Третий признак равенства треугольников

1. Третий признак равенства треугольников

2. Задача 1: В ∆АВС на продолжении стороны ВС за точку С отложен отрезок СD, равный СА, а точки А и D соединены отрезком. СЕ – биссектриса ∆АВС, а СF – медиана ∆ADC. Докажите, что СF⊥ СЕ. Дано: ∆АВС АС = СD СЕ – биссектриса ∆АВС СF – медиана ∆ADC Доказать:СF⊥ СЕ В Е С А D F Доказательство: 1) По построению АС = CD ⇒ ∆ACD – равнобедренный с основанием АD. 2) СF – медиана, проведённая к основанию равнобедренного ∆ADC, и она является биссектрисой ∠АDC, т.е. ∠ACF = ∠DCF. 3) СD – продолжение стороны ВС, поэтому ∠BCD = 180°. ∠BCD = ∠BCE + ∠ECA + ∠ACF + ∠FCD = 180°. Т.к. ∠ВСЕ = ∠ЕСА, ∠АСF = ∠FCD, то 2∠АСЕ + 2∠АСF = 180° ⇒ ⇒ 2(∠ACE +∠ACF) = 180° ⇒ ∠ACE +∠ACF = 90° . Т.к.∠ ACE +∠ ACF =∠ ECF, то ∠ ECF = 90° ⇒ СF ⊥ СЕ.

3. Задача 2: На стороне угла с вершиной А отмечены точки B и D, на другой стороне – точки С и Е так, что АD = АС = 3 см, АВ = АЕ = = 4 см. Докажите, что: а) ВС = ЕD; б) КВ = КЕ, где К – точка пересечения отрезков ВС и ЕD. Дано: ∠А АD = АС = 3 см АВ = АЕ = 4 см К = ВС ∩ ЕD Доказать:а) ВС = ЕD б) КВ = КЕ А С D Доказательство: K Е В а) ∆АВС = ∆АЕD по двум сторонам и углу между ними (АВ = АЕ = 4 см, АD = АС = 3 см – по условию задачи, ∠А – общий) ⇒ ВС = ЕD. б) Т.к. DВ = АВ – АD = 4 см – 3 см = 1 см и CЕ = АЕ – АС = 4 см – 3 см = 1 см, то DВ = СЕ. ∠BDК = 180° - ∠АDК, ∠КСЕ = 180° - ∠АСК. Но ∠ АDК = ∠АСК из ∆АВС = ∆АЕD ⇒ ∠BDК= ∠КСЕ. ∠АВС = ∠АЕD из ∆АВС = ∆АЕD. ∆DBK = ∆CER по стороне и прилежащим к ней углам (DВ = СЕ, ∠BDК= ∠КСЕ, ∠АВС = ∠АЕD) ⇒ КВ = КЕ.

4. Третий признак равенства треугольников М В С Р А К (по трём сторонам)‏

5. В Дано:∆АВС и ∆МРК, АC = МK ВС = РК, АВ = МР Доказать: ∆АВС = ∆МРК М С Р Доказательство: А К Р (В) Приложим ∆АВС к ∆МРК так, чтобы сторона АВ совместилась со стороной МР (они совместятся, т.к. по условию теоремы АВ = МР), а вершины С и К находились по разные стороны от прямой АВ. Возможны три случая: 1. луч СК находится внутри ∠МКР (рис.1) 2. луч СК совпадает с одной из сторон ∠МКР (рис.2) 3. луч СК проходит вне ∠МКР (рис.3) С С Р (В) К К М (А) Рис.1 М (А) Рис.2 С Р (В) К Рис.3 М (А)

6. Решение задач D 1. 2. Q R А А F С Дано:PAQR = 15 см PAQRF = 18 см Найти:AR В Дано: АВ = 5 см ВС = 0,9 дм Найти:AD, DC

7. Решение задач 3. В № 139 D А 2 1 Е F 4 3 С В С А Дано: АВ = CD, AD = BC ВЕ – биссектриса ∠АВС DF – биссектриса ∠АDС Доказать: а) ∠АВЕ = ∠ADF б) ∆АВЕ = ∆CDF D Доказать: BD – биссектриса ∠АВС

8. Дано: АВ = CD, AD = BC ВЕ – биссектриса ∠АВС DF – биссектриса ∠АDС Доказать: а) ∠АВЕ = ∠ADF б) ∆АВЕ = ∆CDF № 139 D А 2 1 Е F 4 3 С Доказательство: В a) ∆АВС = ∆CDА по трём сторонам (АВ = СD, BC = DA, АС – общая сторона) ⇒ ∠ABC = ∠CDA. ∠ АВЕ = 1/2∠ABC, т.к. ВЕ – биссектриса ∠АВС ∠ADF = 1/2∠АDС, т.к. DF – биссектриса ∠АDС ∠CDA = ∠ABC ⇒ ∠ АВЕ = ∠ADF б) ∆АВЕ = ∆CDF по стороне и прилежащим к ней углам (АВ = CD – по условию задачи, ∠ АВЕ = ∠ADF – по доказанному, ∠ВАЕ = ∠DCF – из равенства ∆CDA = ∆ABC).

9. Самостоятельная работа 1 уровень № 1 2 уровень № 1 B В 1 A D 2 О А С C Дано: АВ = АС, ВD= CD ∠BAС = 50° Найти:∠CАD D Дано: ∆АВС – р/б ∆ADC – р/б Доказать: BD ⊥ АС

10. Самостоятельная работа 1 уровень № 2 2 уровень № 2 A C D B C D Е A B F Q P Дано:AВ = EF, CF= AD, CB = DE ∠BCF = 85° Найти:∠АDB Дано:AP = PQ = QB AC = BD, PD = QC ∠DPB + ∠CQA = 140° Найти:∠DPB, ∠CQA

11. Самостоятельная работа 1 уровень № 3 2 уровень № 3 B B А1 М С1 М А С М1 B1 А С К Дано: ∆АВС – р/б, АС - основание ∆A1B1C1 – р/б, A1C1 – основание ВM = СМ, В1M1 = С1М1 АВ = А1В1, АМ = А1М1 Доказать: ∆АВС = ∆А1В1С1 Дано: ∆АВС – р/б ∆AMC – р/б Доказать: AK = KC

12. Д/з: п. 20, № 135, № 137, № 138. Дополнительная задача: Дан равнобедренный ∆АВС с основанием АС. Точки D и Е лежат соответственно на сторонах АВ и ВС, AD = СЕ. DС пересекает АЕ в точке О. Доказать, что ∆АОС – равнобедренный.