Спеціальні класи бінарних відношень

1. Спеціальні класибінарних відношень Відношення еквівалентності

2. Вовочка Наталочка Петрусь

3. Коло, трикутник, квадрат

4. Властивостівідношень R  A × A 1.Рефлексивність 2.Іррефлексивність 3.Симетричність

5. Властивостівідношень R  A × A 4. Антисиметричність 5.Транзитивність 6.Порівняльність

6. Теорема про властивості Властивості бінарних відношень 1-6 еквівалентні наступним включенням та рівностям: R  A × A

7. Доведення п.5 R – транзитивне  R2R

8. Доведення п.5 R2R  R-транзитивне

9. Відношення еквівалентності Відношенням еквівалентності на множині A будемо називати рефлексивне, симетричне та транзитивне бінарне відношення на множині A. • Рефлексивне • xAxRx • 2. Симетричне • xRy  yRx • 3. Транзитивне • xRy, yRz  xRz

10. Приклади відношеннь еквівалентності Паралельність прямих Однакова остача при діленні на 2 Бути родичами

11. Класи еквівалентності. Класом еквівалентності елемента x по відношенню еквівалентності RAAбудемо називати множину[x]R елементівyA, що знаходяться у відношенні еквівалентності Rз x (включаючи самx) [x]R={yA|(x,y)R} Фактор-множиною множини Aпо відношенню еквівалентності R, будемо називатимножину всіх класів еквівалентності множини Aпо відношенню еквівалентності R. A/R={xA|[x]R}

12. Приклади класів еквівалентності Еквівалентність Класи Паралельність прямих Однакова остача при діленні на 2 Бути родичами Напрямок {парні},{непарні} Сім’я, рід {1,6,..},{2,7,..}, {3,8,..},{4,9,..}, {5,10,..}

13. Канонічна сюр’єкція RA×A, R – відношення еквівалентності φR: A A/R при якому xA  [x]R [x]R A/R φR-1([x]R) φR-1([x]R) = x, оскільки x  [x]R

14. Розбиття

15. Теорема про зв’язок еквівалентності та розбиття Довільне відношення еквівалентності R на множиніА породжує розбиття А на класи еквівалентності. І навпаки кожне розбиття {Aα} множини A задає на множині А відношення еквівалентності R, таке що

16. еквівалентність=>розбиття Доведемо, щов цьому разі [a]=[b] В зворотному напрямку аналогічно

17. розбиття=>еквівалентність

18. Відображення та еквівалентності F: AB F :x,yA , x F y  F(x) = F(y) Теорема. Для довільного F: A  B Fє відношенням еквівалентності

19. Доведення теореми 1.Рефлексивність F(x)=F(x) 2.Симетричність F(x)=F(y)  F(y)=F(x) 3.Транзитивність F(x) = F(y), F(y) = F(z)   F(x) = F(z)