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复变函数 第 2 讲

复变函数 第 2 讲. 本文件可从网址 http://math.vip.sina.com 上下载 ( 单击 ppt 讲义后选择‘复变函数 ' 子目录 ). §3 复数的乘幂与方根.

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复变函数 第 2 讲

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  1. 复变函数第2讲 本文件可从网址 http://math.vip.sina.com 上下载 (单击ppt讲义后选择‘复变函数'子目录)

  2. §3 复数的乘幂与方根

  3. 乘积与商 设有两个复数z1=r1(cosq1+isinq1), z2=r2(cosq2+isinq2),z1z2=r1r2(cosq1+isinq1)(cosq2+isinq2) = r1r2[(cosq1cosq2-sinq1sinq2) +i(sinq1cosq2+cosq1sinq2)] = r1r2[cos(q1+q2)+isin(q1+q2)]于是 |z1z2|=|z1||z2| (1.3.1) Arg(z1z2)=Arg z1+Arg z2, (1.3.2)

  4. 定理1两个复数乘积的模等于它们的模的乘积, 两个复数乘积的幅角等于它们幅角的和.

  5. 等式Arg(z1z2)=Arg z1+Arg z2, (1.3.2)的意思是等式的两边都是无限集合, 两边的集合相等, 即每给定等式左边的一个数, 就有等式右边的一个数与之对应, 反之亦然.例如, 设z1=-1, z2=i, 则z1z2=-i, 则

  6. z1z2相当于将z1的模扩大|z2|倍并旋转一个角度Arg z2 q2 z1z2 y z1 q1 q2 z2 x O 1

  7. 如果用指数形式表示复数: • 由此逐步可证, 如果

  8. 按照商的定义, 当z10时, 有 • 定理二 两个复数的商的模等于它们的模的商, 两个复数的商的辐角等于被除数与除数的幅角之差.

  9. 如果用指数形式表示复数: • 定理二可简明地表示为

  10. 例1 已知正三角形的两个顶点为z1=1与z2=2+i, 求它的另一个顶点.[解]如图所示, 将表示z2-z1的向量绕z1旋转p/3(或-p/3)就得到另一个向量, 它的终点即为所求的顶点z3(或z3’). y z3 z2=2+i x z1=1 O z3’

  11. 根据复数乘法, 有

  12. 2. 幂与根 n个相同复数z的乘积称为z的n次幂,记作zn • 则根据(1.3.4), 对任意正整数n, 我们有 • zn=rn(cos nq+isin nq). (1.3.7) 如|z|=1,则(棣莫弗(De Moivre)公式). (cos q+isin q)n = cos nq+isin nq. (1.3.8)

  13. 设z为己知, 方程wn=z的根w称为z的n次根, • 如n为正整数, 则一个复数的n次根不止有一个, 而是有n个, 这是很麻烦的事情. 例如 在几何上, z1/n的n个值就是以原点为中心, r1/n为半径的圆的内接正n边形的n个顶点

  14. 在z已知时求方程wn=z的根w, 令z=r(cosq+isinq), w=r(cosj+isinj),则rn(cos nj+isin nj)=r(cosq+isinq)于是rn=r, cos nj=cosq, sin nj=sinq后两式成立的充要条件为nj=q+2kp, (k=0,1,2,).由此

  15. 其中, r1/n是算术根, 所以 当k=0,1,2,…,n-1时, 得到n个相异的根, 而当k以其它整数值代入时, 这些根又重复出现.

  16. 例2 求 [解]因为 所以

  17. 即

  18. 四个根是内接于中心在原点半径为21/8的圆的正方形的四个顶点.四个根是内接于中心在原点半径为21/8的圆的正方形的四个顶点. y w1 1+i w0 x O w2 w3

  19. §4 区域

  20. 1. 区域的概念 • 平面上以z0为中心, d(任意的正数)为半径的圆: |z-z0|<d • 内部的点的集合称为z0的邻域, 而称由不等式0<|z-z0|<d所确定的点集为z0的去心邻域. d z0

  21. 包括无穷远点自身在内且满足|z|>M的所有点的集合, 其中实数M>0, 称为无穷远点的邻域.即它是圆|z|=M的外部且包含无穷远点本身. 不包括无穷远点本身的仅满足|z|>M的所有点称为无穷远点的去心邻域, 也记作M<|z|<. M |z|>M 0

  22. 设G为一平面点集, z0为G中任意一点. 如果存在z0的一个邻域, 该邻域内的所有点都属于G, 则称z0为G的内点.如果G内的每个点都是它的内点, 则称G为开集

  23. 平面点集D称为一个区域, 如果它满足下列两个条件:1) D是一个开集;2) D是连通的, 就是说D中任何两点都可以用完全属于D的一条折线连接起来. z1 区域 不连通 z2

  24. 设D为复平面内的一个区域, 如果点P不属于D, 但在P的任意小的邻域内总包含有D中的点, 这样的点P称为D的边界点. D的所有边界点组成D的边界. 区域的边界可能是由几条曲线和一些孤立的点所组成的. g1 z C3 g2 C2 C1

  25. 区域D与它的边界一起构成闭区域或闭域, 记作D.如果一个区域可以被包含在一个以原点为中心的圆里面, 即存在正数M, 使区域D的每个点z都满足|z|<M, 则称D为有界的, 否则称为无界的. y D x O

  26. 满足不等式r1<|z-z0|<r2的所有点构成一个区域, 而且是有界的, 区域的边界由两个圆周|z-z0|=r1和|z-z0|=r2构成, 称为圆环域. 如果在圆环域内去掉一个(或几个)点, 它仍然构成区域, 只是区域的边界由两个圆周和一个(或几个)孤立的点所构成 z0 r2 r1

  27. 角形域:0<arg z<j 无界区域的例子 y y y x x x 上半平面:Im z>0 j b 带形域:a<Im z<b a

  28. 2. 单连通域与多连通域平面曲线 在数学上, 经常用参数方程来表示各种平面曲线. 如果x(t)和y(t)是两个连续的实变函数, 则方程组x=x(t), y=y(t), (atb)代表一条平面曲线, 称为连续曲线. 如果令z(t)=x(t)+iy(t)则此曲线可用一个方程z=z(t) (atb)来代表. 这就是平面曲线的复数表示式.

  29. 如果在区间atb上x '(t)和y '(t)都是连续的, 且对于t的每一个值, 有[x '(t)]2+[y '(t)]20这曲线称为光滑的, 由几段依次相接的光滑曲线所组成的曲线, 称为按段光滑曲线. 连续 光滑 不连续 不光滑

  30. 设C:z=z(t)(atb)为一条连续曲线, z(a)与z(b)分别为C的起点与终点. 对于满足a<t1<b, at2b的t1与t2, 当t1t2而有z(t1)=z(t2)时, 点z(t1)称为曲线C的重点. 没有重点的连续曲线C, 称为简单曲线或若尔当(Jardan)曲线. 如果简单曲线C的起点与终点闭合, 即z(a)=z(b), 则曲线C称为简单闭曲线. z(b) z(a) z(b) z(a) z(a)=z(b) z(a)=z(b) 简单,不闭 不简单,不闭 简单,闭 不简单,闭

  31. 任意一条简单闭曲线C把整个复平面唯一地分成三个互不相交的点集, 其中除去C外, 一个是有界区域, 称为C的内部, 另一个是无界区域, 称为C的外部, C为它们的公共边界. 简单闭曲线的这一性质, 其几何直观意义是很清楚的. 外部 内部 C

  32. 定义 复平面上的一个区域B, 如果在其中任作一条简单闭曲线, 而曲线的内部总属于B, 就称为单连通域, 一个区域如果不是单连通域, 就称为多连通域. 单连通域 多连通域

  33. 作业 第一章习题 第32页 第14,22题

  34. 请提问

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