*** MATEMATIKAI LOGIKA *** 1. ÍTÉLETEK, ÍTÉLETKALKULUS 1.1. AZ ÍTÉLET FOGALMA

1. *** MATEMATIKAI LOGIKA *** 1. ÍTÉLETEK, ÍTÉLETKALKULUS 1.1. AZ ÍTÉLET FOGALMA Igaz, vagy hamis . Ítélet logikai értéke Logikai változó - i, h vagy t,f vagy T, F) Példa. A: A tiszta hó fehér.B: Április 30 napból áll. C: Minden hónap 30 napból áll. D: 7 osztható 3-mal. E: Ha BÉR < 50 000, AKKOR A SZEMÉLYI JÖVEDELEMADÓ = 0. F: Ha a < b és b < c, akkor c < a. G: Portugália fővárosa Bécs.

2. A i h h i Összetett ítélet Egyszerű ítélet Nem minden mondat ítélet. Nyisd ki az ajtót! "Én egy hazug vagyok”    1.2. LOGIKAI MŰVELETEK Igazságtáblázat Ítéletkalkulus 1.2.1. NEGÁCIÓ DEFINÍCIÓ. A logikai értéke igaz, ha A hamis, és hamis, ha A értéke igaz.

3. Megjegyzés. A -val ekvivalensek: ~ A, NOT A, A B i i h h i h i h i h h h PÉLDÁK. 1. Példa.A: Esik az eső. Akkor A: Nem esik az eső. 2. Példa.A: a < b. Akkor A: a b 3. Példa. A: Budapest tiszta város. A: Budapest nem tiszta város. 1.2.2. KONJUNKCIÓ DEFINÍCIÓ. Az AB konjunk- ció logikai értéke akkor és csak akkor igaz, ha mind A, mind B (tehát egyszerre mind a kettő) logikai értéke igaz.

4. A B i i h h i h i h i i i h PÉLDÁK. 1. Példa. A: Péter okos; B: Péter szerencsés; A B: Péter okos is és szerencsés is (azaz egy új ítélet: okos- szerencsés). 2. Példa.A: x >1; B: x < 2; A B: l < x < 2. Megjegyzés. & AND 1.2.3. DISZJUNKCIÓ DEFINÍCIÓ. Az AB diszjunkció logikai értéke akkor és csak akkor igaz, ha A és B közül legalább az egyik igaz.

5. PÉLDÁK 1. A: Péter okos, B: Péter szerencsés, AB: Péter vagy okos, vagy szerencsés, vagy mindkettő. 2. A: 5 osztója 25-nek; B: 3 osztója 25-nek; AB = i. 3. A: 2 >3; B: 5 >7; AB= h. 4. A: Ma esik az eső. B: Ma hó esik. Akkor A B : Ma eső, vagy hó esik (vagy mindkettő előfordul).

6. A B i i h h i h i h i h i i 1.2.4. IMPLIKÁCIÓ DEFINÍCIÓ. Az impliká- ció akkor és csak akkor ha- mis, ha A igaz, és B hamis. Példa. Legyen A: A Nap süt, B: 2+5>3. Logikai értelemben impli- kációnak tekintjük az aláb- bi ítéletet: Ha a Nap süt, akkor 2 + 5 > 3.

7. Az AB implikáció megfordításán a BA implikációt értjük. Indok az implikáció definíciójára PÉLDÁK 1. Példa.A: A négyszög téglalap; B: a négyszög átlói egyenlők. Ha a négyszög téglalap, akkor átlói egyen- lők. 2. Példa.A: a szám 8-cal osztható; B: a szám 4-gyel osztható; AB = i; B A = h. 3. Példa. Legyen A: Esik az eső, B: Fúj a szél. Mit jelent a) AB , ill. b) B A.

8. A B i i h h i h i h i h h i 1.2.5. EKVIVALENCIA DEFINÍCIÓ.AB akkor és csak akkor igaz, ha A B és B A is igaz. PÉLDÁK 1. Példa.K: Az n egész szám számjegyeinek összege osztható 3-mal. L: n osztható 3-mal. KL igaz és LK is igaz. Tehát KL. 2. Példa. M: Két szám pozitív. N: szorzatuk pozitív. M N igaz, de N M nem; Tehát M N.

9. 1.2.6. A logikai műveletek tulajdonságai (logikai azonosságok) Kommutativitás: AB = B A AB = BA AB = B A de: ABBA Asszociativitás: (AB) C = A(BC) (AB) C = A (B C) (A B) C = A (B C) de:(AB) CA (BC)

10. Disztributivitás: (A B) C = (AC)  (B C) (A B) C = (AC) (B C) Tagadás: (A) = A (AB) = A B De Mor- (A B) = AB gan (A B) = A B (A B) = AB = A B Implikáció:: AB = A B Ekvivalencia AB = (A B)  (BA) BOOLE-ALGEBRA

11. A B i i h h i h i h h i i h 1.2.7. TOVÁBBI LOGIKAI MŰVELETEK A kizáró “vagy”, kizáró diszjunkció művelet DEFINÍCIÓ. Legyen A és B két ítélet. Akkor az művelettel létrehozott ítélet akkor és csak akkor igaz, ha vagy A, vagy B, de nem mind a kettő igaz.

12. A B i i h h i h i h h i i i Erre a műveletre az alábbi tulajdonságok érvényesek: 1. Kommutativitás: 2. Asszociativitás: 3. Disztributivitás: 4. 5. A NAND művelet DEFINÍCIÓ.A és B két ítélet. Akkor a  jellel jelölt NAND művelet olyan AB ítéletet de- finiál, amely akkor és csak akkor hamis, ha mindkét ítélet igaz.

13. A B i i h h i h i h h h h i ABítélet tehát a következőképpen írható fel: A NOR művelet DEFINÍCIÓ. Legyen A és B két ítélet. Akkor a  jellel jelölt NOR művelet olyan AB ítéle- tet definiál, amely akkor és csak akkor igaz, ha mind az A, mind a B hamis.

14. 2. LOGIKAI KIFEJEZÉSEK 2.1. ALAPFOGALMAK Példa. A műveletek közti elsőbbségisorrend (precedencia). A "Balróljobbra" szabály PÉLDÁK 1. Példa. Legyen A: 5000  Tőke, B: Kamat 3%. A AB=?, ha Tőke = 6000, Kamat = 2%. 2. Példa. Adjuk meg a ((AB)(CD)(EF))G kifejezés értékét, ha a kifejezésben szereplő változók értékei: A = i; B=h; C=h; D=i; E=h; F=h; G= i;   

15. 1. Példa: Írjuk fel a következő logikai kifejezés igaz- ságtáblázatát! 2.2. LOGIKAI KIFEJEZÉSEK IGAZSÁGTÁB- LÁZATA PÉLDÁK 2. Példa: Írjuk fel a következő logikai kifejezés igaz- ságtáblázatát! 3. Példa: Írjuk fel a következő logikai kifejezés igaz- ságtáblázatát!   

16. 2.3. TAUTOLÓG LOGIKAI KIFEJEZÉSEK DEFINÍCIÓ. A L logikai kifejezést tautológiának hívjuk, ha L értéke a benne szereplő ítéletek (változók) bármilyen értékére mindig igaz. Ha viszont a L értéke mindig hamis, akkor ellentmondásnak hívjuk a kifejezést. Példa. Mutassuk meg, hogy a) b) tautológia ellentmondás!   

17. 2.4. VÁLTOZÓK HELYETTESÍTÉSE Példa. -sel. Helyettesítsük a P változó értékét Akkor B-nek az alábbi helyettesítési értékéhez jutunk logikai kifejezés tautológia. Az alábbi kifejezések mind tautológiák! a) b) TÉTEL. Tautológia minden helyettesítési értéke tautológia. Példa. A   

18. 2.5. LOGIKAI KIFEJEZÉSEK EKVIVALEN- CIÁJA DEFINÍCIÓ. Legyen A és B két logikai kifejezés és tegyük fel, hogy a P1, P2,…, Pn változók, és csak ezek a változók, mindkét kifejezésben szerepelnek. Azt mondjuk, hogy az A és B logikai kifejezések ekvivalensek, ha a P1, P2,…, Pn változók minden konkrét n-esére ( 2n ilyen van) az A és B kifejezések ugyanazt az értéket veszik fel.

19. Példa. Mutassuk meg, hogy    2.6. LOGIKAI KIFEJEZÉSEK EGYSZERŰSÍ- TÉSE TÉTEL. Legyen L egy logikai kifejezés. Helyette- sítsünk L-ben egy L1 részkifejezést olyan L2 kifejezéssel, amelyre L1= L2. A kapott L* kifejezés ekvivalens L-lel, azaz L* =L. . A származtatás jele: :. Példa. Mutassuk meg, hogy   

20. 2.7. DUÁLIS LOGIKAI KIFEJEZÉSEK DEFINÍCIÓ. Az A és A* logikai kifejezések egymás duálisai, ha egymásból úgy származtathatók, hogy a  műveletet -sel, a -t pedig -gyal helyettesítjük, i-t h-val és h-t i-vel). (E műveleteket egymás duálisának nevezzük.) Példa. Írjuk fel a következő kifejezések duálisait! a)b) c)

21. TÉTEL. Legyenek A és A* egymás duálisai és tegyük fel, hogy mindkét kifejezés a P1, P2,…, Pn logikai változók függvénye, azaz: Akkor illetve

22. 3. LOGIKAI KIFEJEZÉSEK NORMÁLFORMÁJA 3.1. ELEMI KIFEJEZÉSEK DEFINÍCIÓ. A P1, P2,…, Pn logikai változóknak (ítéleteknek) és negáltjaiknak a konjunkcióját (szorzatát) elemi szorzatnak, diszjunkcióját (összegét) pedig elemi összegnek nevezzük. Példák:

23. Tétel. Annak szükséges és elégséges feltétele, hogy egy elemi szorzat azonosan hamis illetve egy elemi összeg azonosan igaz legyen az, hogy tartalmazzon legalább egy olyan faktort, amelyben egy változó és negáltja szerepel.    3.2. DISZJUNKTÍV NORMÁLFORMÁK DEFINÍCIÓ. Azt a logikai kifejezést, amely elemi szorzatok összegéből áll, diszjunktív normálformának (dnf) nevezzük. dnf-ja? 1. Példa:

24. 2. Példa: A dnf-ja? Megoldás: azonosságot Az első lépésben a alkalmaztuk, majd a második lépésben szoroztunk P-vel.   

25. 3.3. KONJUNKTÍV NORMÁLFORMÁK DEFINÍCIÓ. Az elemi összegek szorzatából álló kifejezést konjunktív normálformának (knf) nevezzük. . 1. Példa: knf-ja? knf-ja? 2. Példa: Megoldás:   

26. 3.4. PEREFKT NORMÁLFORMÁK DEFINÍCIÓ. AP1, P2,…, Pnlogikai változók azon elemi szorzatait (összegeit), amelyekben mindegyik változó szerepel, de egyidejűleg nem tartalmazzák a változót és negáltját, teljes (vagy primitív) elemi szorzatoknak(összegeknek) nevezzük. Példa. Írjuk fel a P, Q, R változók néhány a) primitív elemi szorzatát és b) primitív elemi összegét. M:

27. 3.4.1.PERFEKT DISZJUNKTÍV NORMÁLFORMÁK DEFINÍCIÓ. Azokat a logikai kifejezéseket, amelyek primitív elemi szorzatok összegeiből állnak, perfekt (vagy teljes) diszjunktív normálformáknak hívjuk(pdnf). 1. Példa. Írjuk fel az a) b) c) kifejezések diszjunktív normálformáját!

28. Eljárás perfekt diszjunktív normálformák létrehozására 1. Példa: Írjuk fel az alábbi logikai kifejezések perfekt diszjunktív normálformáját! Megoldás:

29. 2. Példa: Írjuk fel az alábbi logikai kifejezések perfekt diszjunktív normálformáját! Megoldás: Megjegyzés: A pdnf alkalmas logikai kifejezések ekvivalenciájának bizonyításárra

30. „Algoritmus” Ekvivalencia Példa: Mutassuk meg, hogy a bal ill. jobb oldali kifejezések ekvivalensek egymással! Megoldás: a) b)

31. 3.4.2. PERFEKT KONJUNKTÍV NORMÁLFORMÁK DEFINÍCIÓ. Az elemi összegek konjunkció- jából álló logikai kifejezéseket perfekt konjunk- tív normálformáknak hívjuk. Példa. Írjuk fel a logikai kifejezést perfekt konjunktív normálalakban.

32. p kapcsoló + s lámpa - A P = S logikai kifejezés a p kapcsoló a q kapcsoló + s lámpa - 4. LOGIKAI ÁRAMKÖRÖK A PQ művelet áramköre

33. p kapcsoló Input Output q kapcsoló + s lámpa p q p q - 1 1 1 A PQ művelet áramköre 1 0 1 0 1 1 0 0 0 p r q A VAGY-kapu

34. Input Output p q p q 1 1 1 1 0 0 0 1 0 p ÉS-Kapu r q 0 0 0 p r Input Output P P 1 0 0 1 Nem-kapu

35. kifejezésáramkörét! Példa: Adjuk meg a

36. a b a b A NOR-kapu. A NAND-kapu.