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STRUTTURA DI

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STRUTTURA DI. Argomenti della lezione. Prodotto scalare in R n. Distanza in R n. Topologia di R n. Vettori di R n. X 1. X 2. X 3. •. •. •. X n. Vettore colonna. X =. (X 1, X 2, X 3,. X n ). •. •. •. = X. •. Vettore riga. X T =. X TT.

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Presentation Transcript
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Argomenti della lezione
  • Prodotto scalare in Rn
  • Distanza in Rn
  • Topologia di Rn
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X1

X2

X3

Xn

Vettore colonna

X =

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(X1, X2, X3,

Xn)

= X

Vettore riga

XT =

XTT

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Un prodotto scalare

è un’applicazione bilineare

simmetrica

definita positiva

su V x V a valori in R

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s: V x V

R

Simmetria

Omogeneità

Additività

Positività

soddisfa le seguenti proprietà

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s: V x V

R

(S1) x, y V s(x, y) = s(y, x)

A

Î

simmetria

(S2) x, y V a

R s(ax, y) =

A

A

Î

Î

omogeneità

soddisfa le seguenti proprietà

a • s(x, y)

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s: V x V

R

(S3) x, y, z V s (x + z, y) =

A

Î

additività

(S4) x

s (x,x) > 0 e s (x,x)

V

A

Î

Þ

= 0 x = 0

positività

s (x, y) + s (z, y)

slide11
s(x, y) = x, y = (x, y) = x y

n

x,y = x y = xT y = Si=1xiyi

Il prodotto scalare su V si indica solitamente con le notazioni

In Rn si ha pure la notazione

nella quale si fa riferimento al prodotto righe per colonne delle matrici

slide12
y1

y2

n

S

y3

xTy = (x1 x2 x3 xn)

=

xi yi

i = 1

yn

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Disuguaglianza di

Buniakovski

Cauchy

Schwarz

slide14
In particolare, in Rn

Indicheremo con x o con x

la norma o modulo del vettore

_______

|x| =   xi 2

x Î V(x Î Rn)

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CASO DI

R2 o R3

slide16
u v= u v cos q

u

q

v

u v < u v

slide18
Proprietà della distanza

(D1) (simmetria)

(D2) (positività)

(D3) (disuguaglianza triangolare)

slide23
è punto interno

è punto esterno

è punto di frontiera

per W

slide24
interno

esterno

di frontiera

per Wè punto

ad