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第三节. 控制系统的传递函数. 第三节 控制系统的传递函数. 一、传递函数的概念 二、传递函数的性质 三、典型环节及其传递函数. 引言. 控制系统的微分方程:是在时域描述系统动态性能的数学模型,在给定外作用及初始条件下,求解微分方程可以得到系统的输出响应。但系统中某个参数变化或者结构形式改变,便需要重新列写并求解微分方程。 传递函数:对线性常微分方程进行拉氏变换,得到的系统在复数域的数学模型为传递函数。 传递函数不仅可以表征系统的动态特性,而且可以研究系统的结构或参数变化对系统性能的影响。传递函数是经典控制理论中最基本也是最重要的概念.
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第三节 控制系统的传递函数
第三节 控制系统的传递函数 • 一、传递函数的概念 • 二、传递函数的性质 • 三、典型环节及其传递函数
引言 • 控制系统的微分方程:是在时域描述系统动态性能的数学模型,在给定外作用及初始条件下,求解微分方程可以得到系统的输出响应。但系统中某个参数变化或者结构形式改变,便需要重新列写并求解微分方程。 • 传递函数:对线性常微分方程进行拉氏变换,得到的系统在复数域的数学模型为传递函数。 传递函数不仅可以表征系统的动态特性,而且可以研究系统的结构或参数变化对系统性能的影响。传递函数是经典控制理论中最基本也是最重要的概念
一、传递函数的概念 图2-14所示的RC电路中电容的端电压uc(t)。根据克希霍夫定律,可列写如下微分方程: (2.60) (2.61) 消去中间变量i(t),得到输入ur(t) 与输出uc(t)之间的线性定常微分 方程: 图2-14 RC电路 (2.62)
现在对上述微分方程两端进行拉氏变换,并考虑电容上的初始电压uc(0),得:现在对上述微分方程两端进行拉氏变换,并考虑电容上的初始电压uc(0),得: (2.63) 式中 Uc(s)—— 输出电uc(t)的拉氏变换; Ur(s)—— 输入电压ur(t)的拉氏变换。 由上式求出Uc(s)的表达式: (2.64) 当输入为阶跃电压ur(t)= u0·1(t)时,对Uc(s)求拉氏反变换,即得 uc(t)的变化规律:
(2.6 5) 式中第一项称为零状态响应, 由ur(t)决定的分量; 第二项称为零输入响应, 由初始电压uc (0)决定的 分量。 图2-15表示各分量的变化曲线, 电容电压uc (t)即为两者的合成。 图2-15 RC网络的阶跃响应曲线
在式(2.65 )中,如果把初始电压uc(0)也视为一个输入作用,则根据线性系统的叠加原理,可以分别研究在输入电压ur (t)和初始电压uc (0)作用时,电路的输出响应。若uc(0)=0,则有 : (2.66) 当输入电压ur(t)一定时,电路输出响应的拉氏变换Uc(s)完全由 1/(RCs+1)所确定,式(2.66)亦可写为: (2.67) 当初始电压为零时,电路输出响应的象函数与输入电压的象 函数之比,是一个只与电路结构及参数有关的函数 。
用式(2.67)来表征电路本身特性,称做传递函数,记为:用式(2.67)来表征电路本身特性,称做传递函数,记为: 式中T=RC。显然,传递函 数G(s)确立了电路输入电压 与输出电压之间的关系。 图2-16 传递函数 传递函数可用图2-16表示。该图表明了电路中电压的传递 关系,即输入电压Ur(s),经过G(s)的传递,得到输出电压 Uc (s)=G(s)Ur (s) 。 对传递函数作如下定义: 线性(或线性化)定常系统在零初始 条件下,输出量的拉氏变换与输入量的拉氏变换之比称为传递 函数。
若线性定常系统由下述n阶微分方程描述: (2.68) 式中c(t)是系统输出量,r(t)是系统输入量,a0,a1,… an,b0,b1,…,bm是与系统结构参数有关的常系数。 令C(s)=L[c(t)],R(s)=L[r(t)],在初始条件为零时,对式 (2.68)进行拉氏变换,可得到s的代数方程: [ansn+an-1sn-1+…+a1s+a0]C(s) =[bmsm+bm-1sm-1+…+b1s+b0]R(s)
由传递函数的定义,由式(2.68)描述的线性定常系统的传递函数:由传递函数的定义,由式(2.68)描述的线性定常系统的传递函数: (2.69) 式中M(s)= bmsm+bm-1sm-1+…+b1s+b0为传递函数的分子多项式; D(s)= ansn+an-1sn-1+…+a1s+a0为传递函数的分母多项式。 传递函数是在初始条件为零(或称零初始条件)时定义的。 控制系统的零初始条件有两方面的含义,一系统输入量及其各 阶导数在t=0时的值均为零;二系统输出量及其各阶导数在t=0 时的值也为零。
二、传递函数的性质 从线性定常系统传递函数的定义式(2.69)可知,传递函数具有以下性质: 1.传递函数是复变量s的有理真分式函数,分子的阶数m低于或等于分母的阶数n (m≤n) ,且所有系数均为实数。 2.传递函数只取决于系统和元件的结构和参数,与外作用 及初始条件无关。 3.传递函数的零、极点分布图也表征了系统的动态性能。将式(2.69)中分子多项式及分母多 项式因式分解后,写为如下形式: (2.70) (2.70)
式中k为常数,-z1,…,-zm为传递函数分子多项式方程的m个根,称为传递函数的零点;-p1,…,-pn为分母多项式方程的n个根,称为传递函数的极点。式中k为常数,-z1,…,-zm为传递函数分子多项式方程的m个根,称为传递函数的零点;-p1,…,-pn为分母多项式方程的n个根,称为传递函数的极点。 一般zi,pi可为实数,也可为复数,且若为复数,必共轭成对出现。将零、极点标在复平面上,则得传递函数的零极点分布图,如图2-17所示。图中零点用“ ”表示,极点用“* ”表示。 图2-17 G(s)= 零极点分布图
4. 若取式(2.69)中s = 0,则: 常称为传递系数(或静态放大系数)。从微分方程式(2.68)看, s=0相当于所有导数项为零,方程蜕变为静态方程 或 b0 /a0恰为输出输入时静态比值。 5.传递函数无法全面反映信号传递通路中的中间变量。多输 入多输出系统各变量间的关系要用传递函数阵表示。
三、典型环节及其传递函数 控制系统从动态性能或数学模型来看可分成为以下几种基本环节,也就是典型环节。 (一)比例环节 比例环节的传递函数为: G(s)= K(2.71) 输出量与输入量成正比,比例环节又称为无惯性环节或放大环节。 图2-18 比例环节 图2-18(a)所示为一电位器,输入量和输出量关系如图2-18(b) 所示。
(二)惯性环节 传递函数为如下形式的环节为惯性环节: (2.72) 式中K——环节的比例系数; T——环节的时间常数。 当环节的输入量为单位阶跃 函数时,环节的输出量将按指 数曲线上升,具有惯性,如图 2-19(a)所示。 图2-19 惯性环节
(三)积分环节 它的传递函数为: (2.73) 当积分环节的输入为单位 阶跃函数时,则输出为t/T,它 随着时间直线增长。T称为积 分时间常数。T很大时惯性环 节的作用就近似一个积分环节。 图2-20(b)为积分调节器。积 分时间常数为RC。 图2-20积分环节
(四)微分环节 理想微分环节传递函数为: G(s) = T s(2.74) 输入是单位阶跃函数1(t)时,理想微分环节的输出为c(t)=Td(t), 是个脉冲函数。 理想微分环节的实例示于图2-21(a)、(b)。(a)为测速发电机。 图中(b)为微分运算放大器。 在实际系统中,微分环节常带有惯性,它的传递函数为: (2.75)
它由理想微分环节和惯性环节组成,如图2-21(c)、(d)所示。在它由理想微分环节和惯性环节组成,如图2-21(c)、(d)所示。在 低频时近似为理想微分环节,否则就有式(2.75)的传递函数。 图2-21微分环节
(五)振荡环节 振荡环节的传递函数为: (2.76) 式中wn---无阻尼自然振荡频率,wn=1/T; z ——阻尼比,0<z<1。 图2-22所示为单位阶跃函数作用下的响应曲线。 图2-22振荡环节的单位阶跃响应曲线
(六)延滞环节 延滞环节是线性环节,t 称为延滞时间(又称死时)。具有延滞环节的系统叫做延滞系统。 如图2-23所示,当输入为阶跃信号,输出要隔一定时间t后才出现阶跃信号,在0<1<t 内,输出为零。 图2-23 延滞环节
延滞环节的传递函数可求之如下: c(t)= r(t-t) 其拉氏变换为: 式中x = t-t,所以延滞环节的传递函数为: 系统具有延滞环节对系统的稳定性不利,延滞越大,影响越大。 (2.77)