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二面角 (2) - PowerPoint PPT Presentation


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二面角 (2). 师院附中 宗来红. 复 习. α. ι. 二面角. α. ι. β. β. p. β. p. α. ι. β. ι. β. p. α. P. B. γ. α. A. 二面角. ι. 2 、求二面角的平面角方法. 一 、 二面角的定义. 从空间一直线出发的两个半. 平面所组成的图形叫做二面角. 二 、 二面角的平面角. 1 、定义. — 定义法. ① 点 P 在棱上. — 三垂线定理法. ② 点 P 在一个半平面上. — 垂面法. ③ 点 P 在二面角内. B. A. B. A.

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Presentation Transcript
slide1

二面角 (2)

师院附中 宗来红

slide2

α

ι

二面角

α

ι

β

β

p

β

p

α

ι

β

ι

β

p

α

P

B

γ

α

A

二面角

ι

2、求二面角的平面角方法

一、二面角的定义

从空间一直线出发的两个半

平面所组成的图形叫做二面角

二、二面角的平面角

1、定义

—定义法

①点P在棱上

—三垂线定理法

②点P在一个半平面上

—垂面法

③点P在二面角内

B

A

B

A

B

O

A

slide3

α

M

P

O

A

B

N

β

C

∴CO=a,DO=a,PC a ,PD a

∴CD=PC a

O

P

例1.如图,已知P是二面角α-AB-β棱上一点,过P分别在α、β内引射线PM、PN,且∠MPN=60º∠BPM=∠BPN=45º,求此二面角的度数。

解:

在PB上取不同于P 的一点O,

C

在α内过O作OC⊥AB交PM于C,

在β内作OD⊥AB交PN于D,

连CD,可得

D

∠COD是二面角α-AB-β的平面角

设PO = a,∵∠BPM =∠BPN = 45º

又∵∠MPN=60º

a

∴∠COD=90º

因此,二面角的度数为90º

slide4

P

B

β

α

A

ι

由余弦定理得

例2.如图P为二面角α–ι–β内一点,PA⊥α,PB⊥β,且PA=5,PB=8,AB=7,求这二面角的度数。

解:

过PA、PB的平面PAB与

棱ι交于O点

∵PA⊥α ∴PA⊥ι

∵PB⊥β ∴PB⊥ι

O

∴ι⊥平面PAB

∴∠AOB为二面角α–ι–β的平面角

又∵PA=5,PB=8,AB=7

∴∠P= 60º ∴∠AOB=120º

∴这二面角的度数为120º

slide5

例3.如图,三棱锥P-ABC的顶点P在底面ABC上的射影是底面Rt△ABC斜边AC的中点O,若PB=AB=1,BC=,求二面角P-AB-C的正切值。例3.如图,三棱锥P-ABC的顶点P在底面ABC上的射影是底面Rt△ABC斜边AC的中点O,若PB=AB=1,BC=,求二面角P-AB-C的正切值。

P

∴OE∥BC且OE BC

E

B

在Rt△PBE中,BE ,PB=1,PE

A

P

O

C

在Rt△POE中, OE ,PO

O

E

∴所求的二面角P-AB-C 的正切值为

解:

取AB 的中点为E,连PE,OE

∵O为 AC 中点, ∠ABC=90º

OE⊥AB ,因此 PE⊥AB

∴∠PEO为二面角P-AB-C 的平面角

slide6

练习1:已知Rt△ABC在平面α内,斜边AB在30º的二面角α-AB-β的棱上,若AC=5,BC=12,求点C到平面β的距离CO。练习1:已知Rt△ABC在平面α内,斜边AB在30º的二面角α-AB-β的棱上,若AC=5,BC=12,求点C到平面β的距离CO。

B’

练习2:在平面四边形ABCD中,AB=BC=2,AD=CD= , ∠B=120º;将三角形ABC沿四边形ABCD的对角线AC折起来,使DB′= ,求△AB ′C所在平面与△ADC所在平面所成二面角的平面角的度数。

D

α

C

β

C

O

O

A

A

B

B

D

slide7

思考

A为二面角α– CD –β的棱CD上一点,AB在平面α内且与棱CD成45º角,又AB与平面β成30º,求二面角α– CD – β的大小。

α

B

C

D

A

β