Live Webinars (online lectures) with recordings. Online Query Solving

2. Live Webinars (online lectures) with recordings. • Online Query Solving • Online MCQ tests with detailed solutions • Online Notes and Solved Exercises • Career Counseling

3. संभाव्यता

4. संभाव्यता ब्लेज पास्कल फर्मा

5. संभाव्यता कोणत्याही घटनेची घडण्याची किंवा न घडण्याची शक्यता म्हणजे संभाव्यता होय.

6. यादृच्छिक प्रयोग कुठलीही अशी क्रिया अथवा घटना जी वारंवार घडून येऊ शकते, या घटनेची संभाव्य फलिते अगोदर माहिती असतातपण या फलीतांबाबत निश्चित भाकीत करता येत नाही. अशा घटनेला यादृच्छिक प्रयोग असे म्हणतात.

7. निष्पत्ती यादृच्छिक प्रयोगाच्या फलीताला निष्पत्ती असे म्हणतात.

8. काही उदाहरणे नाणे फेकल्यावर छापा किंवा काटा यापैकी एक येणार हे निश्चित असते. म्हणून नाणेफेक हा यादृच्छिक प्रयोग आहे.

9. 52 पत्त्यांच्या कॅटमधून 1 पत्ता काढणे हा यादृच्छिक प्रयोग आहे.

10. एक फासा टाकला.हा ही एक यादृच्छिक प्रयोग आहे.

11. पत्त्यांचा कॅट • एकूण 4 संच : इस्पिक, बदाम, किलवर, चौकट • प्रत्येक संचात 2, 3,……10 आणि राजा, राणी, गुलाम, एक्का असे 13 पत्ते असतात. • 4 राजे, 4 राण्या आणि 4 गुलाम असे 12 पत्ते हे चित्रयुक्त पत्ते असतात.

12. समसंभाव्य निष्पत्ती फासा फेकला असता पृष्ठभागावर यापैकी कोणतीही एक संख्या येण्याची शक्यता समान असते. म्हणजेच 1 ते 6 पैकी कोणतीही संख्या पृष्ठभागावर असू शकते.

13. परंतु जर एखादा फासा फेकला असता एक विशिष्ट संख्या सतत पृष्ठभागावर मिळत असेल तर त्याला असमतोल फासा असे म्हणतात. येथे निष्पत्ती समसंभाव्य नसतात. जर दिलेल्या निष्पत्तीपैकी एखादी विशिष्ट निष्पत्ती प्राधान्याने मिळण्याची शक्यता नसेल तर त्याला समसंभाव्य निष्पत्ती म्हणतात. जसे की एक नाणे फेकले असता छापा किंवा काटा मिळण्याची शक्यता समसंभाव्य असते.

14. नमुना अवकाश • यादृच्छिक प्रयोगातील शक्य असणाऱ्या सर्व निष्पत्तींच्या संचाला नमुना अवकाश असे म्हणतात. तो ‘S’किंवा Ω ( ओमेगा ) या चिन्हाने दर्शवितात. • नमुना अवकाशातील प्रत्येक घटकाला नमुना घटक असे म्हणतात. नमुना घटक e1, e2……enकिंवा ω1, ω2, ω3…… ωnने दर्शवितात. • नमुना अवकाश S मधील एकूण घटकांची संख्या n(S)ने दर्शवितात. • जर n (S) सांत असेल तर त्याला सांत नमुना अवकाश असे म्हणतात.

15. सांत नमुना अवकाशाची काही उदाहरणे

16. H H H H H T H T H T H T T H H H T T T H T T T T

17. एक नाणे दोनदा फेकणे किंवा दोन नाणी एकाच • वेळी फेकणे या दोन्ही यादृच्छिक प्रयोगांसाठी • नमुना अवकाश एकच आहे. • एक फासा दोनदा फेकणे किंवा 2 फासे एकाच वेळी फेकणे या दोन्ही यादृच्छिक प्रयोगांसाठी नमुना अवकाश एकच आहे. iii.दिलेली अट पूर्ण करणाऱ्या निष्पत्तींनाअपेक्षित निष्पत्ती असे म्हणतात.

18. घटना नमुना अवकाशाच्या उपसंचाला घटना असे म्हणतात. म्हणजेच अपेक्षित निष्पत्तींच्या संचाला घटना असे म्हणतात. घटनानेदर्शवली जाते.

19. काही उदाहरणे दोन नाणी फेकली असता, कमीत कमी एक (म्हणजे 1 किंवा 2 ) काटा मिळण्याची घटना ‘A’ ही खालीलप्रमाणे लिहिली जाते. या घटनेतील एकूण घटकांची संख्या ने दर्शविली जाते. येथे =

20. समजा A आणि B या S च्या घटना आहेत. तर A ⊆ S आणिB ⊆ S ∴ A ∪ B ⊆ S आणिA ∩ B ⊆ S म्हणजेच A ∪ B आणि A ∩ B या S च्या घटना आहेत .

21. घटनेचे प्रकार निश्चित घटना : ज्या घटनेमध्ये नमुना अवकाशामधील सर्व नमुना घटक असतात तिला निश्चित घटना असे म्हणतात. नमुना अवकाश S हा स्वतःचा उपसंच असतो म्हणून S ही निश्चित घटना आहे. उदाहरणार्थ फासा फेकला असता, ∴n (S) =6

22. समजा A ही 10 पेक्षा लहान असणारी संख्या मिळण्याची घटना आहे. ∴n (A) =6 A या घटनेमध्ये S मधील सर्व नमुना घटक आहेत म्हणून A ही निश्चित घटना आहे.

23. अशक्य घटना :ज्या घटनेमध्ये नमुना अवकाशामधील एकही नमुना घटक नाही त्या घटनेला अशक्य घटना असे म्हणतात. उदा : एक फासा फेकला असता, समजा A ही 7 ने भाग जाणारी संख्या मिळण्याची घटना आहे. तर ∴n (A) =0 A या घटनेमध्ये एकही नमुना घटक नाही म्हणून A ही अशक्य घटना आहे.

24. एकघटकी घटना ज्या घटनेमध्ये एकच नमुना घटक असतो अशा घटनेला एकघटकी घटना असे म्हणतात. उदा 1 : एक फासा फेकला असता, समजा A ही 4 ने भाग जाणारी संख्या मिळण्याची घटना आहे. तर A = {4} ∴n(A)= 1 ∴ A ही एकघटकी घटना आहे.

25. उदा 2 :समजा Bही 3ने भाग जाणारी संख्या मिळण्याची घटना आहे. तर B = {3, 6} ∴n(B)= 2 ∴ Bही एकघटकी घटना नाही.