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几种有效的数值算法

几种有效的数值算法. 报告人：王 武 中科院超级计算中心 Email: wangwu@sccas.cn 20010 年 5 月. Fast Algorithm. n. n. n. If n=64, this table implies an overall reduction in flops of 160 million, which meets the Moore’s Law! (doubling in 1.5 year). SciDAC Initiative, DOE, CSGF, 2005.

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几种有效的数值算法

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  1. 几种有效的数值算法 报告人：王 武 中科院超级计算中心 Email: wangwu@sccas.cn 20010年5月

  2. Fast Algorithm n n n If n=64, this table implies an overall reduction in flops of 160 million, which meets the Moore’s Law! (doubling in 1.5 year) SciDAC Initiative, DOE, CSGF, 2005

  3. Fast Multipole Method (FMM) , 1987 L Greengard V Rokhlin, Yale University 1. 快速多极子方法 • 快速多极子方法克服了多粒子模拟中最大的瓶颈：精确计算N个粒子之间通过万有引力或静电力的相互作用（比如星系中的星体，或蛋白质中的分子）需要O(N2)的量级。而FMM达到了O(N)的量级。FMM显著的优点之一是它可以任意调整精度 • 这种算法通过多极展开（空间的粒子或质点、偶极子，四重极子等等）来近似远处的粒子组对近端的局部粒子组的作用 • 一个递归划分的空间用来描述随距离增大的更大的组

  4. N 体问题 • 静电场和引力场 • 位势的多极子展开 • 矩阵向量乘积形式

  5. FMM的应用综述1 Protein Folding Stellar Clusters Electromagnetic Scattering

  6. RBF Interpolation FMM的应用综述2 Vortex Particle Method for Turbulence FM-BEM for Composite Materials Acoustic Pressure aroung the Wing

  7. 涡粒子方法 • Navier-Stokes方程 • Gauss型基函数

  8. 多极子展开 • Helmholtz 型 • Laplace 型 • Gauss 型

  9. The Metropolis Algorithm for Monte Carlo John von Neumann, et al, Los Alamos Lab, 1946 2. Monte Carlo方法 • 基于随机模拟的计算方法 • 确定性问题。建立概率模型，再进行随机抽样观察，其算术平均即为所求解的近似估计。精度可用估计值的标准误差表示。 • 例如计算积分（多重积分，与维数无关）、计算面积（圆周率） • 随机性问题。根据物理情况的概率法则，用计算机抽样试验。 • 例如中子在介质中的扩散、随机服务系统中的排队、动物的生态竞争（MCNP是Los Alamos实验室开发的大型蒙特卡罗程序，可计算中子、光子和电子的联合输运问题以及临界问题） Π/4=S(round)/S(square) Π=4N(round)/N(square) N= no. of random points

  10. Monte Carlo方法求积分 • 任何一个积分，都可看作某个随机变量的期望值， 因此，可以用这个随机变量的平均值来近似它 • 收敛性 • 误差 对于独立同分布随机序列，由中心极限定理可知 f(x):概率密度函数 正态分布概率误差

  11. Simplex Method for Linear Programming George Dantzig, RAND Corporation, 1947 3. 单纯形方法 • 具有约束条件的线性规划问题如何求最优解？ • 单纯形方法的基本思想是：从可行域的某一个极点出发，迭代到另一个极点，并使目标函数的值有所改善，直到找出有无最优解时为止 • 该方法用到了单纯形的概念，单纯形是指N维中的N + 1个顶点的凸包，是一个多胞体(比如直线上的一个线段，平面上的一个三角形，三维空间中的一个四面体） • 单纯形法尽管理论上讲效果是指数衰减的，但在实践中却是高度有效的 在线性空间中极大化Z    极大化 并满足约束 其中

  12. Krylov Subspace Iteration Method (KSP), 1950 Hestenes, Stiefel, Lanczos; National Bureau of Standards 4. Krylov子空间迭代法 • Krylov子空间迭代法是用来求解形如Ax=b 的方程组，A是一个NxN 的矩阵，当N充分大时，直接计算x=A-1b变得非常困难。 • Krylov方法则巧妙地将其变为如下迭代形式求解。 Kx(i+1)=Kx(i)+b-Ax(i) 这里的K是一个构造出来的接近于A的矩阵，而迭代形式的算法的妙处在于，它将复杂问题化简为逐步的易于计算的子步骤。 • 当 A是对称矩阵时，Lanczos找到了生成子空间K的正交基的方法。Hestenes 和Stiefel提出了共轭梯度法。后来的GMRES、BiCGStab等改进并扩展了这些算法。 • Krylov子空间: Km=span{r0,Ar0,…,Am-1r0}, rm=b-Ax(m) • 伴随迭代法的是预条件子：构造M，用迭代法求解M Ax=M b

  13. QR Algorithm for Computing Eigenvalues J.G.F. Francis, Ferranti Ltd., London, 1959 5. QR算法 • 把一个方阵变换为一个“几乎是”上三角的矩阵（在主对角线下面的一斜列上可能有非零元素）是相对容易的，但要想不产生大量的误差就把这些非零元素消去，就不是平凡的事了。QR 算法正好能达到目的。 • 基于Householder变换，A可以写成正交矩阵Q 和一个上Hessenberge矩阵H 的乘积:H0=Q0-1AQ0，用下面的QR迭代计算A的本征值，可使迭代次数大大减少。 A0=H0, Am-1=QmRm , Am=RmQm 实际上稠密矩阵的特征问题复杂度都是O(N3)

  14. Quicksort Algorithms for Sorting, 1962 Tony Hoare, Elliott Brothers, Ltd., London 6. 快速排序方法 • 它利用古老的分而治之的递归策略来解决排序的问题：挑一个元素作为“主元”、把其余的元素分成“大的”和“小的”两堆(当和主元比较时)、再在每一堆中重复这一过程。 • 尽管主元选的最差时要做N(N-1)/2 次比较，但对随机分布的数组，快速排序还是具有O( Nlog(N) )的平均速度，其优美的简洁性使之成为计算复杂性的著名的例子。   void QuickSort(SeqList R，int low，int high)   { //对R[low..high]快速排序int pivotpos； //划分后的基准记录的位置， low≤pivotpos≤high。if(low<high) { //仅当区间长度大于1时才须排序pivotpos=Partition(R，low，high)； //对R[low..high]做划分QuickSort(R，low，pivotpos-1)； //对左区间递归排序QuickSort(R，pivotpos+1，high)；} //对右区间递归排序} //QuickSort

  15. Fast Fourier Transform(FFT), 1965 J Cooley, IBM; J Tukey, AT&T Bell Lab 7. 快速Fourier变换 • 应用数学中意义最深远的算法，无疑是使数字信号处理实现突破性进展的FFT。FFT依赖于分而治之策略，把DFT的复杂度由O(N2) 降到O(Nlog(N)) N=2m

  16. Wavelet Transform (WT), J. Morlet Geophysicist, France,1974 8. 小波变换 • 连续小波变换 为小波母函数 • 二进制离散小波 母函数通过伸缩平移变换生成一组正交的离散小波基函数， L2(R)中的函数 f(t) 可通过级数展开获得时域或频域的多尺度信息 • 离散小波变换 • 常用的小波正交基 Harr小波，Battle-Lemarie小波 等 WT用于信号分析，图像处理，地震勘探数据处理 等

  17. Genetic Algorithms (GA), 1975 John Holland, psychologist, John Hopkins 9. 遗传算法 • 遗传算法是一种解全局(局部)优化问题的模拟进化搜索方法，与传统优化方法相比, 它采用概率转移准则进行群体搜索,而且不需要计算目标函数的导数 • 基本思想:将待优化问题的目标函数理解为生物种群对环境的适应性;将优化变量与生物种群的个体对应;在编码方案、适应度函数及遗传算子确定后，将寻找最优解的过程与生物种群的进化过程类比 • 该方法在每次迭代中都保留一组候选解，并按某种指标从解群中选取较优的个体，利用遗传算子(选择、交叉和变异)对这些个体进行组合，产生新一代的候选解群，重复此过程，直到满足某种收敛指标为止 • 应用领域：机器学习、模式识别、神经网络、工业优化控制等方面。解决的问题：旅行商问题、通信网络链接长度的优化问题、铁路运输计划优化、VLSI版面设计、药物分子设计等

  18. GA的基本算子: 选择、杂交、变异 • Pseudo-code of GA • 1. Choose initial population • 2. Evaluate the fitness of each • individual in the population • 3. Repeat • Select best-ranking individuals • to reproduce • b. Breed new generation through • crossover and mutation (genetic • operations) and give birth to • offspring • c. Evaluate the individual fitnesses • of the offspring • d. Replace worst ranked part of population with offspring • 4. Until termination

  19. Multigrid Method (MG), A. Brandt, 1972 10. 多重网格方法 • A hierarchy of discretisations (grids) is considered first • The important steps of MG: • Smoothing – reducing high frequency errors, for example using a few iterations of the Gauss–Seidel method • Restriction – downsampling the residual error to a coarser grid • Prolongation – interpolating a correction computed on a coarser grid into a finer grid • 多重网格方法的三要素：光滑，限制，延拓 • 松弛迭代(如GS、SSOR) 作为光滑 • 相邻点的加权平均作为限制 • 分片线性插值作为延拓 Level=0 E R p S 1 R p 2 S p R S 3

  20. Ax=b的预条件迭代: M(xk+1-xk)=b-Axk , ek=xk+1-xk , rk=b-Axk • MG可作为一种迭代法，也可作为PCG等迭代法的预条件子 • Algorithm: MG (Ak, bk, uk, k) • %V-循环结构的多重网格方法 • Step1. If k is the coarsest level, uk= Inv(Ak) bk, return • Step2. uk = Sk (Ak, bk, uk ) % 前光滑化(pre-smoothing), • % Sk为光滑(smoothing)算子 • Step3. rk = bk - Ak uk % 计算余量 • Step4. bk-1 = Rk rk % Rk为限制(restriction)算子 • Step5. vk-1 = 0 • Step6. MG (Ak-1, b k-1, vk-1, k-1)% 粗网格上的多重网格迭代求解 • Step7. uk = uk + Pk vk-1 % 粗网格校正, Pk为延拓(prolongation)算子 • Step8. uk = Sk (Ak, bk, uk ) % 后光滑化(post-smoothing) • Hypre (High Performance Preconditioners) developed by CASC of LLNL, • it provides 3kind of MG: SMG, PFMG, BooomerAMG • BoomerAMG: 并行代数多重网格(AMG)解法器 • 粗化方法: CLJP粗化, RS粗化(经典, RS3, Falgout,)，混合; • 松弛策略: G-S, Jacobi, 加权Jacobi, Hybrid (混合G-S, Jacobi)

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