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2.3 函数的单调性

高中数学新教材第一册（上）. 2.3 函数的单调性. 　　“函数的单调性”是高中课本第一册第二章第三节，是函数重要性质之一，在教材中起着承上启下的作用。一方面，是初中有关内容的深化，提高，使学生对函数单调性从感性认识提高到理性认识。另一方面，可以通过对函数单调性的学习，为后面学习指数函数、对数函数、及数列这种特殊的函数打下基础，与不等式、求函数的值域、最值，导数等等都有着紧密的联系。.

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2.3 函数的单调性

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  1. 高中数学新教材第一册（上） 2.3函数的单调性

  2. 　　“函数的单调性”是高中课本第一册第二章第三节，是函数重要性质之一，在教材中起着承上启下的作用。一方面，是初中有关内容的深化，提高，使学生对函数单调性从感性认识提高到理性认识。另一方面，可以通过对函数单调性的学习，为后面学习指数函数、对数函数、及数列这种特殊的函数打下基础，与不等式、求函数的值域、最值，导数等等都有着紧密的联系。　　“函数的单调性”是高中课本第一册第二章第三节，是函数重要性质之一，在教材中起着承上启下的作用。一方面，是初中有关内容的深化，提高，使学生对函数单调性从感性认识提高到理性认识。另一方面，可以通过对函数单调性的学习，为后面学习指数函数、对数函数、及数列这种特殊的函数打下基础，与不等式、求函数的值域、最值，导数等等都有着紧密的联系。 　　“函数的单调性”是高中课本第一册第二章第三节，是函数重要性质之一，在教材中起着承上启下的作用。一方面，是初中有关内容的深化，提高，使学生对函数单调性从感性认识提高到理性认识。另一方面，可以通过对函数单调性的学习，为后面学习指数函数、对数函数、及数列这种特殊的函数打下基础，与不等式、求函数的值域、最值，导数等等都有着紧密的联系。

  3. 1、基础知识目标：理解函数单调性概念，并能作简单的函数单调性判断及应用1、基础知识目标：理解函数单调性概念，并能作简单的函数单调性判断及应用 • 2、能力训练目标：培养学生细心观察、认真 • 分析、严谨论证的良好思维习惯，培养学生数形结 • 合，辩证思维的能力。 • 3、情感目标：让学生发现形和数的统一和谐美，体会自己发现、解决问题的乐趣。 • 1、基础知识目标：理解函数单调性概念，并能作简单的函数单调性判断及应用 • 2、能力训练目标：培养学生细心观察、认真 • 分析、严谨论证的良好思维习惯，培养学生数形结 • 合，辩证思维的能力。 • 3、情感目标：让学生发现形和数的统一和谐美，体会自己发现、解决问题的乐趣。

  4. 　重点：函数单调性的判断和应用 难点：理解函数单调性的概念，判断或证明函数的单调性 　　重点：函数单调性的判断和应用 　　难点：理解函数单调性的概念，判断或证明函数的单调性

  5. 1、启法式教学 　　老师耐心引导、分析、讲解和设置启发式提问，引导学生对本节知识的理解和掌握 2、计算机辅助教学 　　 运用计算机的辅助教学，将抽象概念生动、直观 地通过光、声、色、动，从视觉、听觉上刺激学生， 激发学生探索的兴趣。 3、讨论式教学 　　让学生自己观察，自主讨论，探索研究获得知识， 得出结论 1、启法式教学 　　老师耐心引导、分析、讲解和设置启发式提问，引导学生对本节知识的理解和掌握 2、计算机辅助教学 　　 运用计算机的辅助教学，将抽象概念生动、直观 地通过光、声、色、动，从视觉、听觉上刺激学生， 激发学生探索的兴趣。 3、讨论式教学 　　让学生自己观察，自主讨论，探索研究获得知识， 得出结论

  6. 　　　　在老师的引导下，充分发挥学生的主观能动性，紧紧围绕函数的图象进行分析，通过观察、讨论、分析、探索等步骤，自己发现问题，提出问题，解决问题，一方面渗透数形结合的思想，另一方面，能过“师生互动”、“生生互动”，提高学生的合作意识，共同来完成教学目标。　　　　在老师的引导下，充分发挥学生的主观能动性，紧紧围绕函数的图象进行分析，通过观察、讨论、分析、探索等步骤，自己发现问题，提出问题，解决问题，一方面渗透数形结合的思想，另一方面，能过“师生互动”、“生生互动”，提高学生的合作意识，共同来完成教学目标。 　　　　在老师的引导下，充分发挥学生的主观能动性，紧紧围绕函数的图象进行分析，通过观察、讨论、分析、探索等步骤，自己发现问题，提出问题，解决问题，一方面渗透数形结合的思想，另一方面，能过“师生互动”、“生生互动”，提高学生的合作意识，共同来完成教学目标。

  7. 　　我国的人口出生率变化曲线（如下图），请同学们观察说　　我国的人口出生率变化曲线（如下图），请同学们观察说 出人口出生的大致变化情况。我们可以很方便地从图象观察出 人口出生的变化情况，对今后的工作具有一定的指导意义。 　　我国的人口出生率变化曲线（如下图），请同学们观察说 出人口出生的大致变化情况。我们可以很方便地从图象观察出 人口出生的变化情况，对今后的工作具有一定的指导意义。 　　再如：水位涨落随时间变化的规律，是防涝抗旱工作中必须解决的问题，下面我们开始研究函数在这方面的主要性质之一―――函数的单调性 　　再如：水位涨落随时间变化的规律，是防涝抗旱工作中必须解决的问题，下面我们开始研究函数在这方面的主要性质之一―――函数的单调性

  8. 1、观察引入 演示动画：（1）函数y=2x+1随自变量x 变化的情况 　　　　　（2）函数y= －2x+1随自变量x 变化的情况 1、观察引入 演示动画：（1）函数y=2x+1随自变量x 变化的情况 　　　　　（2）函数y= －2x+1随自变量x 变化的情况

  9. 2、步步深化 　　演示动画（3）函数y= x2随自变量x 变化的情况 2、步步深化 　　演示动画（3）函数y= x2随自变量x 变化的情况

  10. 1、在y轴的右侧部分图象具有什么特点？ • 2、指出在y轴的右侧部分自变量与函数值的变化规律？ • 3、如何用数学符号语言来描述这个规律？ • 4、 具有以上的描述特征，图象一定是上升的吗？怎样 • 补充才算正确？动画演示，在原有的描述基础上，加上 • “任意”两字，使描述准确。 • 5、反过来，如果y在(0,+∞ )上是增函数，我们能不能 • 得到自变量与函数值的变化规律呢？ • 1、在y轴的右侧部分图象具有什么特点？ • 2、指出在y轴的右侧部分自变量与函数值的变化规律？ • 3、如何用数学符号语言来描述这个规律？ • 4、 具有以上的描述特征，图象一定是上升的吗？怎样 • 补充才算正确？动画演示，在原有的描述基础上，加上 • “任意”两字，使描述准确。 • 5、反过来，如果y在(0,+∞ )上是增函数，我们能不能 • 得到自变量与函数值的变化规律呢？

  11. 3、形成概念 　　注意：（1）变量属于定义域　 （2）注意自变量x1、x2取值的任意性 　　 （3）都有f(x1 )>f(x2 ) 或f(x1 )<f(x2 )成立 (无一例外) （4）函数的单调性是函数在定义域某个区间上的局部性质，也就是说，一个函数在不同的区间上可以有不同的单调性。 3、形成概念 　　注意：（1）变量属于定义域　 （2）注意自变量x1、x2取值的任意性 　　 （3）都有f(x1 )>f(x2 ) 或f(x1 )<f(x2 )成立 (无一例外) （4）函数的单调性是函数在定义域某个区间上的局部性质，也就是说，一个函数在不同的区间上可以有不同的单调性。

  12. 　　例1: 如图6是定义在闭区间[－5，5]上的函数y=f(x) 的图象，根据图象说出y=f(x)的单调区间，以及在每一 单调区间上，函数y=f(x)是增函数还是减函数. 例1:如图6是定义在闭区间[－5，5]上的函数y=f(x) 的图象，根据图象说出y=f(x)的单调区间，以及在每一 单调区间上，函数y=f(x)是增函数还是减函数.

  13. 例2 证明函数f（x）=3x+2在R上是增函数. 证明：设x1,x2是R上的任意两个实数，且x1< x2， 　　　 则f（ x1）－f（ x2）=（3 x1+2）－（3 x2+2）＝ 3（ x1－x2）, 由x1<x2,得x1－x2<0 ,于是f(x1)－f(x2)<0 即 f(x1)<f(x2). ∴f(x)=3x+2在R上是增函数. 例2证明函数f（x）=3x+2在R上是增函数. 证明：设x1,x2是R上的任意两个实数，且x1< x2， 　　　 则f（ x1）－f（ x2）=（3 x1+2）－（3 x2+2）＝ 3（ x1－x2）, 由x1<x2,得x1－x2<0 ,于是f(x1)－f(x2)<0 即 f(x1)<f(x2). ∴f(x)=3x+2在R上是增函数. 取值 作差变形 定号 判断结论

  14. 例3 :证明函数f(x)= 在(0,+ ∞)上是减函数. 证明：x1,x2设,是(0,+ ∞)上的任意两个实数，且x1<x2， 则f(x1)－f(x2)= － = , （注意变形程度） 由x1,x2∈(0,+ ∞ )，得x1x2>0, 又由x1<x2,得x2－x1>0 ,于是f(x1)－f(x2)>0,即 f(x1)>f(x2) ∴f(x)= 在(0,+ ∞ )上是减函数. 1 x X2－ x1 1 1 x1x2 x1 x2 例3 :证明函数f(x)= 在(0,+ ∞)上是减函数. 证明：x1,x2设,是(0,+ ∞)上的任意两个实数，且x1<x2， 则f(x1)－f(x2)= － = , （注意变形程度） 由x1,x2∈(0,+ ∞ )，得x1x2>0, 又由x1<x2,得x2－x1>0 ,于是f(x1)－f(x2)>0,即 f(x1)>f(x2) ∴f(x)= 在(0,+ ∞ )上是减函数. 1 x X2－ x1 1 1 1 x1x2 x1 x x2 1 x

  15. 即时训练――强化新知 课堂练习： 1、书P60 练习1（请同学口答） 2、判断函数f(x)= 在(－∞,0)上是增函数还是减函数并证明你的结论. 即时训练――强化新知 课堂练习： 1、书P60 练习1（请同学口答） 2、判断函数f(x)= 在(－∞,0)上是增函数还是减函数并证明你的结论. 1 1 x x

  16. 练习处理完后与学生一起作小结： （ⅰ）判断函数单调性的方法： 　　①用图象；②用定义；③其它（后面会学到）。 （ⅱ）证明函数单调性的方法：目前只能用定义，解题步骤如下： 　　①在指定区间上任意取两个数x1 ,x2,且x1< x2 　　②作差变形（主要是配方或分解因式等） 　　③定号 　　④判断结论 练习处理完后与学生一起作小结： （ⅰ）判断函数单调性的方法： ①用图象；②用定义；③其它（后面会学到）。 （ⅱ）证明函数单调性的方法：目前只能用定义，解题步骤如下： ①在指定区间上任意取两个数x1 ,x2,且x1< x2 ②作差变形（主要是配方或分解因式等） ③定号 ④判断结论

  17. 作业——课后反馈： 书Ｐ６４习题２.３中，第１、２、３、6题 补充：课后思考题： 1、设x1 ,x2 ∈［a,b］，若有 （1） ＞0，则有f(x)在[a,b]上是_____函数。 （2） ＜0，则有f(x)在[a,b]上是＿＿＿函数。 2、判断f(x)=x+ 在区间(0,1)的单调性，并加以证明 作业——课后反馈： 书Ｐ６４习题２.３中，第１、２、３、6题 补充：课后思考题： 1、设x1 ,x2 ∈［a,b］，若有 （1） ＞0，则有f(x)在[a,b]上是_____函数。 （2） ＜0，则有f(x)在[a,b]上是＿＿＿函数。 2、判断f(x)=x+ 在区间(0,1)的单调性，并加以证明 f(X1)－f(x2) X1－x2 f(X1)－f(x2) X1－x2 f(X1)－f(x2) X1－x2 f(X1)－f(x2) X1－x2 1 x 1 x

  18. 板书设计 板书设计

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