第二节 初等解析函数

1. 复变函数 第二节 初等解析函数 • 1 指数函数 • 2 初等多值函数 • 3 幅角函数 • 4 对数函数 • 5 三角函数

2. 1 指数函数的定义 我们首先把指数函数的定义扩充到整个复平面. 要求复变数z=x+iy的函数f(z)满足下列条件:

3. 由解析性，我们利用柯西-黎曼条件，有 所以， 因此， 我们也重新得到欧拉公式：

4. 指数函数的基本性质

6. w-平面 z-平面 u y v x

7. 2 初等多值函数 因为初等复变多值函数的多值性是由于辐角的多值性引起的，所以我们先研究辐角函数 它本身不是一般意义下的初等函数. w=Argz函数有无穷个不同的值： 其中argz表示Argz的主值：(我们也把Argz的任意一个确定 的值记为argz )

8. 3 辐角函数 为了研究方便起见，我们把幅角函数在某些区域内分解为 一些单值连续函数，每一个单值连续函数称为幅角函数在这 区域内的一个单值连续分支. 考虑复平面除去负实轴（包括0）而得的区域D.显然在D 内，Argz的主值argz 是一个单值连续函数.

9. 辐角函数 对一个固定的整数k， 也是一个单值连续函数. 因此，w=Argz在区域D内可以分解成无穷多个单值 连续函数，它们都是w=Argz在D内的单值连续分支. 我们首先研究下图的情形：

10. 上沿 下沿 沿负实轴的割线

11. 一般区域

12. 一般区域（含无穷远点）

13. 结论 因此，对于幅角函数w=Argz，0和无穷远点是特殊的两点. 在复平面上，取连接0和无穷远点的一条无界简单连续曲 线L作为割线，得到一个区域D，其边界就是曲线L.则可以将 argz分解成一些连续分支： (1) 当L为负实轴时，幅角函数可以分解成无穷个单值连 续分支； (2)一般区域见下图：

15. 因此，对于幅角函数w=Argz可以分解成无穷个单值因此，对于幅角函数w=Argz可以分解成无穷个单值 连续分支 Argz在C内上任一点（非原点）的各值之间的联系： 通过作一条简单连续曲线围绕0或无穷远点，让z从某点按一 定方向沿曲线连续变动若干周后，回到该点时，Argz相应地 可从幅角函数的一值连续变动到它在预先指定的其它任一值， 即从Argz的一个单值连续分支在该点的值，连续变动到预先指 定的其它单值连续分支在该点的值.

16. 例 在C上作割线 得到区域D=C-K，取Argz在D内的一个单值连续分支f(z)=argz(arg1=0)，那么

17. 注解 由于对数函数是指数函数的反函数而指数函数是周期为2 的周期函数，所以对数函数必然是多值函数，事实上，有： 4 对数函数的定义 和实变量一样，复变量的对数函数也定义为指数函数的反函数：

19. 对数函数的主值 相应与辐角函数的主值，我们定义对数函数Lnz的主值lnz为： 则这时，有

20. 三种对数函数的联系与区别

21. 对数函数的基本性质

23. x z-平面 u w-平面 y v

24. 对数函数的单值化 相应于幅角函数的单值化，我们也可以将对数函数单值化： 考虑复平面除去负实轴（包括0）而得的区域D.显然，在D内，对数函数可以分解为无穷多个单值连续分支.

25. 上沿 下沿 沿负实轴的割线的取值情况

26. 一般区域

27. 对数函数的单值化 由于对数函数的每个单值连续分支都是解析的，所以我们也将它的连续分支称为解析分支. 我们也称对数函数是一个无穷多值解析函数. 我们称原点和无穷远点是对数函数的无穷阶支点（对数支点）特点： (1) 当z绕它们连续变化一周时，Lnz连续变化到其它值 (2)不论如何沿同一方向变化，永远不会回到同一个值.

28. 例1

29. 例2

30. 例3

31. 5 三角函数的概念 由于Euler公式，对任何实数x，我们有： 所以有 因此，对任何复数z，定义余弦函数和正弦函数如下：

32. 三角函数的基本性质 对任何复数z，Euler公式也成立： 关于复三角函数，有下面的基本性质： (1) cosz和sinz是单值函数； (2) cosz是偶函数，sinz是奇函数:

33. (3) cosz和sinz是以为周期的周期函数:

34. 证明：

35. 注解：由于负数可以开平方，所以由此不能得到注解：由于负数可以开平方，所以由此不能得到 例如z=2i时，有

36. (6) cosz和sinz在整个复平面解析，并且有： 证明： (7) cosz和sinz在复平面的零点： cosz在复平面的零点是 sinz在复平面的零点是

37. 令 ，得到 (8) 同理可以定义其他三角函数：

38. 反正切函数是多值解析函数，它的支点是 , 无穷远点不是它的支点.