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STRUTTURA DI

STRUTTURA DI. Argomenti della lezione. Prodotto scalare in R n. Distanza in R n. Topologia di R n. Vettori di R n. X 1. X 2. X 3. •. •. •. X n. Vettore colonna. X =. (X 1, X 2, X 3,. X n ). •. •. •. = X. •. Vettore riga. X T =. X TT.

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Presentation Transcript

  1. STRUTTURA DI

  2. Argomenti della lezione • Prodotto scalare in Rn • Distanza in Rn • Topologia di Rn

  3. Vettori di Rn

  4. X1 X2 X3 • • • Xn Vettore colonna X =

  5. (X1, X2, X3, Xn) • • • = X • Vettore riga XT = XTT

  6. Prodotto scalare in uno spazio vettoriale V sul corpo R

  7. Un prodotto scalare è un’applicazione bilineare simmetrica definita positiva su V x V a valori in R

  8. s: V x V R Simmetria Omogeneità Additività Positività soddisfa le seguenti proprietà

  9. s: V x V R (S1) x, y V s(x, y) = s(y, x) A Î simmetria (S2) x, y V a R s(ax, y) = A A Î Î omogeneità soddisfa le seguenti proprietà a • s(x, y)

  10. s: V x V R (S3) x, y, z V s (x + z, y) = A Î additività (S4) x s (x,x) > 0 e s (x,x) V A Î Þ = 0 x = 0 positività s (x, y) + s (z, y)

  11. s(x, y) = x, y = (x, y) = x y • n x,y = x y = xT y = Si=1xiyi • Il prodotto scalare su V si indica solitamente con le notazioni In Rn si ha pure la notazione nella quale si fa riferimento al prodotto righe per colonne delle matrici

  12. y1 y2 n S y3 xTy = (x1 x2 x3 xn) = xi yi • • • • i = 1 • • • yn

  13. Disuguaglianza di Buniakovski Cauchy Schwarz

  14. In particolare, in Rn Indicheremo con x o con x la norma o modulo del vettore _______ |x| =   xi 2 x Î V(x Î Rn)

  15. CASO DI R2 o R3

  16. u v= u v cos q • • • u q v u v < u v • •

  17. Distanza in Rn

  18. Proprietà della distanza (D1) (simmetria) (D2) (positività) (D3) (disuguaglianza triangolare)

  19. Sfere e intervalli in R2. In generale, in Rn . s x0 x02 = (x01, x02)T x0 x01

  20. Sfere e intervalli in R2. In generale, in Rn . b2 a2 a1 b1

  21. Topologia di Rn

  22. Punti distinti di R2 (Rn) hanno intorni disgiunti x y .

  23. è punto interno è punto esterno è punto di frontiera per W

  24. interno esterno di frontiera per Wè punto

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