapott értékek eltérnek a fizikai mennyiség valódi értékétől • Determinisztikus hiba: • korrigálható • korrigálni kell! • Statisztikus hiba • nem kiszámítható • nem korrigálható • kezelés: statisztikai módszerrel

39. A mérési eredmény megadása • Megadunk egy intervallumot: • : valódi érték (várható érték) • : mért adat • : a hiba nagyságát jelző konfidencia-intervallumA valódi érték a megadott intervallumon belül van valamekkora p valószínűséggel. • Szignifikanciaszint: annak az esélye, hogy tévedünk (a valódi érték az intervallumon kívül van)

40. Ismert szórás esetén • λ meghatározása: • Csebisev-egyenlőtlenség • Általában feltételezzük, hogy a mérési hiba normál eloszlású

41. Normál eloszlású hiba • ahol: F a normális eloszlás eloszlásfüggvénye: • λ értéke: • pl:

42. N mérési adat, σ ismert • Valódi érték becslése: átlag (középérték)Jobb becslés mint egyetlen kiválasztott adat • Az átlag konzisztens és torzítatlan becslés • A mérési adatok alapján számolt középérték is ingadozik

43. Az átlag szórása • Ha a mérési hibák egymástól függetlenek:

44. N mérési adat, σ ismert • A mérési eredmény megadása: • Fontos feltétel: az egymás utáni mérések hibái egymástól függetlenek

45. Korrigált empirikus szórás • Nem ismerjük: valódi érték, szórás • Szórás becslése a mérési adatok alapján: Korrigált empirikus szórás • konzisztens, torzítatlan becslés

46. N mérési adat, σismeretlen • Korrigált empirikus szórás használata • Gauss-eloszlás helyett t-eloszlás

47. λ, tN-1 meghatározása • Statisztikai programcsomagok: beépített függvény • Táblázat

48. Szignifikanciaszint megválasztása • Szempontok:előírások, szokások, tévedés költsége

49. Összefoglaló táblázat • 1 mérés, σ ismert • N mérés, σ ismert • N mérés, σismeretlen

50. Példák