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第四章 基本图形生成算法 ( 一 )

第四章 基本图形生成算法 ( 一 ). 基本图形生成算法. 图形的扫描转换 ：确定象素几何与颜色，用于显示图形的过程； 本章讨论 基本图形的扫描转换 问题： 点、直线、圆、椭圆的扫描转换； 二维图形（多边形）的填充； 字符的表示及输入、输出； 图形的裁剪和反走样； 图形扫描转换步骤： 1 ）确定有关象素； 2 ）用图形的颜色或其它属性，对象素进行某种写操作； 图元的生成 : 完成图元的参数表示形式（由图形软件包的使用者指定）到点阵表示形式（光栅显示系统刷新时所需的表示形式）的转换。也称扫描转换图元。. 点的扫描转换.

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第四章 基本图形生成算法 ( 一 )

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  1. 第四章 基本图形生成算法 (一)

  2. 基本图形生成算法 • 图形的扫描转换：确定象素几何与颜色，用于显示图形的过程； • 本章讨论基本图形的扫描转换问题： • 点、直线、圆、椭圆的扫描转换； • 二维图形（多边形）的填充； • 字符的表示及输入、输出； • 图形的裁剪和反走样； • 图形扫描转换步骤： • 1）确定有关象素； • 2）用图形的颜色或其它属性，对象素进行某种写操作； • 图元的生成:完成图元的参数表示形式（由图形软件包的使用者指定）到点阵表示形式（光栅显示系统刷新时所需的表示形式）的转换。也称扫描转换图元。

  3. 点的扫描转换 • 定义：将图形区域上的数学点(x,y)->(x’,y’)的象素点； • 扫描转换方法： • 方法一： • X’=Floor(x), y’=Floor(y) • 取x,y的整数部分作为x’,y’ • 例：P1(1.7,0.8)->(1,0); P2(2.2,1.3),P3(2.8,1.9)->(2,1) • 方法二： • X’=Floor(X+0.5),Y’=Floor(Y+0.5) • 即(x,y)所在的坐标系统的原点放在象素（0，0）的中心； • 所有满足X’-0.5≤X<X’+0.5和Y’-0.5 ≤Y<Y’+0.5的点都映射在象素点(X’,Y’)处； • 例：P1,p2->(2,1),p3->(3,2)

  4. 主要内容： • 直线的扫描转换 • 圆与椭圆的扫描算法 • 区域填充 • 线宽与线型的处理 • 字符 • 裁剪 • 反走样

  5. 直线的扫描转换 • 计算机图形学中的一条直线通常指一条线段。 • 直线的扫描转换：确定一组有限象素，显示出来的过程； • 线段表示方程：y = kx + b（斜截式方程） • 斜截式方程不适合垂直线； • 水平线、垂直线、对角线（∣k∣=1）作为特殊直线考虑； • 直线扫描算法： • 直接使用直线方程 • 数值微分算法 • 中点画线法 • Bresenham画线算法

  6. 直线的扫描转换－直接使用直线方程 • 最简单的方法； • 步骤： • 1、将P1,P2分别转换为象素坐标（x1’,y1’）,（x2’,y2’）; • 2、设置k=(y2’-y1’)/(x2’-x1’)和b=y1’-kx1’; • 3、如果∣k∣≤1，对(x1’,x2’)开区间的整数x代入方程得到y－》得到(x,y)； • 3、如果∣k∣>1，对(y1’,y2’)开区间的整数y代入方程得到x－》得到(x,y); • 优点：简单 • 缺点：浮点运算（乘法和加法）－》计算复杂；

  7. 直线的扫描转换－数值微分算法(DDA,Digital Differential Analyzer)

  8. 直线的扫描转换－数值微分算法(DDA,Digital Differential Analyzer) 复杂度：乘法 + 加法 + 取整

  9. 直线的扫描转换－数值微分算法(DDA,Digital Differential Analyzer) • 优点：比直接用直线方程的方法快：没有浮点乘法； • 缺点：求每个连续点时，需要浮点加法；加0.5舍尾取整，不利于硬件实现；表示长直线时，由于精度限制－》累计误差；

  10. 直线的扫描转换－中点画线法 • 目标：消除DDA算法中的浮点运算（浮点数取整运算，不利于硬件实现；DDA算法效率低）； • 原理： • 1、确定与直线距离最近的点P； • 2、利用点P确定下一个点； • 条件：同DDA算法 • 假设斜率： • 直线段的隐式方程

  11. 直线的扫描转换－中点画线法 • 直线的正负划分性 直线上方点：F( x，y)＞0 直线下方点: F( x，y)＜0

  12. P2 P P1 直线的扫描转换－中点画线法 • 问题：判断距直线最近的下一个象素点 构造判别式：d=F(M)=F(Xp+1,Yp+0.5) 由d＞0，＜0可判定下一个象素. 如果：d = 0? 任选一个,(约定取正右方P1)；

  13. P2 P1 P 直线的扫描转换－中点画线法 • 判定再下一个象素，分两种情形考虑： • 1）若d≥0，取正右方象素P1，再判定下一个象素，由：d1=F(Xp+2,Yp+0.5)=a(Xp+2)+b(Yp+0.5)+c = d + a，d的增量是a; • 2）若d＜0，取右上方象素P2，再下一个象素由：d2=F(Xp+2,Yp+1.5)=d + a + b, d的增量为a + b

  14. 直线的扫描转换－中点画线法 • d的初始值：第一个象素应取左端点（x0,y0） • d0 = F(X0+1,Y0+0.5)=F(X0,Y0)+a+0.5b • 因(X0,Y0)在直线上，F(X0，Y0)=0,所以，d0=a+0.5b • d的增量都是整数，只有初始值包含小数，可以用2d代替d,以摆脱浮点数, 2a改写成a + a。 • 算法中只有整数变量，不含乘除法，可用硬件实现。 • 程序：见PP168 • 自习书中pp168的例子；

  15. 直线的扫描转换－Bresenham画线算法 • 算法基本思想：每次迭代在增量最大方向上均走一步，其方向由增量的正负而定，另一方向上是否也走，取决于计算出来的点与直线上的点的误差，根据误差决定是否走一步。例如取X方向为最大增量方向，则有： • 绘制直线时点的选取:

  16. 设偏差为 当 时，计算的点（实际直线上的点）在 中点的上方，取 当 < 0 时，计算的点（实际直线上的点）在 中点的下方，取 整理后，有 直线的扫描转换 －Bresenham画线算法 • 偏差计算：

  17. 直线的扫描转换 －Bresenham画线算法 误差 • 偏差的递推关系： 因为 有

  18. 直线的扫描转换 －Bresenham画线算法 • 算法优点： • 快速增量算法； • 要获得准确的数学结果，只需通过整数的加、减法和乘2运算； • 计算机中乘2可以容易的通过算术移位实现； • 直线的扫描转换－小结 • 前面介绍的数值微分法、中点画线法以及Bresenham算法，它们各有优缺点。因此在使用不同的图形输设备时要选用最适合于该设备的方法。

  19. 直线的扫描转换 －Bresenham画线算法 • 习题： • 给出使用中点画线算法画斜率介于0到45度之间的直线所需的步骤。 • 解答： • 1、计算初始值：dx=x2-x1; dy = y2 – y1; lnc1=2dy; lnc2 = 2(dy – dx)；d = lnc1-dx • 2、设置左下方的端点坐标为（x,y）,同时将Xend设为x的最大值。如果dx<0,则x=x2,y=y2,Xend=x1. 如果dx>0，则x=x1,y=y1,Xend=x2; • 3、在当前（x，y）坐标画一个点； • 4、判断整条线段是否已经画完，如果x=Xend，则停止； • 5、计算下一个象素的位置，如果d<0，那么d=d+lnc1，如果d>=0,则d=d+lnc2,且y=y+1; • 6、增加x:x=x+1; • 7、在当前的(x,y)坐标画一个点； • 8、转到步骤4；

  20. 主要内容： • 直线的扫描转换 • 圆与椭圆的扫描算法 • 多边形的扫描转换 • 区域填充 • 线宽与线型的处理 • 字符 • 裁剪 • 反走样

  21. 圆的扫描转换 • 处理对象：圆心在原点的圆弧 • 圆的八路对称性：每隔45度对称计算圆上的点；

  22. 圆的扫描转换 • 两种直接离散方法： 离散点: 离散角度: • 开根，三角函数运算，计算量大，不可取。

  23. 圆的扫描转换 • 高效画圆方法：避免三角计算和乘方计算，计算只涉及整数的加减法和乘2运算：中点法和Bresenham算法； • 圆弧的正负划分性 圆弧外的点：F(X，Y)＞0 圆弧内的点：F(X，Y)＜0

  24. P P1 P2 圆的扫描转换(中点算法) • 生成圆弧的中点算法:利用圆的对称性，只须讨论1/8圆 • 考虑对象：第二个八分圆， • 第一象限的八分之一圆弧

  25. P P1 P2 圆的扫描转换(中点算法) • 问题：与直线情形类似; • 圆弧的隐函数： F(X,Y)=X2+Y2-R2=0 切线斜率k为[-1,0] • 中点M=(Xp+1,Yp - 0.5), 当F(M)＜0时，M在圆内，说明P1距离圆弧更近，取P1； 当F(M)＞0时，P取P2

  26. 圆的扫描转换(中点算法) • 构造判别式 d=F(M)=F(Xp+1,Yp-0.5)=(Xp+1)2+(Yp-0.5)2-R2 1）若d＜0，取P1，再下一个象素的判别式为： d1=F(Xp+2,Yp-0.5)=d+2Xp+3， 沿正右方向，d的增量为2Xp+3； 2）若d≥0，取P2，再下一个象素的判别式为： d2=F(Xp+2,Yp-1.5)=d+(2Xp+3)+(-2Yp+2) 沿右下方向，d的增量为2(Xp-Yp)+5 • d的初始值(在第一个象素(0,R)处)： d0=F(1,R-0.5)=(0+1)×(0+1)+(R-0.5)×(R-0.5)-R×R=1.25-R • 算法中有浮点数：用e=d-0.25代替d0：少0.25不改变d的符号，也不影响以后的扫描转换过程：d只在后面计算中整数递增；

  27. 圆的扫描转换(中点算法) 初始化运算d0 = 1.25 – R 对应于 e0= 1- R 判别式 d < 0 对应于 e < -0.25 又因为：e的初值e0为整数，运算过程中的分量也为整数， 故e始终为整数 所以： e < -0.25 等价于 e < 0 • 程序见pp170（完全用整数实现）

  28. H（x+1，y） (0,R) （x，y） D（x+1，y-1） 图1 V（x，y-1） 圆的扫描转换(Bresenham 算法) • 为讨论方便，仅考虑圆心在原点，半径为R的第一象限上的一段圆弧。且取（0，R）为起点，按顺时针方向(+x, -y方向)绘制该1/4圆弧（如图1）。 • 算法原理 ：如图2所示，从当前点亮象素（x,y）出发，按顺时针方向生成圆时，最佳逼近该圆的下一个象素只可能为H、D、V三象素之一。H、D、V中距圆周边界距离最小者，即为所求的象素点； • 图2

  29. (x,y) 1 H 2 D V • 图3 5 4 3 圆的扫描转换(Bresenham 算法) • 具体算法： H、D、V三点到圆心的距离平方与圆的半径平方差，即为H、D、V到圆弧距离的一种度量： H = (x+1) 2 + y2 - R2; D = (x+1) 2 + (y-1) 2 - R2; （式1） V = x2 + (y-1) 2 - R2; 为根据这些度量值可确定最佳象素点，首先，将H、D、V与理想圆弧的关系进行分类。如下图所示，存在以下五种情况：

  30. 圆的扫描转换(Bresenham 算法) （见上图） 1）H、D、V全在圆内； 2）H在圆外，D、V在圆内； 3）D在圆上，H在圆外，V在圆内； 4）H、D在圆外，V在圆内； 5）H、D、V全在圆外。 同Bresenham画线算法，按照不同类型，找出误差度量的递推公式，判别它的正、负性即可确定最佳逼近的象素点。 当D < 0,只能为1或2种情况。为确定是H还是D，用如下判别： δHD = |H| - |D| δHD ≤ 0 则应选H，否则选D。

  31. 圆的扫描转换(Bresenham 算法) 对于第2种情况： δHD = H + D = (x+1)2 + y2 - R2 + (x+1)2 + (y-1)2 - R2 =2 D + 2y - 1 对于第1种情况： ∵　y是x的单调递减函数 　　∴　H为下一点亮象素。（见图3） 另，此时H < 0 和 D < 0 H + D = 2D + 2y - 1 < 0 综上两种情况可得如下结论： 在D＜0时，若2（D + y) - 1≤0，则取H，否则取D

  32. 圆的扫描转换(Bresenham 算法) 当D＞0,有4、5两种情况，且最佳象素点为D或V，用如下判别： • δDV = | D |- | V | • δDV ≤0 则应选D，否则选V。（见图3） • 对于第4种情况： δDV = D + V（ D＞0，V＜0） = (x+1)2 + (y-1)2 - R2 + (x)2 + (y-1)2 - R2 = 2(D - x) - 1 • 对于第5种情况： • D,V都在圆外，显然V为所选象素。 • 注意：∵ D ＞0，V＞0 • ∴ D + V = 2(D - x) - 1 ＞ 0

  33. 圆的扫描转换(Bresenham 算法) 综上两种情况可得如下结论： 在 D＞ 0时，若2（ D -x) - 1 ≤0，则取D，否则取V 当D = 0 此时D是最佳象素。 总结上述分析结果：（见图3） 当D ＞ 0， 若 2(D - x) - 1 ＞ 0，取D，否则取V 当D ＜ 0，若 2 (D +y) - 1 ≤0，取H，否则取D 当D = 0， 取D。 关键的问题就是计算 D （见 D的计算公式：式1） 采用增量法，获得D的计算公式：

  34. 圆的扫描转换(Bresenham 算法) 分三种情况：（见图3） • 下一象素为H时 H=(x’, y’)=(x+1,y) D=((x+1)+1)2 +(y-1)2 - R2 =(x+1)2 + (y-1)2 -R2 + 2(x+1) + 1 = D +2(x+1) + 1 • 下一象素为D时 D=(x’, y’)=(x+1,y-1) D=((x+1)+1)2 +((y-1)-1)2 - R2 =(x+1)2 + (y-1)2-R2 + 2(x+1) - 2(y-1) + 1 = D +2(x+1) - 2(y-1) + 2

  35. 圆的扫描转换(Bresenham 算法) • 下一象素为V时 （见图3） V=(x’,y’)=(x,y-1) D=(x+1)2 +((y-1)-1)2 - R2 =(x+1)2 + (y-1)2 -R2 - 2(y-1) + 1 = D - 2(y-1) + 1 有了上述 D的递推计算公式，还需计算出D的初值。 ∵圆弧的起点为（0，R） ∴ D的初值为： D = (0+1)2 +(R-1)2-R2 = 2 (1-R) 程序见pp175

  36. 圆的扫描转换(任意圆心位置的圆) • 上述算法假设圆的圆心在坐标系的原点； • 若圆的圆心在（Xc,Yc）点，则扫描转换算法将SetPixel(x,y)改为SetPixel(x+Xc,y+Yc); • 这样，就能够实现任意圆心位置圆的扫描转换算法；

  37. 圆的扫描转换 • 习题：使用Bresenham算法扫描转换圆的步骤是什么？ • 解答： • 1、设置初始变量(h,k)=圆心坐标；x=0;y=圆的半径r；d=3-2r; • 2、测试整个圆是否已经扫描转换完。如果x>y则停止； • 3、以中心（h,k）为对称点，对当前的(x,y)坐标画8个圆上的点： Plot(x+h,y+k); plot(-x+h,-y+k);plot(y+h,x+k);plot(-y+h,-x+k) Plot(-y+h,x+k);plot(y+h,-x+k);plot(-x+h,y+k);plot(x+h,-y+k); • 4、计算下一个象素的位置，如果d<0,则d=d+4x+6,和x=x+1.如果d>=0,则d=d+4(x-y)+10、x=x+1、y=y-1. • 5、转到步骤2；

  38. 圆的扫描转换 • 习题：当使用8路对称方法从0度到45度或90度到45度的8分圆中生成整个圆时，有些象素被设置或画了两次，这种现象称为重击。请说明如何判断重击发生？ • 解答： • 在初始坐标为（r,0)或(0,r)时的位置。因为（0,r）= （-0,r）, （0,-r）= （-0,-r）, （r,0）= （r,-0）, （-r,0）= （-r,-0）; • 如果最后生成的象素在对角线上，坐标为（ar,ar），其中a约为0.7071,则在(ar,ar)、(-ar,ar)、(ar,-ar)、(-ar,-ar)处会发生重击； • 习题：重击除了浪费时间外还有其它坏处吗？ • 解答： • 通常不会有问题； • 但是如果直接操纵输出设备，可能有问题；

  39. 椭圆的扫描转换 • 四路对称； • 数学上定义椭圆的两种方法： • 多项式定义： • 其中（h,k）为椭圆中心点；a为长轴长；b为短轴长； • 极坐标定义： • 旋转椭圆轴 • 90度旋转： • 其它角度旋转：

  40. 椭圆的扫描转换(中点法) • 中点法：增量算法 • 椭圆的特征：a, b均为整数 • 由于对称性－》讨论第一象限

  41. 椭圆的扫描转换(中点法) • 对于椭圆上的点，有F(x,y)=0； • 对于椭圆外的点，F(x,y)>0； • 对于椭圆内的点，F(x,y)<0； • 椭圆方程：

  42. 椭圆的扫描转换(中点法) 以弧上斜率为－1的点作为分界将第一象限椭圆弧分为上下两部分。如图所示： • 椭圆的特征： 上部分：y分量大 下部分：x分量大

  43. 椭圆的扫描转换(中点法) 法向量： • 椭圆的特征： 若在当前中点，法向量的y分量比x分量大，即 在下一个中点，不等号改变方向，说明椭圆弧从上部分转入下部分。

  44. 椭圆的扫描转换(中点法) • 椭圆的中点算法 • 算法原理 • 1、上半部分： • M（Xi+1，Yi-0.5) • 2、下半部分： • M（Xi+0.5，Yi-1)

  45. 椭圆的扫描转换(中点法) • 先推导上半部分的椭圆绘制公式

  46. Pxi,yi Puxi+1,yi M(xi+1,yi-0.5) Pd(xi+1,yi-1) 椭圆的扫描转换(中点法) • 判别式 • 若d1≤0，取Pu(xi+1,yi) • 若d1>0，取Pd(xi+1,yi-1) 上半部分椭圆弧的绘制原理

  47. 椭圆的扫描转换(中点法) • 误差项的递推 d1≤0：

  48. 椭圆的扫描转换(中点法) • 误差项的递推 d1> 0：

  49. 椭圆的扫描转换(中点法) • 判别式的初始值P0(0,b) M0(1，b-0.5)

  50. 椭圆的扫描转换(中点法) • 再推导椭圆弧下半部分的绘制公式: • 原理:

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