第三章时域分析法

第三章时域分析法

本章主要内容 3.1 典型输入信号 3.2 一阶系统的时域分析 3.3 二阶系统的时域分析 3.4 高阶系统的时域分析 3.5 控制系统的稳定性 3.6 控制系统的误差分析

3.1 典型输入信号 • 阶跃函数 • 速度函数（斜坡函数） • 加速度函数（抛物线函数） • 脉冲函数 • 正弦函数

R=常数 • 阶跃函数 R=1时称为单位阶跃信号 r(t)=u(t) r(t)=1(t) 或单位阶跃函数的拉氏变换

r(t)=t R=1时称为单位斜坡信号表征匀速信号 • 速度函数（斜坡函数）单位斜坡函数的拉氏变换

R=1时称为单位抛物线函数 表征匀加速信号 • 加速度函数单位抛物线函数的拉氏变换

单位脉冲信号 当A=1, • 脉冲函数单位脉冲函数的拉氏变换

正弦函数 正弦函数的拉氏变换

时，系统的输出状态。 稳态响应：时间响应系统在某一输入信号作用下，其输出量从初始状态到进入稳定状态前的响应过程。瞬态响应：

3.2 一阶系统的时域分析 • 一阶系统的形式闭环极点(特征根)：-1/T

稳态分量 暂态分量 • 一阶系统的单位阶跃响应

性质： 1）T 暂态分量 瞬态响应时间 极点距离虚轴  2）T 暂态分量 瞬态响应时间 极点距离虚轴  最终稳态输出值与输入值（信号）趋于一致，误差为零。

(t0) • 一阶系统的单位斜坡响应性质： 1）经过足够长的时间，输出增长速率近似与输入相同； 2）输出相对于输入滞后时间T； 3）稳态误差=T。暂态分量

一阶系统的单位脉冲响应 只包含瞬态分量

此对应关系说明，系统对输入信号导数的响应，就等于系统对该输入信号响应的导数。或者，系统对输入信号积分的响应，就等于系统对该输入信号响应的积分。而积分常数由零输出初始条件确定。这是线性定常系统的一个重要特性，不仅适用于一阶线性定常系统，而且也适用于任何阶线性定常系统，但不适用于线性时变系统和非线性系统。

3.3 二阶系统的时域分析 一、二阶系统传递函数的标准形式阻尼比无阻尼自然频率系统的特征方程闭环特征方程根（闭环极点）

临界阻尼 欠阻尼：过阻尼：无阻尼：

二阶系统的单位阶跃响应 欠阻尼：0< <1 过渡过程为衰减的振荡 (t0) 阻尼自然频率

(t0) 无稳态误差；含有衰减的正弦振荡项: 其振幅衰减的快慢由x 和wn决定，衰减系数：xwn 衰减振荡的频率为wd ，振荡幅值随x 减小而加大。

(t0) 无阻尼自然频率无阻尼：=0 响应为无阻尼的等幅振荡具有稳定边界

(t0) 临界阻尼：=1 系统包含两类瞬态衰减分量单调上升，无振荡、无超调、无稳态误差。

(t0) 过阻尼：>1 系统包含两类瞬态衰减分量单调上升，无振荡，过渡过程时间长，无稳态误差。

负阻尼（ <0） 极点实部大于零，响应发散，系统不稳定。 -1<ξ<0 ξ < -1 单调发散振荡发散

几点结论： （1）二阶系统的阻尼比ξ 决定了其振荡特性： ξ < 0时，阶跃响应发散，系统不稳定； ξ = 0时，出现等幅振荡; 0<ξ<1时，有振荡，ξ 愈小，振荡愈严重，但响应愈快; ξ≥ 1时，无振荡、无超调，过渡过程长；

（2）ξ一定时，ωn越大，瞬态响应分量衰减越迅速。（2）ξ一定时，ωn越大，瞬态响应分量衰减越迅速。系统能够更快达到稳态值，响应的快速性越好。

（3）工程中除了一些不允许产生振荡的应用，如指示和记录仪表系统等，通常采用欠阻尼系统，且阻尼比通常选择在0.4~0.8之间，以保证系统的快速性同时又不至于产生过大的振荡。（3）工程中除了一些不允许产生振荡的应用，如指示和记录仪表系统等，通常采用欠阻尼系统，且阻尼比通常选择在0.4~0.8之间，以保证系统的快速性同时又不至于产生过大的振荡。

二阶系统的单位脉冲响应 (t0) 欠阻尼：0< <1 无阻尼：=0 临界阻尼：=1 过阻尼：>1

(t0) 二阶系统的单位斜坡响应欠阻尼：0< <1 无阻尼：=0 临界阻尼：=1 过阻尼：>1

二阶系统在跟踪单位速度函数时，稳态误差为 稳态误差稳态误差响应时间响应时间超调量超调量 0.4-0.8

在控制系统设计时，对开环放大倍数 K取不同的值，可以得到不同的x和wn，从而改变稳态误差的大小。

在许多实际情况中，评价控制系统动态性能的好坏，是通过系统对单位阶跃输入信号的瞬态响应的特征量来表示的。在许多实际情况中，评价控制系统动态性能的好坏，是通过系统对单位阶跃输入信号的瞬态响应的特征量来表示的。通常，希望二阶系统工作在的欠阻尼状态下。会造成系统瞬态响应的严重超调，将使系统的响应变得缓慢。二、二阶系统的性能指标

瞬态指标定义： 最大超调量稳态值的２％或５％峰值时间上升时间调整时间

二阶欠阻尼系统的阶跃响应的瞬态指标 上升时间峰值时间调整时间

最大超调量 （Mp）振荡次数

瞬态指标性质： （1）二阶系统的动态性能由ωn和决定。（2）增加 降低振荡，减小超调量Mp和振荡次数N ； 系统快速性降低，tr、tp增加。（3） 一定，ωn越大，系统响应快速性越好， tr、 tp、ts越小。（4）Mp、N 仅与有关，而tr、tp、ts与、ωn有关，通常根据允许的最大超调量来确定。 一般选择在0.4~0.8之间，然后再调整ωn以获得合适的瞬态响应时间。

例：

3.4 高阶系统的时域分析 若描述系统的微分方程高于二阶，则该系统为高阶系统。在控制工程中，大多数控制系统都是高阶系统。从理论上讲，高阶系统也可以直接由传递函数求出它的时域响应，然后按上述二阶系统的分析方法来确定系统的瞬态性能指标。但是，高阶系统的分布计算比较困难，同时，在工程设计的许多问题中，过分讲究精确往往是不必要的，甚至是无意义的。因此，工程上通常把高阶系统适当地简化成低阶系统进行分析。下面简单地介绍高阶系统时域响应的确定方法及研究高阶系统性能的思路和途径。

令输入信号 : 设三阶系统的闭环传递函数

当高阶系统的时域响应是由稳态值和一些惯性环节及振荡环节的瞬态响应分量所组成。二阶系统在单位阶跃信号作用下的输出信号为

（1）两者的稳态分量是一样的，都等于1，这是因为两个系统的输入信号相同。（1）两者的稳态分量是一样的，都等于1，这是因为两个系统的输入信号相同。（2）两者都有正弦（余弦）衰减项。这是因为三阶系统与二阶系统都有一对共轭复数闭环极点；（3）三阶系统的输出响应比二阶系统的输出响应多一项指数衰减项。因为，对三阶系统动态响应的影响是：使减小，使增加。三阶系统和二阶系统输出比较：

反映了它们距[s]平面上虚轴的远近程度的比值.反映了它们距[s]平面上虚轴的远近程度的比值. 三阶系统有三个闭环极点：是一对共轭复数极点, 与二阶系统相同实部一个负实数极点实部实部表达了闭环极点距离虚轴的距离。

　在动态响应中起主导作用，使c(t)的形状发生质变—不振荡或以指数规律为基准进行振荡，即c(t)曲线无超调量。　在动态响应中起主导作用，使c(t)的形状发生质变—不振荡或以指数规律为基准进行振荡，即c(t)曲线无超调量。衰减得慢，所以负实数极点对c(t)影响大．相对来说衰减得太快

衰减得快，所以对c(t)影响小． 相对来说衰减得太慢正弦衰减项在动态响应中起主导作用．

三阶系统就可近似地看作是二阶系统 因为　　　时，指数衰减项　　在只由　　（即二阶系统）引起的阶跃响应的上升时间之内就衰减完了。三阶系统已变成二阶系统相对来讲衰减非常快

控制系统动态响应中的暂态分量是由闭环极点造成的.一个稳定的高阶系统，如有个n闭环极点，则c(t)动态响应中就有n项暂态分量。这n项暂态分量对c(t)动态响应的影响如何，主要看造成该项暂态分量的闭环极点距离虚轴的远近程度。控制系统动态响应中的暂态分量是由闭环极点造成的.一个稳定的高阶系统，如有个n闭环极点，则c(t)动态响应中就有n项暂态分量。这n项暂态分量对c(t)动态响应的影响如何，主要看造成该项暂态分量的闭环极点距离虚轴的远近程度。若距虚轴较远的闭环极点的实部与距虚轴最近的闭环极点的实部的比值大于或等于5，且在距离虚轴最近的闭环极点附近不存在闭环零点, 这时离虚轴最近的闭环极点将对系统的动态特性起主导作用，称之为闭环主导极点，它常以一对共轭复数极点的形式出现。

闭环零点只影响响应中暂态分量的系数，即影响暂态分量衰减的初始值，不影响暂态分量中闭环零点只影响响应中暂态分量的系数，即影响暂态分量衰减的初始值，不影响暂态分量中结论：（１）控制系统动态响应的类型取决于闭环极点，而过渡过程的具体形状由闭环极点、闭环零点共同决定。（２）闭环零点的作用还表现在使过渡过程的峰值时间缩短，提高系统对控制信号的快速性，且零点越靠近虚轴，上述作用便越大。但若零点离虚轴太近，将导致超调量s%增大，使系统的阻尼性能变坏。因此在配置闭环零点时，要很好地解决tp与s%之间的矛盾。（３）闭环零点和极点，当它们彼此靠得很近时，它们对系统的动态响应的影响将互相抵消。

3.5 控制系统的稳定性 一、稳定的概念和定义所谓自动控制系统的稳定性，就是系统能够抵抗使它偏离稳定状态的扰动作用，重新返回原来稳态的性能，即在去掉作用于系统上的扰动之后，系统能够以足够精确的程度恢复初始平衡状态。稳定性是系统在扰动消失后，自身具有的一种恢复能力，它是系统的一种固有特性，这种特性只取决于系统的结构和参数，与外作用无关。

f A 图2 不稳定系统 d c f A 图3 小范围稳定系统图1 摆运动示意图稳定与不稳定系统的示例图1为稳定的系统。图2为不稳定系统。图3，小球超出了C、D范围后系统就不再是线性的，故可以认为该系统在线性范围内是稳定的。

闭环极点分布与动态响应关系

第三章 时域分析法