ROTAÇÃO

1. ROTAÇÃO Caderno de exercícios Texto: Neiva Manzini Formatação: Claudio G de Paula Nome

2. Quando um corpo rígido gira suas partículas descrevem trajetórias circulares, em torno de um eixo. z Eixo . A figura representa a trajetória circular de uma partícula P, de um corpo rígido, que gira em torno do eixo Z. Qual a equação matemática que determina a freqüência e o período do ponto P? r P 0 y x

3. y Sentido da Rotação . θ posição angular A relação entre a posição angular θ e o arco s é: P r S s = θ.r q 0 x Δθ= θf - θi deslocamento angular Atenção: Δθ  deslocamentos angulares não infinitesimais não são vetores porque não se somam como vetores (a soma não é comutativa). No entanto, um deslocamento angular infinitesimal – d - pode ser considerado uma grandeza vetorial. Saiba mais

4. Velocidade angular Direção e sentido de ω É a velocidade com que o raio r varre um ângulo θ, num intervalo de tempo. Direção: eixo de rotação Sentido:”regra da mão direita” Velocidade angular média Velocidade angular instantânea Saiba mais

5. Observe que as poltronas giram com a mesma velocidade angular, inclusive um ponto da estrutura que se encontre próximo do eixo de rotação. Assim, a velocidade angular de um corpo rígido em rotação pura é a mesma para todas as partículas do corpo. Agora responda: a aceleração angular é a mesma para todas as partículas de um corpo rígido em rotação pura, em torno de um eixo fixo? CLIQUE para ver um vídeo

6. Numa centrífuga com raio igual a 15 m, a posição angular varia de acordo com a equação θ (t) = 1,5 t2 (unidades SI). • Para t = 5 s, calcular: E agora, vamos trabalhar! a) a aceleração tangencial; Estude os conteúdos referentes a cinemática da rotação no livro texto, refaça os exercícios resolvidos em sala de aula e resolva os exercícios das páginas seguintes. b) a aceleração normal; c) a aceleração linear total; d) o ângulo que o vetor aceleração linear total faz com o raio. No final do caderno você encontra um resumo sobre conteúdos da rotação de corpos rígidos.

7. 2) Um corpo rígido em rotação obedece à seguinte equação de movimento: c) a velocidade angular instantânea em t = 6s; θ (t) = 2t3 – 4t2 – 9 (unidades do SI). Para este movimento, determine: d) a aceleração angular média, nos primeiros 10s; • o deslocamento angular nos primeiros 12s; e) a aceleração angular instantânea, em t= 7s. b) a velocidade angular média nos primeiros 10s;

8. 3) Uma roda parte do repouso e gira com aceleração angular constante de 2 rad/s2. Num intervalo de tempo igual a 8s ela gira 160 rad. • Quanto tempo a roda esteve girando antes do início do intervalo de 8s? b) Qual era a velocidade angular da roda no início do intervalo de 8s?

9. 4) Uma roda gigante com 12m de raio dá uma volta em 27s. Determine: a) a velocidade linear de um ocupante da roda; b) a aceleração centrípeta do ocupante.

10. Clique na figura abaixo e descreva o movimento das esferas do carrocel que você irá observar: 5) Uma roda parte do repouso e gira com aceleração angular constante de 2 rad/s2. Num intervalo de tempo igual a 5s ela gira 150 rad. • Quanto tempo a roda esteve girando antes do início do intervalo de 5s? b) Qual era a velocidade angular da roda no início do intervalo de 5s?

11. 6) O motor de um pequeno aeroplano é especificado como capaz de gerar um torque de 60N.m. O motor faz girar uma hélice com pás de 2m de comprimento e massa de 40kg. Na partida, quanto tempo leva para a hélice atingir 200 rpm? 2m

12. 7) Uma lata de 3 kg é presa a um barbante que é enrolado ao redor de um cilindro oco de 2 kg e 4 cm de diâmetro, que pode girar livremente. A lata é liberada 1 m acima do chão. a) Use a 2ª lei de Newton para determinar o valor da velocidade da lata ao tocar o chão. b) Use a conservação da energia para determinar o valor da velocidade da lata ao tocar o chão. Ic = MR2

13. 8) Um disco uniforme tem massa de 120kg e raio de 1,4m. Sabe-se que uma força tangencial, de módulo igual a 10N constante é aplicada na borda do disco, quando sua velocidade angular inicial é de 1100 rev/min. Determine: • o torque da força , sobre o disco; b) a aceleração angular do disco; c) a velocidade tangencial, de um ponto da borda do disco, 2s após a aplicação da força.

14. 9) Luís usa uma chave de “boca” com 20 cm de comprimento para girar uma porca. Sabe-se que a chave está inclinada em 30º com a horizontal, e que Luís a empurra verticalmente para baixo, exercendo uma força de 100N na extremidade. Qual o torque da força (que Luís exerce) sobre a porca?  F=100N 30o

15. 10- Um disco fino de 100 g de massa e 9,0 cm de diâmetro gira em torno de um eixo que passa por seu centro com 0,15 J de energia cinética. Qual é o módulo da velocidade de um ponto da borda do disco? Alguma dúvida? fale conosco! 9 cm

16. 11- Uma porta maciça de 25 kg tem 220 cm de altura e 91 cm de largura. Qual é o momento de inércia da porta para rotações: (a) em torno das dobradiças (b) em torno de um eixo vertical dentro da porta, a 15 cm de um dos lados da mesma?

17. Uma colinha! Aceleração angular Qual a grandeza física responsável pela variação da velocidade linear (movimento de translação) de um corpo que desliza sobre um plano horizontal? Aceleração angular média Qual a grandeza física responsável pela variação da velocidade angular (movimento de rotação) de um corpo em torno de um eixo? Aceleração angular instantânea

18. Relações entre grandezas lineares e angulares Sabemos que S= θ.r2.r Então: a velocidade linear é ds/dt =(dθ/dt)r, ou v= ω.r. A aceleração linear é dv/dt = (dω/dt)r, ou a = α.r A aceleração centrípeta é ac = v2/r = (ω2.r2/)r , ou ac=ω2.r

19. Energia Cinética na Rotação A velocidade linear ou tangencial de cada partícula que constitui o corpo são iguais? Um corpo rígido pode ser considerado como um conjunto de partículas. Assim, a energia do corpo rígido é igual a soma das energias cinéticas de todas as partículas desse corpo. E a velocidade angular de cada partícula do corpo rígido são iguais?

20. 4) a) 0,23rad/s b) 2,8 m/s c) 0,65 m/s2 5) a) 12,5s b) 25rad/s 6) 4,65s 7) a) 3,46m/s b) 3,46m/s 8) a) 14N.m b) 0,12 rad/s2 c) 161,62 m/s 9) 17,32 N.m 10) 2,45m/s 11) a) 6,8kg.m2 b) 3,9kg.m2 ALGUMAS RESPOSTAS • a) 45 m/s2 • b) 3375 m/s2 • c) 3375,3 m/s2 • d) 0,76o • 2) a) 2881 rad • b) 160 rad/s • c) 168 rad/s • d) 52 rad/s2 • e) 76 rad/s2 • 3) a) 6 s • b) 12 rad/s

21. A energia cinética de translação de uma partícula de um corpo rígido em rotação pura, em torno de um eixo fixo é: K = Veja que o momento de inércia (I) é: I α m e I α r2. Então: O momento de inércia (I) depende da massa do corpo, da sua distribuição em torno do eixo de rotação e do eixo de rotação. E quanto mais afastada estiver a massa do eixo, maior será o valor do momento de inércia I. Unidade (S.I): kg.m2. Energia cinética rotacional Como v = ω.r, podemos escrever a equação da energia cinética de rotação do corpo como: Então: Onde é a inércia rotacional (I), ou momento de inércia.

23. P O EIXO P TORQUE Define-se torque ou momento de uma força como: . Lembre que o produto vetorial entre dois vetores resulta em outro vetor, de módulo igual a : , onde o ângulo é o ângulo formado entre o vetor posição e a força . Consideremos um corpo rígido que pode girar livremente em torno de um eixo que passa pelo ponto O: Podemos decompor em duas componentes: A força atua sobre o corpo rígido, no ponto P e forma um ângulo com a direção do vetor posição de P. Observe que somente (cuja direção é tangente à trajetória) contribui para o movimento de rotação. Enquanto é paralela ao vetor .

24. y F FT α Fr m r  X Eixo de rotação = Z Direção: perpendicular ao plano que contém e . Sentido: regra da mão direita (coloque os 4 dedos da mão direita na direção e sentido do vetor e gire os mesmos na direção do vetor ). O polegar indicará o sentido do torque. Unidade SI: N.m SEGUNDA LEI DE NEWTON NA ROTAÇÃO z z A componente da força resultante na direção tangente à trajetória, comunica a aceleração tangencial de uma partícula P do corpo. Então: O y P x

25. O módulo do torque da força pode ser escrito como r.FT . ou r.m.aT. Assim, conforme a 2ª lei de Newton: Então:

26. Teorema trabalho-energia cinética da rotação TRABALHO, POTÊNCIA E O TEOREMA DO TRABALHO-ENERGIA O trabalho realizado durante um deslocamento angular finito de um θi até θf será: Na translação: