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球 内切外接问题. 张家港市后塍高级中学 周明. 五分钟练习: 1 、若球的大圆面积扩大为原来的 2 倍,则 球的体积比原来增加了 ___________ 倍; 2 、两个半径为 1 的铁球,熔化后成铸成一 个球,这个大球的半径为 _________ 。. 思考:体积为 3 的正方体内接于球,则 球的体积为 ( ) A. B. C. D. A. C. O.

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Presentation Transcript
slide1

内切外接问题

张家港市后塍高级中学 周明

slide2

五分钟练习:

1、若球的大圆面积扩大为原来的 2 倍,则

球的体积比原来增加了 ___________ 倍;

2、两个半径为 1 的铁球,熔化后成铸成一

个球,这个大球的半径为 _________。

slide3

思考:体积为 3 的正方体内接于球,则

球的体积为 ( )

A. B. C. D.

A

C

O

A1

C1

C

设正方体棱长为 a,

球半径为 R

slide4

变题:长方体的共顶点的三个侧面积分别

为 、 、 ,则它的外接球的表面积

为 __________

A

C

O

A1

C1

设长方体的长宽高分别为a、b、c

slide5

例1、半球内有一个内接正方体,正方体的

一个面在半球的底面圆内,若正方体的一

边长为 ,求半球的表面积和体积。

A1

C1

A

O

C

过正方体的与半球底面垂直的对角面作截面α,

则α截半球面得半圆,截正方体得一矩形,且

矩形内接于半圆,如图所示。

slide6

例2、正三棱锥的高为 1,底面边长为

内有一个球与四个面都相切,求棱锥的全

面积和球的表面积。

A

A

O

O

E

B

O1

E

B

O1

过侧棱AB与球心O作截面( 如图 )

在正三棱锥中,BE 是正△BCD的高

O1是正△BCD的中心,且AE 为斜高

1

slide7

例2、正三棱锥的高为 1,底面边长为

内有一个球与四个面都相切,求棱锥的全

面积和球的表面积。

A

A

1

F

O

O

E

B

O1

E

B

O1

作 OF ⊥ AE 于 F

设内切球半径为 r,则 OO1 = 1 -r

∵ Rt △ AFO ∽ Rt △ AO1E

slide8

例2、正三棱锥的高为 1,底面边长为

内有一个球与四个面都相切,求棱锥的全

面积和球的表面积。

A

1

θ

O

E

B

O1

在 Rt △ AO1E 中

在 Rt △ OO1E 中

slide9

例2、正三棱锥的高为 1,底面边长为

内有一个球与四个面都相切,求棱锥的全

面积和球的表面积。

A

O

D

B

C

设球的半径为 r,则 VA- BCD =

VO-ABC + VO- ABD + VO-ACD + VO-BCD

slide10

A

5

6

5

O

D

6

5

B

E

即 S △ABE =

5

C

练习、三棱锥A – BCD的两条棱 AB = CD = 6,

其余各棱长均为5,求三棱锥的内切球的体积。

取 CD 的中点 E,连 AE、BE

∵ AC = AD = BC = BD,

∴ CD ⊥ AE ,CD ⊥ BE,

∵AE∩BE = E,

∴CD ⊥ 面ABE

∵ AD = BD = 5,DE = 3

∴ AE = BE = 4

slide11

A

5

6

5

O

D

6

5

B

E

5

C

练习、三棱锥A – BCD的两条棱 AB = CD = 6,

其余各棱长均为5,求三棱锥的内切球的体积。

∵ 各侧面全等

设内切球半径为 r

slide12

P

G

O

D

A

O1

E

例3、求棱长为 a 的正三棱锥 P – ABC 的外

接球的表面积

过侧棱 PA 和球心 O 作截面α

则α截球得大圆,截正四面体得△PAD

如图所示,

连 AO 延长交 PD 于 G

则 OG ⊥ PD,且 OO1 = OG

∵ Rt △ PGO ∽ Rt △ PO1D

slide13

P

A

C

O

练习2、求棱长为 a 的正四棱锥的外接球的

体积。

过正四棱锥的相对侧棱作截面α

则α截球得大圆,截正四棱锥得 △PAC,

且 △PAC 内接于圆 O,如图所示

∵ PA = PC = a

∴ △ PAC 是等腰 Rt △

即 AC 为球的直径