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アルゴリズム概論　講義資料

アルゴリズム概論　講義資料. 　関先生の講義資料を利用させていただきました。 資料の利用を快諾していただいた関先生に感謝　　　します。 　参考書 　　　　石畑　清著：　 　　　　「アルゴリズムとデータ構造」　（岩波書店）. グラフのアルゴリズム. 探索 5/12 連結性 5/14 最短経路 5/19. 有向グラフ (directed graph). 頂点（節点） (vertex, node). 道 (path) ：辺で結ばれた頂点の列． v1,v2,v3,v4,v2 （長さ４）など．

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アルゴリズム概論　講義資料

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Presentation Transcript

  1. アルゴリズム概論　講義資料 • 　関先生の講義資料を利用させていただきました。 資料の利用を快諾していただいた関先生に感謝　　　します。 • 　参考書 　　　　石畑　清著：　 　　　　「アルゴリズムとデータ構造」　（岩波書店）

  2. グラフのアルゴリズム • 探索 5/12 • 連結性 5/14 • 最短経路 5/19

  3. 有向グラフ (directed graph) 頂点（節点） (vertex, node) • 道 (path) ：辺で結ばれた頂点の列．v1,v2,v3,v4,v2（長さ４）など． • 閉路 (cycle)：先頭と末尾の頂点が等しい道．v2,v3,v4,v2など． v1 v2 v5 v3 辺（枝） (edge, arc) v4

  4. 無向グラフ (undirected graph) • 道 v1,v2,v3,v4,v2 や v2,v3,v1,v3 • 閉路　v1,v2,v3,v1 など v1 v2 v5 v3 v4

  5. 重みつきグラフ 2 3 4 8 1 3 2 5 • 辺に数値（重み）をつけることがある（有向グラフでも）． • （重みの例）頂点 辺 重み 　駅 路線 距離または運賃 計算機 回線 コスト v1 v2 v5 v3 v4

  6. 仮定 有向グラフ 無向グラフ • 多重辺 • 自己閉路 はないと仮定．

  7. グラフのサイズ（大きさ）の尺度 • 頂点数n, 辺の数m nとmの関係は？ 完全グラフ（すべての頂点間に辺が存在するグラフ）のとき 　　　無向グラフ　　　　　　　　　　　　　有向グラフ m=n(n-1)/2 m=n(n-1)

  8. グラフのサイズ（つづき） 　　無向グラフ　　　　　　　　　有向グラフ 0≦m≦n(n-1)/2 0≦m≦n(n-1) O(n2) O(n2) m∈ O(n2) : 密なグラフ m∈ O(n) : 疎なグラフ 計算量　　 m∈ O(n2) m∈ O(n) O(m+n) O(n2) O(n) O(n log n) O(n log n) O(n log n) （どちらが効率が良いかはグラフの疎／密に依存）　　

  9. グラフの表現法 0 1 (*を0にするか 1にするかは任意) 必要な領域 O(n2) O(m+n) 0 1 2 3 0 * 1 1 0 1 0 * 0 1 2 0 1 * 1 3 0 0 0 * 2 3 隣接行列 隣接リスト

  10. 深さ優先探索 (depth first search) • 訪問順：1 • 2 • 3 • 5 • 6 • 7 • グラフの探索：すべての頂点をちょうど１回ずつ訪問する方法． A C A E B C 木の辺 D G F E 逆辺 F D G B

  11. 寄り道（C言語のデータ型） int x ; （宣言：　xはint（整数）型の変数） struct { int height ; int weight ; } y ; （yはheight, weightという二つのメンバーをもつ構造体の変数） y.height = 169 ; y.weight = 58 ; z = y.height – 110 ; height: weight:

  12. C言語（構造体，ポインタ） struct hwdata { int height ; int weight ; } ; struct hwdata y ; でも同じ （hwdataと型名をつけた）． int *p ; （pはint型の値を指すポインタ型変数） *p = 315 ; struct hwdata *p ; (*p).height=169 ; 　　（p->height=169 と略記） height: weight: hwdata型 p p

  13. C言語（リスト構造の表現） dest next struct cell { int dest ; %辺の行き先頂点 struct cell *next ; } ; struct cell *p ; p->dest = 15 ; p->next = NULL ; typedef struct cell *elist; と型定義しておくと， struct cell *p の代わりに， elist pと書ける． cell型 p NULL（=0, 何も 指していない）

  14. 隣接リスト（C言語の構造体配列） struct { int state ; elist adjlist ; } vertex[1000] ; （vertexはサイズ1000の 配列で，その要素は int型のstateと elist型のadjlistという 二つのメンバーをもつ 構造体） state adjlist 0 1 2 3 NULL visited(=1)または unvisited(=0). 配列vertex

  15. 深さ優先探索（抽象的アルゴリズム） { for (i=0; i<n; i++) %nは頂点数 vertex[i].state=unvisited ; %初期化 for (i=0; i<n; i++) %各頂点iから探索開始 if (vertex[i].state==unvisited) dfs(i) ; % 頂点をまだ訪問していなければdfs(i)を行う． } dfs(v) { vertex[v].state=visited ; 頂点vに対する処理 ; for (vを始点とする各辺について) { d=辺の行き先の頂点 ; 辺(v, d)に対する処理 ; if(vertex[d].state==unvisited)dfs(d); } }

  16. 深さ優先探索（詳細化） dfs(v) { int d; elist p; vertex[v].state=visited ; 頂点vに対する処理 ; p=vertex[v].adjlist ; while (p!=NULL) { d=p->dest ; 辺(v, d)に対する処理 ; if(vertex[d].state==unvisited) dfs(d); p=p->next ; } }

  17. 深さ優先探索（有向グラフ） 訪問順：1 6 2 4 7 3 5 A F A F 上昇辺 B G G E C C D 交差辺 D 木の辺 下降辺 B E

  18. トポロジカルソート（有向グラフ） • 道v1→v2→...→vn(v1≠vn)があるとき，v1→+ vnと書く． • DAG (directed acyclic graph): 閉路をもたない有向グラフ． • トポロジカルソート問題：与えられたDAGの全頂点を，関係→+に矛盾しないように並べよ． u1 u2 u3 u4 ... un 　と並べたとき， ui→+ uj　ならば i<j でなければならない．（ujがuiより前に現れてはならない．） ×

  19. トポロジカルソート（つづき） v1 → v2 ← v5 v3 → v4 v1 → v5 → v2 → v3 → v4 v1 v2 v5 v3 v4 トポロジカルソート ではない． トポロジカルソート

  20. ③ ④ ① ② トポロジカルソート（アルゴリズム） • 3 • 2 • 1 v1 v2 Step1 深さ優先探索をし， 帰りがけに番号をふる． Step2 その番号の大きい 順に頂点を並べる． v1 → v5 → v2 → v3 → v4 ji ... uv ... ( j>i) と並んだとき，v →+ uとはならない．なぜなら，もしv →+ uならばvからuへの道があるので，vに番号づけする前にuに番号づけするはずだから． v5 v3 v4 5 4 3 2 1

  21. 連結性 • 無向グラフが連結：任意の２頂点間に道があること． 　　　連結　　　　　　　　　連結でない • 有向グラフが強連結：任意の２頂点 u, v について，uからvへの道があること． 強連結　　　　　　　　　強連結でない

  22. ２重連結性 (biconnected) • 無向グラフが２重連結：どの１頂点を取り除いても，残ったグラフが連結であること． • 関節点：それを取り除くと連結でなくなるような頂点．（関節点をもたないグラフは２重連結．よって，関節点の検出法があれば２重連結かどうかも分かる．） • ２重連結成分：２重連結であるような極大な部分グラフ． 関節点

  23. 関節点の検出アルゴリズム • 根頂点Aが関節点である⇔ Aが子頂点を２つ以上もつ A A

  24. B D C B F G D E E G C H H F 関節点の検出（つづき） ↑1 ↑1 　↑ 3 　　　　↑ 1 　　　　　　　　↑ 1 　　　　　　　　↑ 5 　　　　　　　　↑ 5 1 2 3 4 5 6 7 • 根頂点以外の場合 • 深さ優先探索を行う． • 1, 2, ... : 行きがけに番号付け　　　 • 　　　　　　（順序数） • ↑1, ↑3, ... : 木の辺を下向きに0回 • 以上たどった後，逆辺を0または1回 • たどって至る頂点の順序数の最小値

  25. 関節点の検出（正当性） 根頂点でないAが関節点である⇔ 　　深さ優先探索木中，Aの下の部分木で，Aの祖先への逆辺をもたないものが存在する． （証明）（⇒を証明する．逆も同様に証明できる．）対偶を背理法により証明する．Aのどの部分木からも，Aのある祖先への逆辺があるとし，Aが関節点であると仮定する．あるB, Cが存在して，BC間の道は全てAを通る．

  26. 関節点の検出（正当性つづき） • BがAの祖先，CがAの子孫のとき． 　仮定より右のような逆辺がある．よってAは関節点でない．∴矛盾． B A C :道を表す

  27. 関節点の検出（正当性つづき） • B, CがAの子孫のとき． 　仮定より右のような逆辺がある．よってAは関節点でない．∴矛盾． A B C

  28. 有向グラフの強連結成分 • 強連結であるような極大な部分グラフ． 縮約（簡約）グラフ

  29. 強連結成分を求めるアルゴリズム ↑1 　　　　　　↑1 　　　↑7 　　　↑1 　　↑3 　　　　　↑9 ↑1 　　　　　　↑5 　　　　　　　　　　↑5 • 深さ優先探索を行い，各頂点vに，順序数seq(v)と lowlink(v)をふる． lowlink(v) : 木の辺を下向きに0回以上たどった後，同じ強連結成分内の上昇辺または交差辺を0または1回たどって至る頂点の順序数の最小値. 1 2 8 3 7 9 4 5 6 ↑1: lowlink 3 :順序数

  30. アルゴリズムの正当性 頂点vが強連結成分の根⇔lowlink(v)=seq(v) （証明）（⇒）lowlink(v)≠seq(v)と仮定． lowlink(v)<seq(v)である．seq(w)=lowlink(v) とすると， どちらの場合も， vは強連結成分 の根ではない． Ｗ Ｗ Ｖ Ｖ

  31. アルゴリズムの正当性（つづき） （⇐）vが強連結成分の根ではないと仮定．vから強連結成分の根への道が存在する．その道上でvの子孫でない最初の頂点をwとすると， lowlink(v)≦seq(w)<seq(v). w v

  32. 強連結成分（アルゴリズムの概要） ↑1 　　　　 ↑1 ↑7 ↑1 ↑3 ↑9 ↑1 ↑5 ↑5 1 12345678 1 2 8 12345678 3 7 9 123456789 1234 4 5 1234 123456 強連結成分 6 123456 lowlink(v)=seq(v)となったら スタックをvまでポップ

  33. 強連結成分（抽象的アルゴリズム） struct { int seq ; %序数を記憶 elist adjlist ; %隣接リスト } vertex[1000] ; %入力グラフ int count, sp, i, stack[1000] ; for (i=0; i<n; i++) vertex[i].seq=0; %初期化 count=0 ; sp=-1 ; for (i=0; i<n; i++) if (vertex[i].seq==0)%頂点iをまだ訪問していない scc(i) ;

  34. 強連結成分（アルゴリズム，つづき） scc(v) { % lowlink(v)を計算しながら， % 強連結成分が検出されたら出力 count++; vertex[v].seq=count; min=count; sp++; stack[sp]=v; for (vを始点とする各辺(v,d)について) { if (まだdを訪問していない) m=scc(d); else m=vertex[d].seq ; %(v,d)は上昇辺か交差辺 if (m<min) min=m ; if (min==vertex[v].seq) %vは強連結成分の根 スタックstackを先頭からvまでポップしながら出力; return(min) ; } }

  35. 最短経路 (shortest path) 1 2 5 3 6 vからwへの最短経路：vからwへの道で辺 の重み和が最小のもの（複数存在することも） v1からv3への道： v1 v2 v3 4 v1 v3 5 v1 v4 v3 8 v1からv3への最短経路：v1 v2 v3 v1 v2 v4 v3

  36. Dijkstraのアルゴリズム（概要） 出発点sからの最短経路が求まっている頂点集合をV, 求まっていない頂点集合をUとする． • V=空集合; U=全頂点集合; s.distance=0 ; s以外の頂点vについてv.distance=∞と初期化; • U=空集合となるまで以下を繰り返す; • Uからdistanceが最小の頂点pを選びVに移す; • Uに属する頂点xで辺p→xが存在するものについて，x.distance>p.distance+(p→xの重み)なら，x.distanceをp.distance+(p→xの重み)に変更する; 6 6 3 3 ∞ 5 5 8 2 2 V V U U ９ 7

  37. Dijkstraのアルゴリズム（実行例） （辺の重みは，すべて正か0とする） U V 1 1 3 0 ∞ 3 0 1 5 5 2 3 2 3 5 3 ∞ ∞ 5 3 5 ∞ 2 2 3 ∞ ∞ 3 2 5 1 1 1 1 3 0 1 5 3 0 １ 5 2 3 2 3 5 3 ４ ∞ 5 3 ４ ∞ 2 2 3 2 ４ 3 2 ３ 1 1

  38. Dijkstraのアルゴリズム（つづき） 1 1 3 0 １ 5 3 0 １ 5 2 3 2 3 5 3 ４ ６ 2 5 3 ４ ６ 2 3 2 ３ 3 1 2 ３ 1 1 3 0 １ 5 2 3 5 3 ４ ６ 2 3 2 ３ 1

  39. Dijkstraのアルゴリズム（正当性） V U （性質）V内の各頂点wには，V内の頂点のみを経由するsからwへの最短経路が求まっていると仮定する．アルゴリズムが頂点pを選んだとする．sからpへの最短経路で，V内の頂点だけを経由するものがある． p s（出発点）

  40. Dijkstra（正当性，つづき） V U p （証明）背理法．sからpへの最短経路はすべてU内の頂点を通るとする．最初に訪れるU内の頂点をqとする．上の図で，重み和について， sqp < sp qp ≧ 0 より， sq < sp これはアルゴリズムがpを選んだことに矛盾． （重み≧0の仮定が本質的．） s（出発点） q

  41. Dijkstraのアルゴリズム（データ構造） struct { int state ; int disance ; %始点からの重み和を記憶 elist adjlist ; } vertex[1000] ; %入力グラフ struct cell { int dest ; %辺の行き先の頂点 int weight ; %辺の重み struct cell *next } ;%隣接リストで使う辺を表す構造体

  42. Dijkstraのアルゴリズム（詳細化） dijkstra(s) { % sは出発点 for (i=0; i<n; i++) { vertex[i].state=unvisited ; vertex[i].distance=∞ ; } vertex[s].distance=0 ; % 出発点sからs自身への重み和は0

  43. Dijkstraのアルゴリズム（つづき） for (step=0; step<n; step++) { min=∞ ; for (i=0; i<n; i++) { if (vertex[i].state==unvisited && vertex[i].distance<min) { p=i; min=vertex[i].distance; } } if (min==∞) error ; vertex[p].state=visited ; for(e=vertex[p].adjlist;e!=NULL;e=e->next){ x=e->dest; vertex[x].distace =min(vertex[x].distance, vertex[p].distance+(e->weight)) ; } } }

  44. Dijkstraのアルゴリズム（計算量） • 最初のfor文 n回 • 2つめのfor文 n回 • 内側の2つのfor文 いずれもn回 • よって全体で，O(n2). • ヒープを使うとO((m+n)log n)にできる．疎なグラフだとこの方が早い． 補足：前ページで， min(x,y) { if (x>=y) return(x) ; else return(y) ; }

  45. Greedy（グリーディ）アルゴリズム • 局所的に（その都度）最適なものを選択するような戦略． • 全体として最適解が得られるとは限らない（例：荷物の箱づめ，ゲーム）． • Dijkstraのアルゴリズムは，グリーディアルゴリズムで全体の最適解を求めることのできる典型例．

  46. Floydの方法 • 全頂点間の最短経路を求める． • ak[i,j] : 頂点0,1,...,kだけを通って，頂点iからjへ至る道の最短長． • 特に，a0[i,j]: 辺 i→j の重み．ただし，i=jのとき0, 辺i→jが存在しないとき∞． 考察 • an-1[i,j]は，iからjへの最短経路長（重み和）となる． • ak-1[*,*]からak[*,*]を求める方法が見つかれば，a0[*,*]から順に，an-1[*,*]を求めることができる．

  47. Floydのアルゴリズム（アイディア） ak-1[i,j] ak[i,j]=min(ak-1[i,k]+ak-1[k,j], ak-1[i,j]) i j どちらか短い方がak[i,j] つまり， ak-1[k,j] ak-1[i,k] k

  48. Floydのアルゴリズム（詳細化） { for (i=0; i<n; i++) for (j=0; j<n; j++) a[i,j]=辺i→jの重み; %i=jのとき0, 辺i→jがないとき∞ for (k=0; k<n; k++) for (i=0; i<n; i++) for (j=0; j<n; j++) a[i,j]=min(a[i,k]+a[k,j], a[i,j]); } 時間計算量　O(n3)

  49. Floydのアルゴリズム（メモリ管理） 前ページのアルゴリズム：一つの配列で，a0[*,*], a1[*,*], ... を重ね書きしている． →　重ね書きして大丈夫か？

  50. Floydのアルゴリズム（つづき） ak[i,k]=min(ak-1[i,k]+ak-1[k,k], ak-1[i,k]) =ak-1[i,k].同様に，ak[k,j]=ak-1[k,j]． よって，　　　　　の値を使ってもＯＫ！ ak[i,j]=min(ak-1[i,k]+ak-1[k,j], ak-1[i,j]) 0 1 2 3 4 0 1 2 3 4 5 1 6 7 8 9 10 2 11 12 13 14 15 3 16 . . . 4 :計算済 　　　　　を求める のに，　k=1のとき， 　　を使う．

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