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e 展開を用いた ユニタリー・フェルミ気体の研究

e 展開を用いた ユニタリー・フェルミ気体の研究. 西田 祐介 (INT, ワシントン大学 ). 実験的背景 ： ユニタリー・フェルミ気体 理論： e 展開の定式化 ( e = 4-d, d-2) LO + NLO での結果 まとめと結論. “ e expansion for a Fermi gas at infinite scattering length” Y. N. & D. T. Son, Phys. Rev. Lett. 97, 050403 (2006) Phys. Rev. A 75, 063617 (2007)

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e 展開を用いた ユニタリー・フェルミ気体の研究

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Presentation Transcript

  1. e展開を用いたユニタリー・フェルミ気体の研究e展開を用いたユニタリー・フェルミ気体の研究 西田 祐介 (INT, ワシントン大学) • 実験的背景 ： ユニタリー・フェルミ気体 • 理論：e展開の定式化 (e=4-d,d-2) • LO + NLO での結果 • まとめと結論 “e expansion for a Fermi gas at infinite scattering length” Y. N. & D. T. Son, Phys. Rev. Lett. 97, 050403 (2006) Phys. Rev. A 75, 063617 (2007) Y. N., Phys. Rev. A 75, 063618 (2007)

  2. フェルミ粒子からなる様々な系 引力相互作用 超伝導・超流動 • 金属超伝導 (電子) • Kamerlingh Onnes (1911), Tc = ~9.2 K • 液体ヘリウム3 • Lee, Osheroff, Richardson (1972), Tc = 1~2.6 mK • 高温超伝導 (電子 or ホール) • Bednorz and Müller (1986), Tc = ~160 K • 冷却原子気体 (40K, 6Li) • Regal, Greiner, Jin (2003), Tc ~ 50 nK • 核物質 (中性子):?, Tc ~ 1MeV • カラー超伝導 (クォーク):??, Tc ~ 100MeV BCS theory (1957)

  3. フェッシュバッハ共鳴 C.A.Regal and D.S.Jin, Phys.Rev.Lett. (2003) 原子気体 　実験環境を自由にデザイン　（統計性、分極、格子、・・・） 原子間の引力の強さを外磁場によって任意に制御できる S波散乱長 “a” :[0,] a (rBohr) フェッシュバッハ共鳴 ゼロ束縛エネルギー |a| a>0 束縛分子 を形成 a<0 束縛状態なし 40K 引力大 a+0引力小 a-0 B (Gauss)

  4. BCS-BECクロスオーバー Eagles (1969), Leggett (1980) Nozières and Schmitt-Rink (1985) ? 強結合領域 - + 0 超流動相 原子気体のBCS状態 弱い引力 :akF-0 束縛分子のBEC状態 弱い斥力 :akF+0 • ユニタリー・フェルミ気体 • 強結合極限 : |akF| • 原子気体 @ フェッシュバッハ共鳴 強結合系のプロトタイプ　（高温超伝導、クォーク物質、・・・） 原子気体 強相関量子多体系を議論する理想的な環境

  5. ユニタリー・フェルミ気体 George Bertsch (1999), “Many-Body X Challenge” 原子気体@フェッシュバッハ共鳴 : r0 << kF-1 << |a| 散乱長が無限大 (a) の コンタクト相互作用 (r00) をする スピン1/2のフェルミ粒子 強結合極限akF= : 摂動展開は破綻 展開パラメータがないため 解析計算は難しい • これまでのアプローチ… • 平均場近似（+揺らぎ） • モンテ・カルロ数値シュミレーション • … • 空間次元による系統的な展開 e展開

  6. e展開によるアプローチ (e=4-d,d-2) g g d=4 • d4 : 弱く相互作用する　フェルミ & ボーズ粒子の系 　有効結合定数 : g~(4-d)1/2 強結合の ユニタリー領域 BEC BCS - + • d2 : 弱く相互作用する　フェルミ粒子の系　有効結合定数 : g~(d-2) d=2 様々な物理量について、“4-d” あるいは “d-2” を 展開パラメータとする系統的な“摂動”展開が可能

  7. 場の理論を用いた定式化 iT コンタクト相互作用する スピン1/2のフェルミ粒子 : 真空中での2体散乱 (ゼロ密度 m=0)  (p0,p)  = n 1  一般の空間次元 d でのT行列 “a” 散乱振幅は d=2,4,… にゼロ点を持つ ゼロ相互作用極限に対応

  8. d=4, d=2 近傍での振る舞い iT iT d=4-e(e<<1) のときのT行列 フェルミ & ボーズ粒子間は弱い結合 g = (8p2e)1/2/m ig ig = iD(p0,p) d=2+e(e<<1) のときのT行列 フェルミ粒子間は弱い結合 g = 2pe/m ig =

  9. 計算例１ ： 有効ポテンシャル（NLO） • d=4 近傍での有効ポテンシャルとギャップ方程式 + O(e2) Veff (0,m) = + + O(e) O(1) • d=2 近傍での有効ポテンシャルとギャップ方程式 + O(e2) Veff (0,m) = + O(e) O(1)

  10. ゼロ温度での状態方程式 • ユニタリー・フェルミ気体の状態方程式 １粒子当たりのエネルギー : • d=4, d=2 近傍での普遍パラメータx 状態方程式のe (=4-d,d-2) を用いた系統的な展開 !

  11. 計算例２ ： 超流動中の準粒子 • フェルミ準粒子の分散関係 : w(p) NLO 自己エネルギー or -iS(p) = O(e) O(e) e=4-d による展開 エネルギー・ギャップ : 対応する運動量 : e=d-2 による展開 0

  12. d=4-eから空間次元３への外挿 • LO + NLO の結果を e=1 に外挿 NLO項は LO項と比べて 小さい 5 ~ 35 % モンテ・カルロ数値シュミレーションの結果とよく一致 J.Carlson and S.Reddy, Phys.Rev.Lett.95, (2005) cf. d=2+eから d=3 へ外挿 NLO項はLO項の100 %

  13. 4-d展開と d-2展開のマッチング • ボレル変換 + パデ近似子 “4-d” による展開 x ♦=0.42 “d-2” による展開結果 2d • d=3 に内挿した結果 4d d

  14. 超流動相転移の臨界温度 • 4-d, d-2 展開による臨界温度 NLOの補正項は小さい ~4 % Tc/eF • d=3 に内挿した結果 4d 数値シュミレーション • Bulgac et al. (’05): Tc/eF = 0.23(2) • Lee and Schäfer (’05): Tc/eF < 0.14 • Burovski et al. (’06): Tc/eF = 0.152(7) • Akkineni et al. (’06): Tc/eF 0.25 2d d

  15. まとめと結論 • ユニタリー・フェルミ気体の問題はe=4-d, d-2を使って“摂動論”的に解ける！ • d=4 近傍では、弱く相互作用するフェルミ & ボーズ粒子の系 • d=2 近傍では、弱く相互作用するフェルミ粒子の系 • 様々な物理量 (x, D, e0, Tc ,…) を LO+NLO で計算 • 4-d展開のNLO項はLO項に比べて十分小さい • d=3に外挿した結果は、MCシミュレーションとよく一致 • 今後の課題 • 高次補正項の計算 + e展開の解析的性質の理解 • 信頼できる定量的な方法へ 弱く相互作用するフェルミ & ボース粒子の系 というユニタリー・フェルミ気体の描象は 現実の d=3 でもよい出発点かもしれない

  16. Back up slides

  17. d=4 と d=2 の特殊性 Z.Nussinov and S.Nussinov, cond-mat/0410597 2体の（s波）相対波動関数 ユニタリー極限 ( a ) での規格化積分 は d4 のとき 原点 (r0) で発散 2体の相対波動関数は原点に集中 ユニタリー・フェルミ気体はd4 で自由なボーズ気体に帰着 d2 では、どんな引力ポテンシャルも束縛状態を持つ “a” はゼロ相互作用に対応 d2 で自由なフェルミ気体に帰着

  18. e展開の結果（NLO）と比較 0.475 1.31 0.661 0.249 数値計算と定量的に近い ・ 平均場近似より改善

  19. NNLO correction for x • NNLO correction for x Arnold, Drut, Son, Phys.Rev.A (2006) x Nishida, Ph.D. thesis (2007) Fit two expansions using Padé approximants • Interpolations to 3d • NNLO 4d + NNLO 2d • cf. NLO 4d + NLO 2d d

  20. Unitary Fermi gas George Bertsch (1999), “Many-Body X Challenge” kF-1 r0 V0(a) Atomic gas : r0=10Å << kF-1=100Å << |a|=1000Å What are the ground state properties of the many-body system composed of spin-1/2 fermions interacting via a zero-range, infinite scattering length contact interaction? 0r0 << kF-1<< a kF is the only scale ! Energy per particle x is independent of systems cf.dilute neutron matter |aNN|~18.5 fm >> r0~1.4 fm

  21. Universal parameterx • Strong coupling limit • Perturbation akF= • Difficulty for theory • No expansion parameter Models Simulations Experiments • Mean field approx., Engelbrecht et al. (1996): x<0.59 • Linked cluster expansion, Baker (1999): x=0.3~0.6 • Galitskii approx., Heiselberg (2001): x=0.33 • LOCV approx., Heiselberg (2004): x=0.46 • Large d limit, Steel (’00)Schäfer et al. (’05): x=0.440.5 • Carlson et al., Phys.Rev.Lett. (2003): x=0.44(1) • Astrakharchik et al., Phys.Rev.Lett. (2004): x=0.42(1) • Carlson and Reddy, Phys.Rev.Lett. (2005): x=0.42(1) Duke(’03): 0.74(7), ENS(’03): 0.7(1), JILA(’03): 0.5(1), Innsbruck(’04): 0.32(1), Duke(’05): 0.51(4), Rice(’06): 0.46(5). No systematic & analytic treatment of unitary Fermi gas

  22. Lagrangian for e expansion Boson’s kinetic term is added, and subtracted here. • Hubbard-Stratonovish trans. & Nambu-Gor’kov field : =0 in dimensional regularization Ground state at finite density is superfluid : Expand with • Rewrite Lagrangian as a sum : L=L0+ L1+ L2

  23. Feynman rules 1 • L0 : • Free fermion quasiparticle  and boson  • L1 : Small coupling “g” between  and  (g~e1/2) Chemical potential insertions (m~e)

  24. Feynman rules 2 k p p =O(e) + p+k k p p p+k =O(em) + • L2 : “Counter vertices” to cancel 1/e singularities in boson self-energies 1. 2. O(e) O(em)

  25. Power counting rule ofe • Assume justified later • and consider to be O(1) • Draw Feynman diagrams using only L0 and L1 • If there are subdiagrams of type • add vertices from L2 : • Its powers ofe will be Ng/2 + Nm • The only exception is = O(1) O(e) or or Number of m insertions Number of couplings “g ~e1/2”

  26. Expansion over e=d-2 Lagrangian Power counting rule of • Assume justified later • and consider to be O(1) • Draw Feynman diagrams using only L0 and L1 • If there are subdiagrams of type • add vertices from L2 : • Its powers ofe will be Ng/2

  27. Hierarchy in temperature At T=0, D(T=0) ~m/e >> m 2 energy scales (i) Low : T~m << DT~m/e (ii) Intermediate : m < T < m/e (iii) High : T~m/e >> m~DT D(T) • Fermion excitations are suppressed • Phonon excitations are dominant (i) (ii) (iii) T 0 Tc ~m/e ~m • Similar power counting • m/T ~ O(e) • ConsiderTto be O(1) • Condensate vanishes at Tc ~m/e • Fermions and bosons are excited

  28. Large order behavior • d=2 and 4 are critical points free gas r0≠0 2 3 4 • Critical exponents of O(n=1) 4 theory (e=4-d1) • Borel transform with conformal mapping g=1.23550.0050 • Boundary condition (exact value at d=2) g=1.23800.0050 e expansion is asymptotic series but works well !

  29. eexpansion in critical phenomena Critical exponents of O(n=1) 4 theory (e=4-d1) • Borel summation with conformal mapping • g=1.23550.0050 & =0.03600.0050 • Boundary condition (exact value at d=2) • g=1.23800.0050 & =0.03650.0050 e expansion is asymptotic series but works well ! How about our case???

  30. Critical temperature • Gap equation at finite T Veff = + + + minsertions • Critical temperature from d=4 and 2 NLO correctionis small ~4 % Simulations : • Lee and Schäfer (’05): Tc/eF < 0.14 • Burovski et al. (’06): Tc/eF = 0.152(7) • Akkineni et al. (’06): Tc/eF 0.25 • Bulgac et al. (’05): Tc/eF = 0.23(2)

  31. Matching of two expansions (Tc) Tc/eF 4d 2d d • Borel + Padé approx. • Interpolated results to 3d

  32. Comparison with ideal BEC • Ratio to critical temperature in the BEC limit Boson and fermion contributions to fermion density at d=4 • Unitarity limit • BEC limit all pairs form molecules 1 of 9 pairs is dissociated

  33. Polarized Fermi gas around d=4 • Rich phase structure near unitarity point • in the plane of and : binding energy Polarized normal state Gapless superfluid 1-plane wave FFLO : O(e6) Gapped superfluid BCS BEC unitarity Stable gapless phases (with/without spatially varying condensate) exist on the BEC side of unitarity point

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