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電腦與數學教學網頁內容

電腦與數學教學網頁內容. 教學單元 ： 圓錐曲線 國立苑裡高中：張浴民老師 指導教授：陳創義教授. 主題內容二：橢圓. 能掌握 橢圓的定義與基本架構 認識橢圓的要素名稱 橢圓的 標準式與定義式 橢圓的 參數式 橢圓的 軌跡方程式. 橢圓的定義 _1. 定義：在平面上，到兩定點 F 1 與 F 2 的距離和為 2 a ( ) 的所有點 P 所成的圖形為一橢圓，即 。 (1) 2 a 為橢圓之長軸長 (2) 與 為通過 P 點的兩個焦半徑。

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Presentation Transcript

  1. 電腦與數學教學網頁內容 • 教學單元：圓錐曲線 • 國立苑裡高中：張浴民老師 • 指導教授：陳創義教授

  2. 主題內容二：橢圓 • 能掌握橢圓的定義與基本架構 • 認識橢圓的要素名稱 • 橢圓的標準式與定義式 • 橢圓的參數式 • 橢圓的軌跡方程式

  3. 橢圓的定義_1 • 定義：在平面上，到兩定點F1與F2的距離和為2a( )的所有點P所成的圖形為一橢圓，即 。 (1) 2a為橢圓之長軸長 (2) 與 為通過P點的兩個焦半徑。 (3) F1與F2為橢圓的焦點。 (4) 中心： 的中點稱為橢圓的中心，橢圓 的中心為橢圓圖形的幾何對稱中心。

  4. 橢圓的定義_2 • 設F1與F2為二定點， P(x,y) 為一動點，滿足 。 (1) ，則P點之圖形為一橢圓。 (2) ，則P點之圖形為一線段 。 (3) ，則P點之圖形為一空集合。

  5. GSP構圖 橢圓的定義構圖(同心圓) F2 F1

  6. 過兩焦點之弦稱為長軸 ，如 M P Q 的中點，稱為橢圓的中心 N 過中心垂直長軸之弦稱為短軸，如 橢圓的要素名稱： C 焦半徑：橢圓上任一點與焦點之連線段 弦：橢圓上任兩點之連線段稱為弦 正焦弦：橢圓上過焦點與長軸垂直之弦 焦弦：橢圓上過焦點之弦 A B F1 O F2 兩定點F1與F2稱為橢圓焦點 橢圓上兩焦點的連線段長稱為焦距 直線F1F2與橢圓的交點稱為長軸端點 D 過中心O垂直長軸的直線而與橢圓相交的點稱為短軸端點，長軸端點與短軸端點合稱為橢圓之頂點

  7. y C(0,b) A(a,0) B(-a,0) F2(-c,0) O F1(c,0) D(0,-b) 橢圓方程式之標準式(一) x

  8. y F1(0,c) A(0,b) C(a,0) D(-a,0) F2(0,-c) x O B(0,-b) 橢圓方程式之標準式(二)

  9. y x O 橢圓方程式之標準式(三) C(h,k+b) (h,k) B(h-a,k) A(h+a,k) F1(h+c,k) F2(h-c,k) D(h,k-b)

  10. 橢圓方程式之標準式(四) y A(h,k+b) F1(h,k+c) D(h-a,k) (h,k) C(h+a,k) F2(h,k-c) B(h,k-b) x O

  11. 解題時機：距離、面積、極值之類型的題目。 • θ並非 與x軸正向之夾角。 y • 橢圓 上的點P，可設為： a b x O GSP構圖 橢圓方程式之參數式(一) M P N bsinθ θ acosθ

  12. 解題時機：距離、面積、極值之類型的題目。 • θ並非 與x軸正向之夾角。 x=h y • 橢圓 上的點P，可設為： a b y=k x O GSP構圖 橢圓方程式之參數式(二) M P N bsinθ θ acosθ

  13. 範例(一)標準式 • 求橢圓： 之 • (1)中心 (2)長軸端點 • (3)短軸端點 (4)長軸長 • (5)短軸長 (6)焦點 • (7)長軸所在直線方程式 • (8)短軸所在直線方程式 • (9)焦點距離 (10)正焦弦長

  14. 先將橢圓化為標準式： C R P B F2 F1 A O Q S D 範例(一)標準式【解】

  15. 範例(二)定義式 • 求方程式： 之 • (1)圖形為 (2)二焦點坐標 • (3)長軸長 (4)短軸長 • (5)正焦弦長 (6)中心 • (7)長軸所在直線方程式 • (8)短軸所在直線方程式 • (9)長軸端點 (10)短軸端點

  16. R B E F1 A P F2 S D F Q 範例(二)定義式【解】_1

  17. R B E F1 A P F2 S D F Q 範例(二)定義式【解】_2

  18. R B E F1 A P F2 S D F Q 範例(二)定義式【解】_3

  19. 範例(三)定義式2 • 設 ，則： • (1)Γ圖形表一橢圓時，k範圍為 • (2)Γ圖形表一線段時，k範圍為 • (3)Γ圖形不存在時， k範圍為

  20. R B E F1 A P F2 S D F Q 範例(三)定義式2【解】

  21. 範例(四)參數式 • 設x,y為實數且 ，則： • (1) x+y最大為 。 • (2) xy最小為 。 • (3) x2+y2最大為 。 • (4) x2－y＋1最大為 ，最小為 。

  22. 範例(四)參數式【解】

  23. 範例(五)參數式2 • 求橢圓 之 • (1) 內接正方形面積為 。 • (2) 內接矩形最大面積為 。 • (3) 內接矩形最大周長為 。

  24. y P(x,y) bsinθ x acosθ O a θ b 範例(五)參數式2【解】

  25. 範例(六)軌跡的應用 • 定點繞出之軌跡為橢圓。 • 跟兩圓相切(不論內外切)之圓心軌跡。 • 已知兩圓內離(大圓包小圓)：橢圓。 • 已知兩圓外離(大圓不包小圓)：雙曲線。 • 過定點與圓相切之圓心軌跡。 • 定點在圓內：橢圓。 • 定點在圓外：雙曲線。

  26. 範例(六)軌跡的應用_1 • 設有定長為5之 上有一定點P，且 • ，若A點在y軸上移動，B點在x軸上移動，則P所形成之圖形方程式為。

  27. y x O GSP構圖 範例(六)軌跡的應用_1【解】 A(0,a) 2 P(x,y) 3 B(b,0)

  28. 範例(六)軌跡的應用_2 • 若圓C與二定圓 ， • 相切，則： • (1)若圓C與圓C1外切時，則圓C之圓心軌跡 • 方程式為。 • (2)若圓C與圓C1內切時，則圓C之圓心軌跡 • 方程式為。

  29. y x O GSP構圖 範例(六)軌跡的應用_2【解】_1 (1)外切： r P(x,y) 1 B(-1,0) A(1,0)

  30. y x O GSP構圖 範例(六)軌跡的應用_2【解】_2 (2)內切： r P(x,y) 1 B(-1,0) A(1,0)

  31. 範例(六)軌跡的應用_3 • 過 且與圓 ，相內切之動圓圓心軌跡為。

  32. y A(3,1) x O GSP構圖 範例(六)軌跡的應用_3【解】 r P(x,y) B(3,-3) 6-r

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