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第七讲 线性代数方程组的解法(上)

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第七讲 线性代数方程组的解法(上). 第七讲主要知识点.   直接方法(高斯简单消去法 、选主 元消去法 、高斯 — 约当消去法 、三角分解法 ). 引 言.   求解线性方程组的另一类重要方法是直接法。直接法利用一系列递推公式计算有限步能直接得到方程组的精确解。当然,实际计算结果仍有误差,譬如舍入误差。舍入误差的积累有时甚至会严重影响解的精度。   求解线性方程组最基本的一种直接法是消去法。这是一个众所周知的古老方法,但用在现代电子计算机上仍然十分有效。. 约当消去法.

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Presentation Transcript
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第七讲主要知识点

  直接方法(高斯简单消去法 、选主 元消去法 、高斯—约当消去法 、三角分解法 )

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引 言

  求解线性方程组的另一类重要方法是直接法。直接法利用一系列递推公式计算有限步能直接得到方程组的精确解。当然,实际计算结果仍有误差,譬如舍入误差。舍入误差的积累有时甚至会严重影响解的精度。

  求解线性方程组最基本的一种直接法是消去法。这是一个众所周知的古老方法,但用在现代电子计算机上仍然十分有效。

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约当消去法

  消去法的基本思想是,通过将一个方程乘或除以某个常数,以及将两个方程相加减这两种手续,逐步减少方程中的变元的数目,最终使每个方程仅含一个变元,从而得出所求的解。

  所谓约当消去法 ,其特点是,它的每一步仅在一个方程中保留某个变元,而从其它的各个方程中消去该变元,这样经过反复消元后,所给方程组中的每个方程最终被加工成仅含一个变元的形式,从而得出所求的解。

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高斯消去法

  高斯消去法是约当消去法的一种改进。

  高斯消去法的求解过程分为消元过程和回代过程两个环节。消元过程将所给的方程组加工成上三角方程组。所归结的方程成组再通过回代过程得出它的解。

  高斯消去法由于添加了回代的过程,算法结构稍复杂,但这种算法的改进明显减少了计算量。

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选主元素
  •   我们在高斯消去法的消元过程中检查方程组中变元 的各系数,从中挑选出最大者,称之为第 步的主元素。
  •   设主元素在第 个方程,即
  • 若 不等于 ,则我们先将第 个方程与第 个互易位置,使新的 成为主元素,这一手续称为选主元素。
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解线性方程组的直接方法(续2)

  解线性方程组的两类方法:

直接法: 经过有限次运算后可求得方程组精确

解的方法(不计舍入误差!)

迭代法:从解的某个近似值出发,通过构造一

个无穷序列去逼近精确解的方法。

(一般有限步内得不到精确解)

gauss1
一、Gauss 消去法计算过程

相当于第i个方程-第一个方程×数→新的第i方程—同解!第一方程不动!

gauss2
Gauss 消去法计算过程

  上述消元过程除第一个方程不变以外,第2—第 n 个方程全消去了变量 1,而系数和常数项全得到新值:

gauss 5
Gauss 消去法计算过程(续5)

系数矩阵与常数项:

gauss3
二、Gauss消去法乘法计算量

消去第一列的 n-1 个系数要计算

n*(n-1)个乘法。

gauss4
三、Gauss消去法的矩阵表示

每一步消去过程相当于左乘初等变换矩阵Lk

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LU 分解

设A为n阶方阵,若A的顺序主子式Ai均不为零,则矩阵存在唯一的LU(Doolittle 杜利特尔)分解。

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一般计算公式

计算量与 Gauss 消去法同.

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