树的查找和树的应用

树的查找和树的应用 上海金融学院信息管理系

第六章　树的查找和树的应用 6.1 查找树 6.2　满树、拟满树和丰满树 6.3 堆和堆排序

6.1 查找树 　　前面介绍:顺序查找、二分查找、分块查找、HASH查找。二分查找法，操作速度快，但要求结点序列顺序存储（存放在数组中）。　　结点序列存放在数组中，插入和删除需要移动大量结点，很不方便。　　这里介绍既可用二分查找，又使用方便插入和删除的链接存储的方法——查找树。

6.1 查找树 １. 查找树的定义　　查找树T是一棵二叉树，要么为空，要么满足下面三个条件：　　（１）如果树T的根结点的左子树非空，那么左子树中的所有结点的键值都小于T的根结点的键值；　　（２）如果树T的根结点的右子树非空，那么右子树中的所有结点的键值都大于T的根结点的键值；　　（３）它的左、右子树都是查找树。

6.1 查找树 ２.　性质　　二叉树T为查找树的充分必要条件是，按中序遍历二叉树T的结点可得到已排好序的结点序列。 p. 146　图6.1.1　画出４棵查找树

6.1 查找树 ３. 二叉查找算法　　在给定的查找树t中找出具有给定键值a的结点的算法。　　（１）如果t为空，那么查找失败，算法结束；否则，进入（２）；　　（２）如果t->data等于a，那么查找成功，算法结束；否则，进入（３）；　　（３）如果a小于t->data，那么t=t->lchild；否则，t=t->rchild。转到（１）。 p. 147 search(t, a, p_p, p_q)

３. 二叉查找算法 　　分析算法search(t, a, p_p, p_q) 　　*p_q 是指针，指向当前结点　　*p_p 是指针，指向当前结点的父结点　　算法执行到结束，若*p_q不空，则*p_q所指的结点就是a结点（找到了），而*p_p指向它的父结点。假若*p_p为空，则a结点就是根结点。　　假若*p_q为空，则表示找不到a结点。这时考察*p_p，若为空，则查找树t为空树；否则，*p_p指向查找路径的最后一个结点。　　记住以上分析，有利于解决以后问题。

6.1 查找树 ４.　在查找树中插入结点的算法　　在给定的查找树t中插入一个键值为a 的结点，首先调用函数search( )，查找结点a。如果它在树t中，则不做插入，返回１；否则把它插到查找树t的合适位置上，返回０。 pp. insert(p_t, a)

6.1 查找树 ５. 在查找树中删除结点的算法要求：找到要删除的结点，将它删去，但操作以后的二叉树仍是一棵查找树。　原则：　　　若被删结点有左子树，那么被删结点的位置由它的左子树的根结点来充当，它的右子树被链接在左子树的最右下方；否则，被删结点的位置由它的右子树的根结点来充当。

５. 在查找树中删除结点的算法 分六种情况分析：（1）若被删的是根，而且 ①它没有左子结点 ②它有左子结点（2）若被删结点非根，且没有左子结点 ③被删结点是父结点的左子结点 ④被删结点是父结点的右子结点（3）若被删结点非根，且有左子结点 ⑤被删结点是父结点的左子结点 ⑥被删结点是父结点的右子结点

５. 在查找树中删除结点的算法 pp. 149-150 delete(p_t, a) 删除成功，则返回0；否则，返回1。以上算法不是唯一的。也有其他算法，只要保持被删除结点后仍然是查找树就行。

6.2 满树、拟满树和丰满树 　　　要使查找时间小，则应使从根到其他结点的树枝尽量地短。也就是说，各结点应安排在尽量靠近根的位置。

1. 满树、拟满树和丰满树的定义 　　设二叉树T有n个结点，令i=[log2(n+1)]，r=n-(2i-1)。如果其中(2i-1)个结点放满第0至第(i-1)层。　（1）若r=0，则称树T是一棵满二叉树，简称满树。（2）若r>0，且剩下的r个结点靠左开始排列在第i层上，则称树T是一棵拟满二叉树，简称拟满树。（3）若r>0，且剩下的r个结点随意地分布在第i层上，则称树T是一棵丰满二叉树，简称丰满树。（p. 152　图6.2.1）

2.满查找树、拟满查找树和丰满查找树 　　若树T是一棵满树，同时又是查找树，则称树T是一棵满查找树。　　若树T是一棵拟满树，同时又是查找树，则称树T是一棵拟满查找树。　　若树T是一棵丰满树，同时又是查找树，则称树T是一棵丰满查找树。性质: 满查找树 => 拟满查找树 => 丰满查找树

3. 构造丰满树 　　设有n个结点的任意序列，可用平分法构造出相应的丰满树。具体做法：　　（１）如果结点序列为空，那么得到一棵空的二叉树。　　（２）如果序列中有n（≥１）个结点k0, k1, …, kn-1，那么令m=[(n-1)/2]，所求的树是有根结点km，以及它的左子树Tl和右子树Tr所组成，其中Tl和Tr分别是用平分法由k0, k1, …, km-1和km+1, km+2, …, kn-1得到的丰满树。

3. 构造丰满树 　　上面方法构造的丰满树，有性质：　　（１）若丰满树T中有n个结点，则树T有[log2n]+1层。　　（２）如果构造前的结点序列是有序的，则得到的丰满树是一棵丰满查找树。 p. 153 图6.2.2　丰满查找树

６.3 堆和堆排序 １.　堆（heap）的定义　　设二叉树T是一棵拟满树，且树中的任一结点的值不小于它的左子结点（如果左子结点存在）和右子结点（如果右子结点存在）的值，则称树T是一个堆。

６.３堆和堆排序 ２. 堆的存储结构　　具有n个结点的堆T，可按层次序将结点存放在数组a[ ]中。由于堆也是拟满树，那么它具有拟满树按层次序进行顺序存储的性质：　　若对于i≥0，有2*i+1<n，则a[2*i+1]是a[i]的左子结点，且a[i] ≥a[2*i+1]；　　若对于i≥0，有2*i+2<n，则a[2*i+2]是a[i]的右子结点，且a[i] ≥a[2*i+2]。　　显然，结点a[0]的值是最大的。

６.３堆和堆排序 3.　堆排序　　原理：　　假如需要排序的n个结点形成了一个堆，存储在数组a[ ]中，那么结点a[0]的值为最大。将a[0]与a[n-1]对调，即最大的结点换到a[n-1]中。　　剩下的a[0], a[1], …, a[n-2]这n-1个结点就不再继续成为堆了。现进行调整使其成为堆，那么a[0]的值在余下的结点中为最大。将a[0]与a[n-2]对调，然后再在剩下结点中加以调整，使之成为堆……如此对调、调整，直到排序完成。

3.　堆排序 　　算法设计：　　（１）调整成为堆的算法　　对于一棵具有n个结点的顺序存储在数组a[ ]中的拟满树，根结点的左、右子树都是堆，但根结点a[0]不满足堆的条件。要求将这棵拟满树调整成为堆。　　具体做法是将左、右子树中值最大的结点移到根结点的位置上来，而将原来的a[0]调整到其合适的位置上去。 pp. 154-155 siftdown ( a, i, n) a：数组；i：根结点下标；n：调整范围　　

3.　堆排序 　　（２）堆排序的算法　　对n个结点的序列（存放在数组a[ ]），反复调用函数siftdown( ) ，由最小的子树开始，从小到大将其调整成为堆。　　反复执行：将堆的根结点对调换到后面去，然后将剩余结点调整成为堆。 p. 155 heap_sort(a, n)

复习 • 简单的时间复杂度的计算 • 表的顺序存储与链接存储的方法、特点与不足 • 栈与队列，尤其是链接栈与链接队列 • 扩展链表（如环形双向链表）的插入／删除结点的算法 • 各种排序方法（插入、选择、冒泡、快速、希尔、合并等）的做法；若序列是链接存储的情况，插入、选择等排序的算法

复习 6.　三元组数组表示的稀疏矩阵 7.n次树与二叉树的转换 8.　前、中、后、层次遍历二叉树的做法 • 按前序顺序存储二叉树(左标志右下标/两个标志)与标准形式存储二叉树的转换 • 中序遍历二叉树的算法 • 穿线树的操作和穿线排序的算法 • 查找树结点的查找、插入和删除的算法

复习 • 用递归方法来解决有关广义表和二叉树的问题的算法如复制一个广义表，判断两个广义表是否相等，复制一棵二叉树，遍历一棵二叉树，将一棵二叉树左右对换（旋转1800），统计树中的结点数、层次数、树枝长度等

复习 14. 简单内容（1）表达式中缀与后缀的转换（2）模式失败链接值（3）字符串相等的定义（4）常用算法（如加表头）的作用

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