一、集合

Anhui University of Finance& Economics Anhui University of Finance& Economics Anhui University of Finance& Economics Anhui University of Finance& Economics Anhui University of Finance& Economics Anhui University of Finance& Economics Anhui University of Finance& Economics Anhui University of Finance& Economics Anhui University of Finance& Economics Anhui University of Finance& Economics Anhui University of Finance& Economics 安徽财经大学安徽财经大学安徽财经大学安徽财经大学安徽财经大学安徽财经大学安徽财经大学安徽财经大学安徽财经大学安徽财经大学安徽财经大学 §1.1 映射与函数一、集合二、映射三、函数四、小结思考题

一、集合(Set) 1、集合概念 A,B,C,…. ⑴集合：具有某种特定性质的事物的总体。 ⑵元素: 组成这个集合的事物或对象。 a,b,c,…. ⑶分类：有限集与无限集(按元素个数分)。 ⑷表示法: ①列举法 ②描述法 ⑸数集: ①自然数集： ②整数集： ③有理数集： ④实数集:R；非零实数集:R*；正实数集:R+。

一、集合(Set) ⑹子集：若集合A的元素都是B的元素，则称A是B的子集。例如： ⑺相等：称集合A与集合B相等，若例如：则 ⑻空集：不含任何元素的集合，记作Ø。例如：规定：空集是任何集合的子集，即

一、集合(Set) 2、集合的运算 ⑴并：由所有属于A或属于B的元素组成的集合，记 ⑵交：由所有既属于A又属于B的元素组成的集合，记 ⑶差：由所有属于A而不属于B的元素组成的集合，记 ⑷余：由所有不属于A的元素组成的集合，记例：

一、集合(Set) ⑸并、交、余运算满足下列法则：设A、B、C为任意三个集合，则有下列法则成立 ①交换律： ②结合律： ③分配律： ④对偶律： ⑹直积或笛卡尔积：例如：二维平面上全体点的集合为

一、集合(Set) 3、区间和邻域 ⑴区间：介于某两个实数a、b之间的全体实数. ⑵区间的端点与长度： a、b为端点；b-a为长度. ⑶有限区间:长度为有限的线段， ①开区间: ②闭区间: ③半开区间:

一、集合(Set) ⑷无限区间：长度为无限的射线或直线； ①无上限区间: ②无下限区间: ③无上下限区间: ⑸ a的邻域：以点a为中心的任何开区间，记作U(a)； ①a的δ邻域 ②a的去心δ邻域左δ邻域右δ邻域 ⑹矩形区域：

§1.1 映射与函数 一、集合 1、集合概念 2、集合的运算 3、区间和邻域二、映射 1、映射概念

X Y y f x 二、映射(Mapping) 1、映射概念 ⑴映射：设X、Y是两非空集合，若存在一法则f，使对X中每个x，按法则f，在Y中有唯一确定的y与之对应, 称f 为从X到Y的映射, 记作f：X→Y。注意: ①构成映射三要素： ②三点切记：

二、映射(Mapping) ⑵映射的分类：所有的像都有原像 ①满射: 设 f 为从 X 到Y 的映射, 若 Rf =Y, 即Y中任一 y 都是X 中某个x 的像，称 f 为X 到Y 的满射; ②单射:对X中任意两个不同元素x1≠x2，它们的像 f (x1)≠ f (x2), 称 f 为X 到Y 的单射; 原像不同像亦不同 ③双射:若映射f 既是单射，又是满射，则称f 为从X 到Y的一一映射（或双射）。例1 非单射,非满射满射双射双射

二、映射(Mapping) ⑶映射(算子)的惯用名称 ①泛函：从非空集合X 到数集Y 的映射f，称为 X上的泛函；例如：«实变函数与泛函分析» ②变换：从非空集合X 到集合X 的映射f，称为 X 上的变换；例如：« 线性代数»中的线性变换、矩阵变换、变换群等； ③函数：从实数(子)集X到实数集Y的映射f，称为 X上的函数；例如：« 高等数学»中的函数。

二、映射(Mapping) 2、逆映射与复合映射: ⑴逆映射：设f 是X到Y的单射, 对每个y∈Rf , 有唯一x∈X 适合f (x )=y，定义g:Rf →X ，对每个y∈Rf ，规定g(y )=x, 称g为f的逆映射, 即g=f -1,x =f -1(y) 。例1中, 有⑶⑷中的映射 f 存在逆映射 f -1 , 其中

二、映射(Mapping) ⑵复合映射：设g: X→Y1, f: Y2→Z, 其中Y1包含于Y2 , 那么，当x∈X时，可构成f [g (x )]∈Z，这时x→f [g(x )]就确定了从X到Z的映射，称为f与g的复合，记为f◦g ，即f◦g: X→Z，(f◦g)(x )=f [g (x )] , x∈X。例2.

数学中最重要的概念之一，高等数学的主要研究对象，它反映了物质世界中各种量之间的相互依存关系。数学中最重要的概念之一，高等数学的主要研究对象，它反映了物质世界中各种量之间的相互依存关系。圆内接正n边形 O r ) 三、函数(Function) 1、函数概念 ⑴背景知识 function一词，是德国数学家莱布尼兹(1646~1716) 1692年首先采用的。在我国，函数一词是清代数学家李善兰(1811~1882) 最初使用的，他在1859年与英国学者伟烈亚力(1815~1887) 合译的«代微积拾级» 一书中，将“function” 译作“函数”。 ⑵引例圆内接正多边形的周长

函数值 三、函数(Function) ⑶函数定义设数集D包含于R，则称映射f：D→R的为定义在上的函数，通常简记为: ⑷函数三要素：因变量函数自变量 ①定义域Ｄ:使 y=f(x)有意义的自变量x 取值的范围，关于定义域，有根式、分式、对数等具体求法。 ②函数f：也即对应法则，也可用F、φ等。如y=F(x)，y= φ(x)。 ③值域Ｗ:函数值全体组成的数集例如：f(x)=lnx2和g(x)=2lnx不同，但f(x)=sin2x+ cos2x和g(x)=1相同。例3求函数的定义域，其中

三、函数(Function) ⑸单值函数与多值函数如果自变量在定义域内任取一个数值时，对应的函数值总是只有一个，这种函数叫做单值函数，否则叫多值函数。 ⑹函数的表示法 ①公式法：s=0.5gt2; ②表格法：平方表、对数表、三角函数表等; ③图形法： {P(x,y)|y=f(x),x∈X}

y 4 3 2 1 y 1 x o x -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5 o -1 -2 -1 -3 -4 三、函数(Function) ⑺几个特殊函数的举例： ①符号函数 ②取整函数： y=[x] [x]表示不超过x的最大整数阶梯曲线

y 1 y y • x o 无理数点有理数点 x x o o 三、函数(Function) ③ 狄利克雷函数 ④ 取最值函数

y - > 2 x 1 , x 0 o = x f ( x ) - 2 x 1 , x 0 ≤ 三、函数(Function) ⑤分段函数：在自变量的不同变化范围中,对应法则用不同的式子来表示的函数。例如: 例4 脉冲发生器产生一个单三角脉冲，其波形如图所示,写出电压Ｕ与时间的函数关系式. 解：单三角脉冲信号的电压

三、函数(Function)

三、函数(Function) 例5 解：故

y y M M y=f(x) x x o o X X -M -M 三、函数(Function) 2、函数的特性 ⑴ 函数的有界性: 无界有界

y y o o x x 三、函数(Function) ⑵ 函数的单调性: ①单增函数 ②单减函数

y y -x o x x -x o x x 三、函数(Function) ⑶ 函数的奇偶性: ① 偶函数 ②奇函数

o 三、函数(Function) ⑷ 函数的周期性: 例如: 注意：并非所有的周期函数都有最小正周期。

W W D D 三、函数(Function) 3、反函数与复合函数 ⑴ 反函数 ① 定义

直接函数与反函数的图形关于直线对称. 三、函数(Function) ② 矫形： ③ 图形：

三、函数(Function) 例6 解: 单值函数, 有界函数, 偶函数, 不是单调函数, 周期函数(无最小正周期)

三、函数(Function) ⑵复合函数 ①定义 ②推广

三、函数(Function) 4、函数的运算例9 证明：证毕。

三、函数(Function) 5、初等函数 ⑴ 基本初等函数 ①幂函数: ②指数函数: ③对数函数: ④三角函数: ⑤反三角函数: ⑵ 初等函数

三、函数(Function) ⑶ 双曲函数 ①双曲正弦函数: ②双曲余弦函数:

三、函数(Function) ③双曲正切函数: 双曲函数常用公式

三、函数(Function) ⑷ 反双曲函数 ①反双曲正弦: ②反双曲余弦: ③反双曲正切:

§1.1 映射与函数 一、集合 4、函数的运算 1、集合概念 5、初等函数四、小结 2、集合的运算 3、区间和邻域课堂练习：第20~22页 7. 11. 12. 14. 16. 二、映射思考题 1、映射概念 2、逆映射与复合映射三、函数 1、函数概念作业：第20~22页 10. 15. 17.(1)(4) 18. 20. 2、函数的特性 3、反函数与复合函数

思考题解答 设则故

练习题

练习题答案

一、集合

一、集合

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