一、向量的概念

向量

一、向量的概念 • 1、定义 • 2、实例 • 3、表示方法 • 4、相关定义

1、定义 • 既有大小又有方向的量称为向量

2、实例 • 位移、力、速度、加速度、力矩等

3、表示方法 • 用有向线段表示 • 使用黑体小写字母 • 在小写字母上加箭号 • 在表示起点和终点的大写字母上加箭号

4、相关概念 • 自由向量 • 相等的向量 • 模 • 零向量 • 单位向量 • 反向量 • 向量的共线 • 向量的共面

二、向量运算 • 1、加法 • 2、数乘 • 3、数量积 • 4、向量积 • 5、混合积

1、加法 • 三角形法则 • 平行四边形法则 • 例：位移、速度、加速度和力的合成

2、数乘 • 数与向量的乘积是一个向量，模为数的绝对值与向量的模的乘积，当数大于零时与原向量同方向，当数小于零时与原向量反方向。 • 例：力与加速度（f=ma）、位移与速度（s=vt）、速度与加速度（v=at）

3、数量积 • 两个向量的数量积是一个数，为它们的模与它们的夹角的余弦的乘积。 • 又称为内积或点积。 • 例：做功（w=fs）

4、向量积 • 两个向量的向量积是一个向量，它的模是这两个向量的模与它们的夹角的正弦的乘积，方向与它们都垂直，并且第一个向量、第二个向量和它们的向量积成右手系。 • 例：力矩（m=r×f） • 几何意义：两个向量的向量的积模为以这两个向量为边的平行四边形的面积。

5、混合积 • 三个向量的混合积是前两个向量的向量积与第三个向量的数量积。 • 几何意义：混合积的绝对值为以这三个向量为棱的平行六面体的体积。

三、向量的运算规律（1） • 1、加法交换律 • 2、加法结合律 • 3、存在零向量 • 4、存在反向量 • 5、1与向量的数乘 • 6、数乘的结合律（关于数） • 7、数乘与加法的两个分配律

三、向量的运算规律（2） • 8、数量积的交换律 • 9、数量积与数乘的结合律 • 10、数量积的分配律 • 11、向量与自身的数量积非负，当且仅当这个向量为零向量时数量积为零 • 12、向量积的反交换律 • 13、向量积与数乘的结合律 • 14、向量积的分配律

四、线性关系 • 1、线性组合定义 • 2、线性相关与线性独立（无关）定义 • 3、有关定理

定理1 • 若向量e不为0向量，则向量r与e共线的充分必要条件是r可用e线性表示。这时线性表示是唯一的。

定理2 • 若向量a、b不共线，则向量r与a、b共面的充分必要条件是r可用a、b线性表示。这时线性表示是唯一的。

定理3 • 若向量a、b、c不共线，则任意向量r可用a、b、c线性表示，这时线性表示是唯一的。

定理4 • 一个向量线性相关的充分必要条件是它为零向量。

定理5 • 两个以上向量线性相关的充分必要条件是其中至少有一个可用其余向量线性表示。

定理6 • 两个向量共线的充分必要条件是它们线性相关。

定理7 • 三个向量共面的充分必要条件是它们线性相关。

定理8 • 四个以上向量必线性相关。

五、坐标系 • 1、仿射坐标系 • 2、仿射坐标系的坐标变换 • 3、直角坐标系 • 4、直角坐标系的坐标变换 • 5、平面直角坐标系 • 6、向量及其运算的坐标表示

6、向量及其运算的坐标表示 • 向量用其端点坐标表示 • 定比分点 • 加法、数乘、数量积、向量积和混合积 • 共线与共面的条件

六、向量在初等几何中的应用 • 例1、证明重心定理 • 例2、证明垂心定理 • 例3、证明：若一直线与平面内两相交直线都垂直，则它垂直与该平面内的任何直线。 • 例4、求摆线（旋轮线）的方程。

七、向量概念的推广 • 1、向量空间 • 2、n维向量空间与无限维向量空间

1、向量空间 • 设F是一个数域，V是一个集合，在V中定义了加法运算：V × V→V，和F中的元素与V中的元素的数乘运算：F × V→V，满足向量运算规律的前7个（只与加法和数乘有关的部分），则称V为F上的向量空间。 • 通常的向量全体是实数域上的向量空间。

2、向量空间的维数 • 设V是F上的向量空间，若存在n个线性无关的V中的元素，使得V中的任何元素都能表示为这n个向量的线性组合，则称V为F上的n维向量空间。否则称V为F上的无穷维向量空间。 • 通常的向量全体是实数域上的3维向量空间。

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