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離散餘弦轉換

離散餘弦轉換. 數位影像頻率域表示法 圖 1 、圖 2 、圖 3 係三張對一個有 16 個元素的一維空間域陣列進行 DCT 頻率域轉換的示意圖。圖 1 所顯示者為 DCT 轉換的輸入值，是一個一維空間域的陣列值，而 DCT 轉換後的輸出值顯示在圖 3 中，其中的元素值是數位影像在頻率域的係數 (coefficient) ，以一維陣列形態表示。. < 圖 1>. < 圖 2>. < 圖 3>.

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離散餘弦轉換

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  1. 離散餘弦轉換 • 數位影像頻率域表示法 • 圖1、圖2、圖3係三張對一個有16個元素的一維空間域陣列進行DCT頻率域轉換的示意圖。圖1所顯示者為DCT轉換的輸入值，是一個一維空間域的陣列值，而DCT轉換後的輸出值顯示在圖3中，其中的元素值是數位影像在頻率域的係數(coefficient)，以一維陣列形態表示。

  2. <圖1>

  3. <圖2>

  4. <圖3>

  5. 在圖3中輸出值位置0的係數是2，這2即表示2倍之編號0之基頻波(basis wave)，以下簡稱基頻波0；同理，輸出值位置1的係數為1，即表示1倍的基頻波1；輸出值位置4的係數為0.5，即表示1/2倍的基頻波4；輸出值位置5的係數為1，表示1倍的基頻波5；輸出值位置13的係數為0即表示0的基頻波13。第2、3、6、7、8、9、10、11、12、14及15位置中的係數為0，表示輸出值中沒有下列的基頻波形2、3、6、7、8、9、10、11、12、14及15。圖2中的基頻波形則是這個頻率轉換中的基頻或是基本頻率。圖3中的輸出值陣列即為輸入值陣列的頻率域之信號。

  6. 頻率域(frequency domain)之數位影像資料，即是將空間域數位影像資料經過運算後所得到的以數個基本頻率組合之結果。 • 以離散餘弦轉換將空間域數位影像資料轉換成頻率域，稱為離散餘弦正轉換(Forward Discrete Cosine Transformation, FDCT)，將頻率域數位影像資料還原成空間域，則稱為離散餘弦反轉換(Inverse DCT, IDCT)。

  7. 將數位灰階影像完整地劃分成8 × 8像素大小的block且每一個block並不重疊，如圖4。接著FDCT將每一個空間域block中所有像素值減去128後，再以特殊的公式做轉換，即可得到一個和空間域block中像素個數相同的頻率域block；如果將此頻率域的資料以IDCT做轉換後，再將每個元素值加上128，即可還原原來的數位灰階影像。此循環如圖5。

  8. <圖4>

  9. <圖5>

  10. 離散餘弦正轉換和離散餘弦反轉換的公式 (1)式及(2)式中的(i,j)係指頻率域之係數位置。(x,y)係指空間域像素的位置。f(x,y)係指(x,y)位置所置放之值減去128後的間域像素值，D(i,j)係指(i,j)位置上的頻率係數值；N表示二維陣列的寬度及長度。如果i為0則C(i)為，如果j為0則C(j)為；反之，如果i不是0則C(i)為1，如果j不是0則C(j)為1。

  11. 在圖6左上區域黑白相間小區塊個數比較少的基頻影像中，所相對應的頻率域係數稱為低頻(low frequency)；而右下區域黑白相間小區塊個數比較多的基頻影像，所對應的頻率域係數稱為高頻(high frequency)。在低頻和高頻的中間區域稱為中頻(medium frequency)。在最左上方唯一全黑顏色的區塊稱為DC，由圖7可以發現頻率由左上至右下逐漸遞增。

  12. <圖6>

  13. <圖7>

  14. DCT轉換與邊緣的關係，在圖6中最上方一列中除了DC外，每一個基頻影像中的黑白小區塊都以垂直方式互相交錯，如圖8；最左邊一排中除了DC外，每一個區塊中的黑白小區塊都以水平方式互相交錯，如圖9。DCT轉換與邊緣的關係，在圖6中最上方一列中除了DC外，每一個基頻影像中的黑白小區塊都以垂直方式互相交錯，如圖8；最左邊一排中除了DC外，每一個區塊中的黑白小區塊都以水平方式互相交錯，如圖9。

  15. <圖8> <圖9>

  16. 在圖8及圖9中，凡黑白交錯之處皆稱為邊緣，如垂直及水平虛線所示。圖8中的虛線是以垂直方式呈現，故稱為垂直邊緣(vertical edge)。圖9中的虛線是以水平方式呈現，故稱為水平邊緣(horizontal edge)。圖10中的邊緣是以水平及垂直方式交錯呈現，稱此為交錯邊緣(diagonal edges)。綜觀基頻影像及邊緣之間的關係，我們可以很清楚地發現空間域中影像不同種類的邊緣相對於二維基頻影像的分佈情形如圖11。

  17. <圖11> <圖10>

  18. 在圖6中，最上方一列除了DC外，每一個區塊中的黑小區塊都以水平方向互相變化，表示有水平能量(horizontal energy)，如圖12的水平虛線箭頭符號；在圖6中，二維基頻影像的最左列除了DC以外，每一個區塊中的黑白小區塊都以垂直方向互相變化，表示有垂直能量(vertical energy)，如圖13的垂直虛線箭頭符號。至於圖10中能量是以水平及垂直方式交錯呈現，我們稱此為交錯能量(diagonal energy)。綜觀基頻影像及能量之間的關係，我們可以清楚地發現不同種類的能量相對於二維基頻影像的分佈情形如圖14。

  19. <圖12> <圖13>

  20. <圖14> <圖15>

  21. 所謂水平能量的大小，可以經由比對圖15(a)與圖15(b)得知；同樣面積大小的區域內圖15(a)有黑至白及白至黑兩次水平變化，而圖15(b)有黑至白、白至黑…及黑至白等七次水平變化，所以圖15(b)的水平能量大於圖15(a)的水平能量。所謂垂直能量的大小，可以經由比對圖15(c)與圖15(d)得知；同樣面積大小的區域內圖15(c)有黑至白及白至黑兩次垂直變化，而圖15(d)有黑至白、白至黑…及黑至白等五次垂直變化，所以圖15(d)的垂直能量大於圖15(c)的垂直能量。所謂水平能量的大小，可以經由比對圖15(a)與圖15(b)得知；同樣面積大小的區域內圖15(a)有黑至白及白至黑兩次水平變化，而圖15(b)有黑至白、白至黑…及黑至白等七次水平變化，所以圖15(b)的水平能量大於圖15(a)的水平能量。所謂垂直能量的大小，可以經由比對圖15(c)與圖15(d)得知；同樣面積大小的區域內圖15(c)有黑至白及白至黑兩次垂直變化，而圖15(d)有黑至白、白至黑…及黑至白等五次垂直變化，所以圖15(d)的垂直能量大於圖15(c)的垂直能量。

  22. <圖16> <圖17> <圖18>

  23. FDCT及IDCT之範例 <圖19>

  24. 前面所做的DCT相關公式又可稱為傳統DCT的公式，以下所要介紹是快速離散餘弦轉換公式(fast discrete cosine transformation)，又可稱為快速DCT轉換公式。快速DCT轉換公式其執行時間將比傳統DCT轉換公式所實作的程式要來的短，且運算的結果和傳統離散餘弦正轉換、離散餘弦反轉換公式完全相同。

  25. (1)式中的N為二維陣列的寬度及長度，i及j的範圍皆為0到N-1。(2)式中的C為(1)式的計算結果，其中Ct為C的轉置矩陣；(2)式中的pixels為空間域資料內的各個像素值，而coeffs為一空間域資料經離散餘弦正轉換後的結果。(3)式中的C亦為(1)式的計算結果，Ct也是C的轉置矩陣；式中的coeffs為頻率域資料內的各個係數值，而pixels即為一頻率域資料經離散餘弦反轉換後的結果。 (1)式中的N為二維陣列的寬度及長度，i及j的範圍皆為0到N-1。(2)式中的C為(1)式的計算結果，其中Ct為C的轉置矩陣；(2)式中的pixels為空間域資料內的各個像素值，而coeffs為一空間域資料經離散餘弦正轉換後的結果。(3)式中的C亦為(1)式的計算結果，Ct也是C的轉置矩陣；式中的coeffs為頻率域資料內的各個係數值，而pixels即為一頻率域資料經離散餘弦反轉換後的結果。

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