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{ 范例 13.3} 洛仑兹速度变换

{ 范例 13.3} 洛仑兹速度变换. (1) 根据洛仑兹坐标变换，推导 x 方向上速度变换公式。 A 飞船在地面上以 0.5 c 的速度运动， B 飞船在地面上以 0.8 c 的速度同向运动，那么 B 飞船相对于 A 飞船的速度是多少？如果 B 飞船在地面上以 0.8 c 的速度相向运动，结果又如何？ (2) 根据洛仑兹坐标变换，推导 y 方向或 z 方向上速度变换公式以及合速度的变换公式。在太阳参考系中观察，一束星光垂直射向地面，速率为 c ，而地球以速率 u 垂直于光线运动。求在地面上测量，这束星光速度的大小与方向如何？.

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{ 范例 13.3} 洛仑兹速度变换

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  1. {范例13.3} 洛仑兹速度变换 (1)根据洛仑兹坐标变换，推导x方向上速度变换公式。A飞船在地面上以0.5c的速度运动，B飞船在地面上以0.8c的速度同向运动，那么B飞船相对于A飞船的速度是多少？如果B飞船在地面上以0.8c的速度相向运动，结果又如何？ (2)根据洛仑兹坐标变换，推导y方向或z方向上速度变换公式以及合速度的变换公式。在太阳参考系中观察，一束星光垂直射向地面，速率为c，而地球以速率u垂直于光线运动。求在地面上测量，这束星光速度的大小与方向如何？ [解析](1)设S'系沿S系的x轴正向以速度u运动，一质点P运动时，在S系中的速度x分量为vx= dx/dt， 在S'系中的速度x分量为v'x= dx'/dt'， 由此可得洛仑兹速度x分量的变换公式 对洛仑兹正变换的x和t量取微分得

  2. {范例13.3} 洛仑兹速度变换 [讨论] ①如果vx > u > 0，则v'x > 0，表示质点在S'系中沿x'正向运动。 ②如果vx = u，则v'x = 0，表示质点在S'系中是静止的。 ③如果0 < vx < u，则v'x < 0，表示质点在S'系中沿x'负向运动。 ④如果vx和u的符号相反，表示质点和S'系相向运动或反向运动，质点在S'系中速度v'x的大小和方向由vx和u的大小和方向共同决定。 可见：质点在一个惯性参考系中以光速运动，在另一参考系中也以光速运动。 ⑤当vx→±c时，则得 这满足光速不变原理。

  3. {范例13.3} 洛仑兹速度变换 (1)根据洛仑兹坐标变换，推导x方向上速度变换公式。A飞船在地面上以0.5c的速度运动，B飞船在地面上以0.8c的速度同向运动，那么B飞船相对于A飞船的速度是多少？如果B飞船在地面上以0.8c的速度相向运动，结果又如何？ 以地面为S系，以A飞船为S'系，B飞船相对A飞船的速度就是B飞船在S'系中的速度。 A飞船在S系中速度为u = 0.5c，B飞船在S系中速度为vx= 0.8c，B飞船在S'系中的速度 可见：在同向运动时，B飞船相对A飞船的速度大于0.3c。 如果B飞船与A飞船相向运动，则vx= -0.8c，可得B飞船在S'系中的速度 在相向运动时，B飞船相对A飞船的速度仍然小于光速。

  4. |vx – u|越大，则|vx'|越大，但|vx'|不会超过光速。 当vx = -c时，有vx' = -c；当vx = c时，有vx' = c。 这是符合光速不变原理的。 当u = -c时，有vx' = c，也说明相同的问题。 当u = c时，有vx' = -c，说明S'系相对S系以光速前进时，S系中一切物体，不管速度多大，在S'系中观察，都以光速后退。

  5. {范例13.3} 洛仑兹速度变换 (2)根据洛仑兹坐标变换，推导y方向或z方向上速度变换公式以及总速度的变换公式。在太阳参考系中观察，一束星光垂直射向地面，速率为c，而地球以速率u垂直于光线运动。求在地面上测量，这束星光速度的大小与方向如何？ [解析](2)质点P在S系中速度的y分量和z分量分别为vy= dy/dt，vz= dz/dt， 在S'系中速度的y分量和z分量分别为v'y= dy'/dt'，v'z= dz'/dt'， 对洛仑兹变换的y和z分量分别取微分得dy' = dy，dz' = dz， 可得洛仑兹速度变换的y分量和z分量的公式

  6. {范例13.3} 洛仑兹速度变换 (2)根据洛仑兹坐标变换，推导y方向或z方向上速度变换公式以及总速度的变换公式。在太阳参考系中观察，一束星光垂直射向地面，速率为c，而地球以速率u垂直于光线运动。求在地面上测量，这束星光速度的大小与方向如何？ 洛仑兹速度逆变换公式为 如果u << c，则得伽利略速度变换和逆变换 v'x = vx – u，v'y = vy，v'z = vz； vx = v'x + u，vy = v'y，vz = v'z。

  7. {范例13.3} 洛仑兹速度变换 质点合速度的平方为 利用关系v2 = vx2 + vy2 + vz2，可得变换后的速度大小 设vz = 0，质点在S系中速度大小为v，方向角为θ，则vx = vcosθ，vy = vsinθ， 可得 速度的方向角为 质点在S'系中速度大小为 当θ = 0或π/2时，可得一些特例。

  8. {范例13.3} 洛仑兹速度变换 (2)根据洛仑兹坐标变换，推导y方向或z方向上速度变换公式以及总速度的变换公式。在太阳参考系中观察，一束星光垂直射向地面，速率为c，而地球以速率u垂直于光线运动。求在地面上测量，这束星光速度的大小与方向如何？ 如图所示，取太阳系为S系，地球为S'系。 在S系中看地球以速度u运动，看星光的速度为vx= 0，vy = c。 星光在S'系中的速度分量为 即光速是不变的。 星光在S'系中的速度为 y' 星光在S'系中与y'轴的夹角，即垂直地面的夹角为 S' y u x' 地球 O' S vy' c θ' vx' 星光 O x 太阳

  9. 当θ = 0时，S系中的速度只有x分量，vy和vy'恒为零，vy'是一个水平面。

  10. 当θ = 0时，变换后的速度v'如同一个“方边扁觜漏斗”，当v = u时，可得v' = 0，这就是“漏斗”的“底线”。 不论v = c，还是u = c，都可得v' = c，这就是“漏斗”的“方边”。

  11. 当v > u时，θ' = 0，v'与x轴正向相同；当v < u时，θ' = ±π，v'与x轴正向相反。 当θ = 0时，速度方向角形成三个台阶。

  12. 当θ = π/2时，S系中的速度只有y分量，vx为零。 在u一定的情况下，vy'随vy直线增加；在vy一定的情况下，vy'随u按椭圆规律变化。

  13. 当θ = π/2时，变换后的速度v'如同一个“方边尖觜漏斗”，当v = u = 0时，可得v’ = 0，这就是“漏斗”的“底”。 只要v = c，或u = c，都有v' = c，这就是“漏斗”的“方边”。

  14. 当θ = π/2时，如果v > 0，随着u从-c向c变化，速度的方向角θ'正方向增加； 如果v = 0，θ = π/2是没有意义的。 如果v < 0，表示质点做v > 0，θ = -π/2的运动，随着u从-c向c变化，速度的方向角θ'负方向增加。

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