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多項式

微積分數位化教材. 多項式. 教學目標. 簡介多項式 多項式中的 名詞 多項式的 運算 餘式定 理 因式與倍式. 簡介. 從 自然數 N 出發 引進整數 Z 介紹有理數 Q 討論實數 R 討論 函數 時，我們用 符號 x 、 y 來表示變 量 將 數字間的代數運算使用到 符號 x 上 可以 表現、處理變量間的函數 關係 思考 利用 符號 x 將 數系拓展開 來. 簡介. 定義 要用 符號 x 來拓展數 系 必須 條列 數字 與 符號 x 的所有可能的組合. 簡介. 考慮下面這個集合

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Presentation Transcript

  1. 微積分數位化教材 多項式 C. L. Lang, Department of Applied Mathematics, I-Shou University

  2. 教學目標 • 簡介多項式 • 多項式中的名詞 • 多項式的運算 • 餘式定理 • 因式與倍式 C. L. Lang, Department of Applied Mathematics, I-Shou University

  3. 簡介 • 從自然數 N出發 • 引進整數 Z • 介紹有理數 Q • 討論實數 R • 討論函數時，我們用符號x、y來表示變量 • 將數字間的代數運算使用到符號 x上 • 可以表現、處理變量間的函數關係 • 思考利用符號 x將數系拓展開來 C. L. Lang, Department of Applied Mathematics, I-Shou University

  4. 簡介 • 定義 • 要用符號x來拓展數系 • 必須條列數字與符號x的所有可能的組合 C. L. Lang, Department of Applied Mathematics, I-Shou University

  5. 簡介 • 考慮下面這個集合 • 是一個由數系F 及符號x 用加法及乘法所形成的集合。 • 元素是一個有無窮項的和 C. L. Lang, Department of Applied Mathematics, I-Shou University

  6. 簡介 • 特別的元素 • 假設這個「和」中，除了有限個 外，其它的 都是0 • 符號 C. L. Lang, Department of Applied Mathematics, I-Shou University

  7. 定義 • 設n 是自然數或0， ， 在 中，若對所有 ， 則用 代表 ， 而 被稱為x的多項式(Polynomial of x)。 C. L. Lang, Department of Applied Mathematics, I-Shou University

  8. 定義 • 通常可用來表示多項式 • 多項式中，只含有一個符號x，叫做單元多項式，含有多於一個的符號，叫做多元多項式， • 主要在介紹單元多項式。 C. L. Lang, Department of Applied Mathematics, I-Shou University

  9. 多項式中的名詞 • 多項式 。 • : 為此多項式的i次項(ith term) • 被稱為此多項式的常數項(Constant term)。 • 被稱為此多項式的i次項的係數(Coefficient) • 多項式中最高次項之係數()稱為此多項式之領導係數(Leading coefficient) C. L. Lang, Department of Applied Mathematics, I-Shou University

  10. 多項式中的名詞 • 多項式 。 • 多項式中最高次項n被稱為此多項式之次數(Degree)，此多項式被稱為n次多項式(nth degree polynomial)，記為：。 • 若一多項式僅含常數項，則稱此多項式為常數多項式。 • 當，又稱為零次多項式。 • 當，又稱為零多項式。零多項式沒有次數定義。 C. L. Lang, Department of Applied Mathematics, I-Shou University

  11. 多項式中的名詞 • 多項式 。 • 由多項式的係數決定多項式全體所成的集合 表由全體整係數多項式所成的集合 表由全體有理係數多項式所成的集合 表由全體實係數多項式所成的集合 未來除非特別提起，多項式皆為實係數多項式。 C. L. Lang, Department of Applied Mathematics, I-Shou University

  12. 多項式相等 • 定義 • 設多項式 及 。 若 ， 則稱這兩個多項式相等。 C. L. Lang, Department of Applied Mathematics, I-Shou University

  13. 多項式相等 • 例 • 令 。 若 ，請問A、B、C= ? C. L. Lang, Department of Applied Mathematics, I-Shou University

  14. 多項式的運算 • 多項式的加減法： 將同次項的係數相加減。 • 多項式的乘法： 利用乘法對加法的分配律，再合併同次項。 C. L. Lang, Department of Applied Mathematics, I-Shou University

  15. 多項式的運算 • 多項式的除法： • 設f(x)，g(x)為二多項式且g(x)不是零多項式 則唯一存在多項式 q(x) 及r(x)滿足 f(x)=q(x)⋅g(x)+r(x) 其中r(x)=0或degr(x)<degg(x)。 此時稱 f(x) 為被除式 g(x) 為除式 q(x) 為商式 r(x) 為餘式。 C. L. Lang, Department of Applied Mathematics, I-Shou University

  16. 多項式的運算 • 則 C. L. Lang, Department of Applied Mathematics, I-Shou University

  17. 多項式的運算 • 則 C. L. Lang, Department of Applied Mathematics, I-Shou University

  18. 多項式的運算 • 可用直式 • ╳ C. L. Lang, Department of Applied Mathematics, I-Shou University

  19. 多項式的運算 • 使用長除法 -3 C. L. Lang, Department of Applied Mathematics, I-Shou University

  20. 多項式的運算 • 使用綜合除法 • | • ------------------------------------- -33 -3 12 -8 22 -24 C. L. Lang, Department of Applied Mathematics, I-Shou University

  21. 多項式的運算 • 令 。 • 若，請問A、B、C= ? • 所以 • 得 C. L. Lang, Department of Applied Mathematics, I-Shou University

  22. 餘式定理 • 多項式 除以 的餘式等於 ，其中。 • 證明 • 由除法原理得： • 唯一存在多項式 使得 • ， • 其中或 ，也就是說 。 • 而，所以餘式等於 C. L. Lang, Department of Applied Mathematics, I-Shou University

  23. 餘式定理 • 我們可以利用綜合除法計算 。 • 例 • 求多項式 除以 的餘式。 • 利用綜合除法計算 C. L. Lang, Department of Applied Mathematics, I-Shou University

  24. 因式與倍式 • 設 為二多項式 • 若存在多項式 使得 ， 則稱 為 的因式 或 為 的倍式。 符號：。 C. L. Lang, Department of Applied Mathematics, I-Shou University

  25. 因式與倍式 • 例 • 設 及 。 • 因為 ， • 所以 。 • 是 的因式。 C. L. Lang, Department of Applied Mathematics, I-Shou University

  26. 一次因式檢驗定理 • 設 為一多項式，則 為 的因式 • 設 為一多項式，為 的因式 C. L. Lang, Department of Applied Mathematics, I-Shou University

  27. 一次因式檢驗定理 • 設多項式 為一個整係數n次多項式 • 若整係數一次式 是 的因式，且 互質， • 則 且 。 C. L. Lang, Department of Applied Mathematics, I-Shou University

  28. 一次因式檢驗定理 • 尋找多項式 的整係數一次式 • 列出所有 的因數： • 列出所有 的因數： • 利用一次因式檢驗定理檢測 ，，是否為 的因式 ( 及 是否為 0 ) C. L. Lang, Department of Applied Mathematics, I-Shou University

  29. 一次因式檢驗定理 • 求 的一次因式。 • 3的因數：1、3 • 4的因數：1、2、4 • 的可能因式 C. L. Lang, Department of Applied Mathematics, I-Shou University

  30. 一次因式檢驗定理 • | • 3 • --------------------------------------------------------- • 則 C. L. Lang, Department of Applied Mathematics, I-Shou University

  31. 一次因式檢驗定理 • | ------------------------------------------------------- • 則 • 因此 與 是 的一次因式。 C. L. Lang, Department of Applied Mathematics, I-Shou University

  32. tHANKS I-Shou University Department of Applied Mathematics, C. L. Lang

  33. 重點提示 C. L. Lang, Department of Applied Mathematics, I-Shou University

  34. 經驗分享及注意事項 C. L. Lang, Department of Applied Mathematics, I-Shou University

  35. Workshop及分組討論 C. L. Lang, Department of Applied Mathematics, I-Shou University

  36. Workshop 1 C. L. Lang, Department of Applied Mathematics, I-Shou University

  37. Workshop 2 C. L. Lang, Department of Applied Mathematics, I-Shou University

  38. 分組討論找出錯誤 C. L. Lang, Department of Applied Mathematics, I-Shou University

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