1 / 54

行列式习题课

行列式习题课. 1. 复习主要内容 2. 习题举例 3. 学生练习 4. 测试题. 一、 复习主要概念 1 ．行列式的定义 2 ．行列式的性质 3 ．行列式的计算 ① 用定义计算行列式 ② 用上（下）三角形行列式计算行列式 ③ 利用行列式的展开法计算行列式 ④ 利用 Vandermonde 行列式计算行列式 ⑤ 用 Laplace 定理计算特殊的阶数大的行列式 递推法、加边法、归纳法等等 . 4. Cramer 法则. 行列式的定义. 行列式的等价定义. 其中. 行列式的性质. 上（下）三角行列式的值为其所有对角元之积

warner
Download Presentation

行列式习题课

An Image/Link below is provided (as is) to download presentation Download Policy: Content on the Website is provided to you AS IS for your information and personal use and may not be sold / licensed / shared on other websites without getting consent from its author. Content is provided to you AS IS for your information and personal use only. Download presentation by click this link. While downloading, if for some reason you are not able to download a presentation, the publisher may have deleted the file from their server. During download, if you can't get a presentation, the file might be deleted by the publisher.

E N D

Presentation Transcript

  1. 行列式习题课 1.复习主要内容 2.习题举例 3.学生练习 4.测试题

  2. 一、 复习主要概念1．行列式的定义2．行列式的性质3．行列式的计算① 用定义计算行列式② 用上（下）三角形行列式计算行列式③ 利用行列式的展开法计算行列式④ 利用Vandermonde行列式计算行列式⑤ 用Laplace定理计算特殊的阶数大的行列式递推法、加边法、归纳法等等.4. Cramer法则

  3. 行列式的定义

  4. 行列式的等价定义 其中

  5. 行列式的性质 • 上（下）三角行列式的值为其所有对角元之积 • 将行列式某行（列）乘以常数c,则行列式值为原来的c倍；即行列式某行（列）的公因子可以提到行列式外面 • 互换行列式任意两行（列），行列式值改号 • 行列式两行（列）对应元素成比例，则行列式值为0

  6. 行列式的某一行（列）是两阻数的和,那么这个行列式就等于两个行列式的和.行列式的某一行（列）是两阻数的和,那么这个行列式就等于两个行列式的和. • 将行列式的一行（列）乘以某个常数c加到另一行（列）上去，行列式值不变

  7. 行列式展开公式:行列式的值等于任意一行(列)元素与它的代数余子式乘积之和.行列式的一行(列)元素与另外一行(列)元素的代数余子式乘积之和恒等于零.行列式展开公式:行列式的值等于任意一行(列)元素与它的代数余子式乘积之和.行列式的一行(列)元素与另外一行(列)元素的代数余子式乘积之和恒等于零.

  8. 归纳法 （对行列式阶数） • 验证结论对n = 1或n=2时成立; • 归纳假设对任意满足命题条件的n － 1阶(小于n阶)行列式命题成立 • 利用2）的假设证明命题对n 阶行列式也成立

  9. k阶子式、余子式、代数余子式

  10. Laplace定理 • 设A是n阶行列式，在A中任取k行（列），那么含于这k行（列）的全部k阶子式与它们对应的代数余子式的乘积之和等于A. 即若取定k个行：

  11. 二．习题举例： １　用定义计算（证明） EXA1 用行列式定义计算

  12. 解 注意

  13. 2　用化三角形行列式计算 • EXA 2． • 设行列式 D= • 求

  14. EXA3　计算

  15. 解

  16. 提取第一列的公因子，得

  17. 注　本题利用行列式的性质，采用“化零”的方法，逐步将所给行列式化为三角形行列式．化零时一般尽量选含有１的行（列）及含零较多的行（列）；若没有１，则可适当选取便于化零的数，或利用行列式性质将某行（列）中的某数化为1；若所给行列式中元素间具有某些特点，则应充分利用这些特点，应用行列式性质，以达到化为三角形行列式之目的．注　本题利用行列式的性质，采用“化零”的方法，逐步将所给行列式化为三角形行列式．化零时一般尽量选含有１的行（列）及含零较多的行（列）；若没有１，则可适当选取便于化零的数，或利用行列式性质将某行（列）中的某数化为1；若所给行列式中元素间具有某些特点，则应充分利用这些特点，应用行列式性质，以达到化为三角形行列式之目的．

  18. 3　用降阶法计算 EXA5　计算 解

  19. 注　本题是利用行列式的性质将所给行列式的某行（列）化成只含有一个非零元素，然后按此行（列）展开，每展开一次，行列式的阶数可降低 1阶，如此继续进行，直到行列式能直接计算出来为止（一般展开成二阶行列式）．这种方法对阶数不高的数字行列式比较适用．

  20. 4　利用范德蒙行列式计算 利用范德蒙行列式计算行列式，应根据范德蒙行列式的特点，将所给行列式化为范德蒙行列式，然后根据范德蒙行列式计算出结果。 EXA3　计算

  21. 解

  22. 　　上面等式右端行列式为n阶范德蒙行列式，由　　上面等式右端行列式为n阶范德蒙行列式，由 范德蒙行列式知

  23. 注　本题所给行列式各行（列）都是某元素的不同方幂，而其方幂次数或其排列与范德蒙行列式不完全相同，需要利用行列式的性质（如提取公因子、调换各行（列）的次序等）将此行列式化成范德蒙行列式．注　本题所给行列式各行（列）都是某元素的不同方幂，而其方幂次数或其排列与范德蒙行列式不完全相同，需要利用行列式的性质（如提取公因子、调换各行（列）的次序等）将此行列式化成范德蒙行列式．

  24. 5　用递推法计算 EXA7　计算 解

  25. 由此递推，得 如此继续下去，可得

  26. 评注

  27. 6　用数学归纳法 例９　证明

  28. 证 对阶数n用数学归纳法

  29. 7　用展开、递推法 求值

  30. 一题多解

  31. 计算行列式的方法比较灵活，同一行列式可以有多种计算方法；有的行列式计算需要几种方法综合应用．在计算时，首先要仔细考察行列式在构造上的特点，利用行列式的性质对它进行变计算行列式的方法比较灵活，同一行列式可以有多种计算方法；有的行列式计算需要几种方法综合应用．在计算时，首先要仔细考察行列式在构造上的特点，利用行列式的性质对它进行变 换后，再考察它是否能用常用的几种方法． A

  32. 三、练习 1．判断 是不是6阶行列式的项，若是,带什么符号？ 2．设行列式 求A43.

  33. 5.计算下列行列式的值

  34. 6．证明：

  35. 7．用范德蒙行列式计算

More Related