Download
1 / 15
150 likes | 325 Views
Chapter 6: Sampling Distributions. Def 1 : กลุ่มตัวอย่าง X 1 , X 2 , …, X n ซึ่งเราสุ่มจาก infinite population จะถือ เป็น ramdom sample ก็ต่อเมื่อ X 1 , X 2 , …, X n เป็น independent and identically distributed (iid) r.v. Def 2: ถ้า X 1 , X 2 , …, X n เป็น ramdom sample จะได้ว่า
E N D
Def 1: กลุ่มตัวอย่าง X1, X2, …, Xn ซึ่งเราสุ่มจาก infinite population จะถือเป็น ramdom sample ก็ต่อเมื่อ X1, X2, …, Xn เป็น independent andidentically distributed (iid) r.v. • Def 2: ถ้า X1, X2, …, Xn เป็น ramdom sample จะได้ว่า เรียกว่า sample mean เรียกว่า samplevariance
6.2 Distribution of the Mean • Th’m 1:ถ้า X1, X2, …, Xn เป็น ramdom sample จาก infinite population ซึ่งมี mean และ variance จะได้ว่า และ • Th’m 2 :สำหรับทุกค่าคงที่ที่เป็นบวก c ความน่าจะเป็นที่ มีค่าระหว่าง และ จะมีค่าไม่น้อยกว่า เสมอ และเมื่อ ค่าความน่าจะเป็นจะมีค่าเข้าใกล้ 1 “Law of Large Numbers” (พิสูจน์จาก Chebyshev’s Theorem ตรงๆ)
Th’m 3:(Central Limit Theorem) ถ้า X1, X2, …, Xn เป็น ramdom sample จาก infinite population ที่มี mean และ variance จะได้ว่าlimiting distribution of เมื่อ จะเข้าสู่ standard normal distribution • พิสูจน์ CLT:
Th’m 4:ถ้า เป็น mean ของ random sample ขนาด n จาก normal distribution ที่มี mean และvariance จะได้ว่า sampling distribution(distribution of ) จะเป็น normal distribution ที่มี mean และvariance เสมอ ไม่ขึ้นกับขนาดของ n
6.3Distribution of the Mean : Finite Populations • Def 3: สมมติให้ X1เป็นค่าแรกที่สุ่มได้จาก finite population of sizeN, X2เป็นค่าลำดับสอง ,…, Xnเป็นค่าลำดับ n ถ้า joint pdf ของตัวแปรสุ่มทั้ง n ตัว มีค่าเป็น เราจะสรุปได้ว่า X1, X2, …, Xnเป็น random sample จาก finite population จริง
Def 4: ค่าmeanและ variance ของ finite populationof size N (ซึ่งมีค่าเป็น c1, c2, …, cN) จะมีค่าเท่ากับ คือ และ
Th’m 5: ถ้า และ คือ rv ลำดับที่ r และ s ของ random sample ขนาด n จาก finite population จะได้ว่า • Th’m 6:ถ้า คือ mean ของ random sample ขนาด n จาก finite population ขนาด N จะได้ว่า และ
6.4The Chi-square Distribution • จุดเด่นของ Chi-Sq Distribution: ถ้า r.v. X เป็น Normal Dist -->X2 จะเป็น Chi-Square Dist • pdf ของ Chi-Sq: • ถ้า r.v. X เป็น Chi-Square r.v.
6.4The Chi-square Distribution • Th’m 7:ถ้า X มี standard normal distribution จะได้ว่า X2 จะมี Chi-square distributionwith ( degree of freedom ) • Th’m 8: ถ้า เป็น independent rv ที่มี standard normal distributions จะได้ว่า • Th’m 9:ถ้า เป็น independent rv ที่มี chi-square distributionwith degree of freedom จะได้ว่า
Th’m 10:ถ้า และ เป็น independent rv โดยที่ และ จะได้ว่า • Th’m 11:ถ้า และ เป็น mean และ variance ของ random sample ขนาด n จาก normal distribution ที่มี mean และ variance จะได้ว่า 1. และ เป็นอิสระต่อกัน 2. ตัวแปรสุ่ม
6.5The t Distribution • Th’m 12:ถ้า Y และZ เป็น independent rv และ จะได้ว่า จะมี t distribution โดยที่ d.f. = • pdf of T จะเป็น for
Th’m 13: ถ้า และ คือ mean และ variance ของ random sample ขนาด nจาก normal population ที่มี mean และ variance จะได้ว่า มีการแจกแจงแบบ tมี degrees of freedom
6.6 The F Distribution • Th’m 14:ถ้า Uและ V เป็นindependent rv มีการแจกแจงแบบ chi-squarewith d.f. และ จะได้ว่า เป็น rv ที่มีการแจกแจงแบบ Fและมี pdf เป็น for และ elsewhere
Th’m 15: ถ้า และ คือ variance ของ independent random sample ขนาด และ จาก normal populations ที่มีvariance เป็น และ จะได้ว่า คือ rv ที่มีการแจกแจงแบบ F ที่มี degrees of freedom และ
