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立體圖形

9. 立體圖形. 9.1 立體的對稱性質. 9.2 立體的摺紙圖樣. 9.3 立體的平面圖像. 9.4 立體圖形的點、線和面關係. 9.5 立體圖形的進一步認識. A. B. C. 9.1 立體的對稱性質. 反射對稱. 旋轉對稱. 正方體和正四面體的對稱性質. A. B. 9.2 立體的摺紙圖樣. 一個立體的不同摺紙圖樣. 判斷立體的摺紙圖樣. A. B. 9.3 立體的平面圖像. 立體的正面、頂部和側面圖像. 從平面圖像判斷立體圖形. A. B. 9.4 立體圖形的點、線和面的關係. 直線與平面的交角. 兩個相交平面的交角.

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立體圖形

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Presentation Transcript

  1. 9 立體圖形 9.1立體的對稱性質 9.2立體的摺紙圖樣 9.3立體的平面圖像 9.4立體圖形的點、線和面關係 9.5立體圖形的進一步認識

  2. A B C 9.1立體的對稱性質 反射對稱 旋轉對稱 正方體和正四面體的對稱性質

  3. A B 9.2 立體的摺紙圖樣 一個立體的不同摺紙圖樣 判斷立體的摺紙圖樣

  4. A B 9.3立體的平面圖像 立體的正面、頂部和側面圖像 從平面圖像判斷立體圖形

  5. A B 9.4立體圖形的點、線和面的關係 直線與平面的交角 兩個相交平面的交角

  6. A B 9.5立體圖形的進一步認識 尤拉公式 正多面體

  7. 9.1 立體的對稱性質 例題演示 反射對稱 A) 如果一個立體可被一個平面分成兩個形狀和大小都相同的部分，且其中一部分是另一部分沿該平面的鏡像，則該立體具反射對稱性質，而該平面就稱為反射平面。 • 目錄 9.1

  8. 9.1 立體的對稱性質 試指出以下哪些陰影平面：A、B、C、…、J 是正方體的反射平面。 A、B、F、H、I、J • 重點理解 9.1.1

  9. 9.1 立體的對稱性質 例題演示 旋轉對稱 B) 如果一個立體在繞一條直線旋轉 360 的程中，它與原本圖形重合n次 ( n > 1 ) ，則該立體具 n重旋轉對稱性質，而該直線就稱為旋轉對稱軸。 • 目錄 9.1

  10. 9.1 立體的對稱性質 當以 l 為旋轉對稱軸時，求圖形的旋轉對稱次數。 2重旋轉對稱 • 重點理解 9.1.2

  11. 9.1 立體的對稱性質 例題演示 正方體和正四面體的對稱性質 C) 正方體和正四面體是兩種同時具反射對稱和旋轉對稱性質的立體。 • 目錄 9.1

  12. 9.1 立體的對稱性質 試指出以下哪些陰影平面：A、B、…、F是正四面體的反射平面。 A、B、C、D、E • 重點理解 9.1.3

  13. 9.2 立體的摺紙圖樣 例題演示 一個立體的不同摺紙圖樣 A) 一個立體可以由不同的摺紙圖樣製作而成。 • 目錄 9.2

  14. 9.2 立體的摺紙圖樣 C • 重點理解 9.2.1

  15. 9.2 立體的摺紙圖樣 例題演示 判斷立體的摺紙圖樣 B) 根據一個摺紙圖樣，我們可以想像所摺成的立體中，各點、線和面與原本圖樣的關係。 • 目錄 9.2

  16. 9.2 立體的摺紙圖樣 如圖 A 所示，子華在一個正四面體摺紙圖樣的四個三角形上分別填上藍、黃、橙及緑色。如果將完成後的正四面體如圖 B 所示平放在桌面上，它貼着桌面的那面是甚麼顏色？

  17. 9.2 立體的摺紙圖樣 返回問題 將 PA和 PB 貼合，使藍、橙兩面相連。 ∵藍、橙、黃三面相遇於 P點，即圖 B 的背面 是黃色面。 ∴它貼着桌面那面是緑色。

  18. 9.2 立體的摺紙圖樣 圖 A 是一個摺紙圖樣，現將它摺成圖 B 所示的立體。 (a) IJ會與哪一線段重合？它們的長度有甚麼關係？ (b) KM 會與哪一線段重合？它們的長度有甚麼關係？

  19. 9.2 立體的摺紙圖樣 返回問題 (a) 沿 EI及沿 HI把圖樣摺起，IJ 會與IL重合， 即 IJ =IL。 (b) 再沿 DH 摺起，HK 會與 HG重合。接着沿 KL 摺起，KM 會與 GC重合，即 KM=GC。 • 重點理解 9.2.2

  20. 9.3 立體的平面圖像 例題演示 立體的正面、頂部和側面圖像 A) 我們可以繪畫立體的正面、頂部和側面的平面圖像來描述和理解該立體的形狀。 • 目錄 9.3

  21. 9.3 立體的平面圖像 從三個不同角度觀察圖 A 的立體，然後繪畫立體的正面、頂部和側面圖像。 圖 A • 重點理解 9.3.1

  22. 9.3 立體的平面圖像 例題演示 B) 從平面圖像判斷立體圖形 我們可以根據立體的正面、頂部和側面圖像描繪出該立體。 例如： 根據立體的 3 個平面圖像，推想出該立體的形狀 • 目錄 9.3

  23. 9.3 立體的平面圖像 以下是某立體的正面、頂部、側面的圖像。利用這些圖像繪畫出立體。

  24. 9.3 立體的平面圖像 下圖為某立體的正面、側面和頂部的平面圖像，試繪畫該立體的形狀。

  25. 9.3 立體的平面圖像 返回問題 所需立體圖形如下：

  26. 9.3 立體的平面圖像 試繪畫具有以下三個平面圖像的立體圖形。

  27. 9.3 立體的平面圖像 返回問題 所需立體圖形如下：

  28. 9.3 立體的平面圖像 某立體由一些大小相同的正方體組會而成，下圖所示為該立體三個不同的平面圖像。 • 試繪出該立體的形狀。 • (b) 該立體由多少個正方體組成？ (a) [由該立體的三個不同平面圖像可知該立體的長、高和闊分別由 3 個、2 個和 2 個正方體組成。我們可先由 3‌  2  2個正方體所組成的立體考慮，並將上層的 6 個正方體記作 1A、1B、1C、1D、1E 和 1F，而下層的 6 個正方體則記作 2A、2B、2C、2D、2E 和 2F，如圖 A 所示。

  29. 9.3 立體的平面圖像 返回問題 由立體的正面圖像可知正方體1A、1B、1D和1E不是立體的一部分。由立體的側面圖像可知正方體1A、1B和1C不是立體的一部分。而由立體的頂部圖像可知正方體1C、2C、1D和2D也不是立體的一部分。總括來說，立體只包含正方體1F、2A、2B、2E和2F。] 該立體的形狀是 (b) 從(a) ，可知該立體由 5 個正方體組成。 • 重點理解 9.3.2

  30. 9.4 立體圖形的點、線和面的關係 例題演示 直線與平面的交角 A) • 設 BC與平面 上所有通過C的直線互相垂直，我們稱 BC垂直於平面 ，C 為 B 在平面  上的投影，而線段AC 則為線段 AB在平面  上的投影； • (ii) AB與它的投影 (即 AC ) 所成的角 ，便是直線AB與平面 的交角。 • 目錄 9.4

  31. 9.4 立體圖形的點、線和面的關係 • 圖中立體的底 ABCD 是一個正方形。如果 VM 垂直於平面 ABCD，寫出以下交角的名稱。 • 邊VA 與底ABCD。 • 邊 VB與底 ABCD。

  32. 9.4 立體圖形的點、線和面的關係 返回問題 [已知 平面 ABCD，即 VM垂直於該平面上任何通過 M點的直線 (可參看旁註欄的圖：， (a) 及 ) 。] ∵AM是平面ABCD上一條通過M點的直線。 ∴，即 VA在ABCD上的投影是MA。 因此邊 VA與底 ABCD 的交角是 ∠VAM。 (b) VB 在 ABCD 的投影是 MB。 邊 VB與底 ABCD 的交角是 ∠VBM。

  33. 9.4 立體圖形的點、線和面的關係 • 參看附圖，寫出 • 線段 EB在平面 ABCD上的投影； • 線段 EB在平面 CDEF 上的投影； • 線段 EB與平面ABCD 的交角； • 線段 EB 與平面 CDEF的交角。 (a) 已知線段 ED 垂直於平面 ABCD， 即 ED 垂直於該平面上任何通過 D 點的線。 ，即 EB在 ABCD上的投影是 DB。

  34. 9.4 立體圖形的點、線和面的關係 返回問題 (b) 已知線段 BC 垂直於平面 CDEF， 即 BC 垂直於該平面上任何通過 C 點的線。 ，即 EB在 CDEF上的投影是 EC。 (c) 線段 EB 與平面 ABCD 的交角 = EB 與 它在平面 ABCD的投影所成的角 = EB 與 DB所成的角 = ∠EBD (d) 線段 EB 與平面 CDEF 的交角 = EB 與 它在平面 CDEF的投影所成的角 = EB 與 EC所成的角 = ∠BEC • 重點理解 9.4.1

  35. 9.4 立體圖形的點、線和面的關係 例題演示 兩個相交平面的交角 B) • 目錄 9.4

  36. 9.4 立體圖形的點、線和面的關係 圖中是一個正四面體。M和 N分別是 AB和 VA 的中點。 • 試在圖中標明平面VAB 與 CAB 的交角。 • ∠BNC是該四面體的兩個平面的交角。試寫出它們的名稱。

  37. 9.4 立體圖形的點、線和面的關係 返回問題 • [AB是平面 VAB與 CAB 的交線。 • 由於△VAB和 △CAB都是等邊三角形，且 M是 AB 的中點，因此 及 。] • ∠VMC是該兩面的交角，即圖中所示的角 x。 • [ 及 ，其中 VA是平面 VAB與 VAC的交線。] • 該兩個平面是 VAB和 VAC。

  38. 9.4 立體圖形的點、線和面的關係 參看圖中所示的正方體，寫出平面 ACHF與平面 DCHE的交角。 CH是平面 ACHF 與平面 DCHE 的交線。 ∵ 。 平面ACHF 與平面 DCHE 的交角是∠ACD。

  39. 9.4 立體圖形的點、線和面的關係 在圖中，VABCD是一個五面體，其中底 ABCD是一個正方形，VA = VB = VC = VD。指出平面 VCD與底 ABCD的交角。

  40. 9.4 立體圖形的點、線和面的關係 返回問題 如圖所示，設 M 和 N分別為 AB和 CD的中點，連接 VN 和 MN 。 VCD與ABCD的交線是 CD， 而 。 VCD 與 ABCD 的交角是∠VNM 。 • 重點理解 9.4.2

  41. 9.5 立體圖形的進一步認識 例題演示 尤拉公式 A) 多面體必符合尤拉公式：F + V – E = 2，其中 F是多面體面的數目，V 是頂點的數目，E 是邊的數目。 • 目錄 9.5

  42. 9.5 立體圖形的進一步認識 • 下圖所示為一個多面體的摺紙圖樣。 • 試數一數該多面體中面的數目(F) 、頂點的數目(V) 和邊的數目(E) 。 • 對於這個多面體，尤拉公式是否成立？

  43. 9.5 立體圖形的進一步認識 返回問題 (a) 由摺紙圖樣摺成的多面體是： 根據點算， 面的數目 (F) = 6 頂點的數目 (V) = 8 邊的數目 (E) = 12 (b) (尤拉公式所需的關係是 F + V – E = 2。) 這裏，6 + 8 – 12 = 2。 尤拉公式對這個多面體成立。

  44. 9.5 立體圖形的進一步認識 已知某多面體有 10 個面和 16 個頂點，求邊的數目。 即 10 + 16 – E = 2 即 邊的數目是 24。 • 重點理解 9.5.1

  45. 9.5 立體圖形的進一步認識 例題演示 正多面體 B) 如果一個多面體所有的面都是相同的正多邊形，且每個頂點都是由相同數目的面相遇而成，則該立體稱為正多面體。 只有 5 種不同的正多面體存在，包括正四面體、正六面體(正方體) 、正八面體、正十二面體和正二十面體。 • 目錄 9.5

  46. 9.5 立體圖形的進一步認識 下列各正多面體的每一個面是甚麼正多邊形？ (a) (b) (c) • 等邊三角形 • 正方形 • 正五邊形 完 • 重點理解 9.5.2

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