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Le equazioni lineari nella storia. Prof.ssa LUCIA DI ROSA. Albert Einstein. “ tutto ciò che non si condensa in un’equazione non è scienza ”. CINESI. ASSIRI - BABILONESI. GRECI. Storia delle Equazioni. EGIZIANI. ARABI. OCCIDENTE EUROPA. Idee e Persone nella storia delle equazioni.

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le equazioni lineari nella storia

Le equazioni lineari nella storia

Prof.ssa LUCIA DI ROSA

Albert Einstein

“ tutto ciò che non si condensa in un’equazione non è scienza ”

slide2

CINESI

ASSIRI - BABILONESI

GRECI

Storia delle Equazioni

EGIZIANI

ARABI

OCCIDENTE

EUROPA

idee e persone nella storia delle equazioni
Idee e Persone nella storia delle equazioni

La risoluzione delle equazioni risale all’antichità e nasce dall’esigenza di introdurre un simbolo (incognita) allo scopo di generalizzare e risolvere i problemi derivanti dagli affari di tutti i giorni e dai bisogni della società. Dai più antichi documenti che ci sono pervenuti, che vanno dal 2000 al 1600 A.C., si sa che l’Egitto e la Babilonia avevano modi diversi per indicare l’incognita.

Presso i Greci sia il calcolo letterale, sia l’algebra erano vincolati all’interpretazione geometrica. Euclide (300 a.C.), ad esempio,

nei suoi Elementi risolve tutti i problemi basandosi esclusivamente su ragionamenti geometrici.

Ma nel 200 d.C., è sempre un greco ,Diofanto, a dare nuove idee per la risoluzione di problemi. Egli si stacca dall’appoggio geometrico e dà al simbolo una sua propria vita.

Portandoci nell’estremo oriente, in manoscritti Cinesi del I e II secolo d.C., l’incognita viene indicata con una parola che significa “elemento” e con una che significa “cosa” che non esprimeva né qualità né quantità.

Si devono al matematico e astronomo arabo al-Khowarizmi (825) sviluppi significativi nel campo dell’algebra.

È dal 1202 che le conoscenze algebriche degli arabi cominciano a diffondersi in Europa. Si deve a Fibonacci (1175-1240) nel suo “Liber Abaci” il primo utilizzo del termine equazione e delle tecniche risolutive per le equazioni apprese dagli arabi.

SitografiaCronologia

un classico problema dell algebra babilonese
Un classico problemadell’“Algebra” babilonese

􀂄 Spesso i Babilonesi richiedevano di determinare due

numeri conoscendone somma e prodotto; ad

esempio: trovare a, b sapendo che la loro somma è 8

ed il loro prodotto è 12.

􀂄 Posizioni (moderne): a = 4+d e b = 4–d (a+b = 8)

􀂄 Si ha (solo radici positive): ab = (4+d)(4–d) = 12

d² = 4 da cui d = 2 infine: a = 4+d = 6 e b = 4–d = 2

􀂄 Non esisteva alcuno strumento simbolico completo

nell’algebra babilonese: soltanto a volte qualche

incognita veniva indicata con simboli speciali.

Dalle tavolette babilonesi risulta che l’incognita si chiamava “lunghezza” (us)o “larghezza” (sag)o “area” (asa) e queste designazioni valevano anche se il problema da risolvere non aveva niente a che fare con la geometria.

Tavoletta Babilonese

slide5
Le equazioni egiziane

􀂄Nel papiro Rhind risalente al 1650 a.C. si

risolvono alcune equazioni,

quasi tutte di I grado, nelle quali

l’incognita è detta aha (mucchio), con il

“metodo di falsa posizione”,

Più tardi detto regula falsi.

􀂄 Esempio: determinare il numero

che aggiunto al proprio quinto dà come

somma 48 (x + x/5 = 48).

􀂄 “Falsa” posizione: x = 5

(per non avere frazioni nel primo passaggio), ma non va bene: 5+5/5 = 6 ≠ 48.

􀂄 Sostituendo x = 5 in x+x/5 si ha 6 e non 48; ma se un

multiplo di 6 è 48, lo stesso multiplo di 5 darà la x.

􀂄 Per ottenere 48 da 6 si moltiplica il 6 per 8 (6·8 = 48).

Dunque, per ottenere la cercata x da 5 dobbiamo

moltiplicare per 8 (il 5): 5·8 = x cioè: x = 40.

Papiro di RHIND

slide6
Nella cultura greca i problemi numerici, non dissimili da quelli presenti ancora oggi nei testi per la scuola media, non erano ritenuti importanti poiché di natura applicativa: la vera matematica era la geometria. Pertanto, presso i Greci sia il calcolo letterale, sia l'algebra erano vincolati all'interpretazione geometrica. Già la semplice scrittura della generica equazione di primo grado,

ax = b era inconcepibile dato che ax, essendo un prodotto, rappresentava un rettangolo e b un segmento, e non ha senso uguagliare una figura piana con una rettilinea. Un'equazione di primo grado poteva essere, ad esempio, ab = qx, e veniva espressa nel modo seguente:

"Dato il rettangolo di dimensioni a e b, determinare un rettangolo a esso equivalente avente un lato pari a q".

La risoluzione era affidata a una costruzione geometrica quale la seguente:

EUCLIDE

slide7

Diofanto

Diofanto di Alessandria fu l'ultimo dei grandi matematici greco-ellenistici, ed è noto come il padre dell’algebra. Della sua vita si sa ben poco; la sua nascita va collocata tra il 200 e il 214 d.C., la sua morte tra il 284 e il 298 d.C. Dopo di lui per circa un millennio e fino a Leonardo Fibonacci lo studio della matematica, almeno in Europa, attraversò un periodo di grave decadenza.

Diofanto scrisse un trattato sui numeri poligonali e sulle frazioni, ma la sua opera principale è l'Arithmetica, trattato in tredici volumi dei quali soltanto sei sono giunti fino a noi. La sua fama è principalmente legata a due argomenti: le equazioni indeterminate ed il simbolismo matematico.

A Diofanto si deve un famoso problema, che egli stesso volle venisse scritto sulla propria tomba sotto forma di epitaffio da cui è possibile l’età del grande matematico greco:

Questa tomba rinchiude Diofanto e, meraviglia! dice matematicamente quanto ha vissuto. Un sesto della sua vita fu l’infanzia, aggiunse un dodicesimo perché le sue guance si coprissero della peluria dell’adolescenza. Inoltre per un settimo ebbe moglie, e dopo cinque anni di matrimonio ebbe un figlio. L’infelice morì improvvisamente quando raggiunse la metà dell’età paterna. Il genitore sopravvissuto fu in lutto per quattro anni e raggiunse infine il termine della propria vita.

Si tratta di un problema di primo grado;indicando con x l’età di Diofanto alla morte si ha:

x= 1/6x + 1/12x + 1/7x + 5 + 1/2x + 4

Da cui si deduce che x=84

slide8
Diofanto indica:
  • Con la lettera S l’incognita
  • Con Δ il quadrato dell’incognita
  • Con K il cubo dell’incognita

Diofanto dà poi delle regole per la risoluzione dell’equazione;

  • Il trasporto di un termine da un membro all’altro cambiandolo di segno;
  • L’eliminazione di termini uguali nei due membri;

L’opera di Diofanto sarà ,a distanza di secoli, il punto di partenza per lo sviluppo dell’algebra e del simbolismo moderno.

slide9
In Cina l’algebra è presente dal II sec. d.C. in forma

retorica o sincopata (ideogrammi monosillabici per

quantità e operazioni) con un importante “carattere

posizionale”,come per le (tarde) tecniche moltiplicative.

􀂄 La tavola da calcolo algebrica cinese era impostata

in modo che determinate posizioni fossero occupate

sempre da particolari tipi di grandezze (incognite,

potenze etc.) e tale convenzione può considerarsi un importante

artefatto secondario (una “regola del gioco”).

algebra cinese e carattere posizionale
Algebra cinese e “carattere posizionale”
  • termine noto
  • coeff. x
  • coeff. x2

E si noti

l’uso di

bacchette!

􀂄 Ad esempio, questa tabella (sangi) indica l’equazione:

851x2−3450x+2691 = 0

(si osservino i diversi colori e l’assenza dello zero)

calcolo mediante tabelle chiu chang
Calcolo mediante tabelle: Chiu Chang

􀂄 Consideriamo il problema seguente che riprende, con

variazioni numeriche, un problema del capitolo VIII

(Fang Cheng) del Chiu Chang (precedente al I sec.):

Cinque covoni di grano di tipo A aggiunti a tre covoni

di grano di tipo B hanno il rendimento di 19 sheng.

Tre covoni di grano di tipo A aggiunti a due covoni di

grano di tipo B hanno il rendimento di 12 sheng.

Quali rendimenti hanno un covone di grano di tipo A

e un covone di grano di tipo B?

Oggi indicheremmo rispettivamente con x e con y (in

sheng) i rendimenti di un covone di tipo A e di un

covone di tipo B ed imposteremmo un sistema…

Suang Fa Thung Tsung, 1593

il procedimento precedente pu essere riprodotto con le bacchette da calcolo
Il procedimento precedente può essereriprodotto con le bacchette da calcolo

Il sistema è:

5x + 3y = 19

3x + 2y = 12

􀂄 Moltiplichiamo la

prima riga per 3

􀂄 e la seconda per 5.

􀂄 Ora alla seconda riga sottraiamo la prima,

􀂄 moltiplichiamo questa seconda riga per 9

􀂄 e alla prima riga sottraiamo la seconda.

􀂄 Infine dividiamo la prima riga per 15 e

dividiamo ancora la seconda riga per 9.

x = 2

y= 3

il mondo arabo al kuwarizmi
Il mondo arabo : Al-Kuwarizmi

􀂄 Dopo la grande stagione della scienza greca, la

Matematica conobbe un periodo di declino, anche se

meno oscuro di quanto si è talvolta portati a pensare.

Gli Arabi non si limitarono a tramandare la

memoria dei testi greci e le loro conoscenze

matematiche e astronomiche rivelano elementi di

originalità.

􀂄 Mohammed Ibn Musa Al-Kuwarizmi (VIII secolo),

di origine persiana, scrisse Al-jabr wal mukabalah,

dalle cui primelettere deriva la parola “Algebra” e

nella quale sviluppò la teoria delle equazioni,

particolarmente di quelle di secondo grado.

Quest’opera contiene una seria di problemi riguardanti testamenti ed eredità e l’incognita viene chiamata “cosa”.

Il limite più rilevante della sua opera è l’assenza di una notazione simbolica.

Al-Kuwarizmi quindi deve essere considerato ancora nell’ambito dell’algebra retorica (nella quale tutte le espressioni algebriche erano indicate mediante

parole).

􀂄

il mondo arabo khayyam
Il mondo arabo : Khayyam

Gli Arabi si occuparono

di equazioni

indeterminate (Al-

Karchi, morto nel 1029,

scrisse Al-Facri, vicino

all’Aritmetica diofantea).

􀂄 Alcuni tentarono di

provare che x³+y³ = z³ non

ammette soluzioni intere

non nulle, anticipando le

ricerche sull’ultimo

teorema di Fermat.

occidente europa
Occidente - Europa

Si deve a Fibonacci (1175-1240) nel suo “Liber Abaci”, il primo utilizzo del termine equazione e la diffusione in Europa delle tecniche risolutiva apprese dagli Arabi.

Solo nel sedicesimo secolo l'algebra iniziò un suo vero e proprio sviluppo autonomo dalla geometria, quando le lettere furono intese rappresentare non grandezze geometriche, ma numeri: attraverso l'opera di F. Viète (1540-1603) e R. Descartes (Cartesio,1596-1650).

Raggiunse una sistemazione e un modo di presentazione simile a quelli attuali poco più di due secoli fa, nell'Introduzione completa all'algebra (1770) di L. Euler (Eulero,1707-1783).

CARTESIO

slide16
Nello stesso periodo giunse a maturazione il linguaggio

algebrico vero e proprio. In precedenza (algebra retorica)

operazioni, equazioni con la loro risoluzione, venivano

espressi con parole (ad esempio l'incognita veniva detta

la "cosa", il suo quadrato il "censo", la sua terza potenza

il "cubo", la quarta potenza "censo censo") ed era assai

arduo seguire i passaggi con cui si perveniva ai risultati

finali dei problemi.

Ne seguí una fase intermedia (algebra sincopata),

in cui comparvero alcuni simboli e parole stilizzate:ad esempio Luca Pacioli

(1445-1514), autore dell'opera Summa de Arithmetica (1523), che

contribuí alla diffusione in occidente dell'uso delle cifre arabo-indiane,

indicava con "co" l'incognita, con "ce" il suo quadrato, con "cu" il suo cubo

e con "p" e "m" l'addizione e la sottrazione.

Solo in seguito l'algebra ricevette la veste che la rende simile alle attuali

esposizioni (algebra simbolica).

Luca Pacioli

fibonacci e il liber abaci de laborator quaestio notabilis
Fibonacci e il Liber Abaci􀂄 De laborator quaestio notabilis.

􀂄 Un lavoratore avrebbe

dovuto prendere 7

bisanti al mese se avesse

lavorato, ma avrebbe

dovuto restituire 4

bisanti per un mese

di assenza dal lavoro.

􀂄

Questi talvolta lavorò e talvolta no ed alla fine del

mese (30 giorni) ricevette un solo bisante.

􀂄 Quanti giorni lavorò?

risolviamo con fibonacci il problema del lavoratore
Risolviamo con Fibonacciil problema del lavoratore

􀂄 Modernamente imposteremmo l’equazione:

7·x/30–4 ·(30–x)/30 = 1

􀂄 Fibonacci usa il metodo della doppia falsa posizione:

􀂄 per 15 gg.: 1 bisante e 1/2 7·15/30–4·15/30

􀂄 per 20 gg.: 3 bisanti e 1/3 7·20/30–4·10/30

􀂄 Si imposta dunque la proporzione:

(20–15) : [(3+1/3)–(1+1/2)] = (20–x) : [(3+1/3)–1]

􀂄 Da cui ricaviamo:

x = 150/11 = 13+7/11

Pertanto quel lavoratore

ha lavorato 13 giorni e 7/11 (di giorno).

sitografia
SITOGRAFIA
  • www.ulisse.sissa.it
  • www.it.wikipedia.org
  • www.virgilio.it
  • Castelnuovo E./Gori Giorgi/ Valenti

La matematica nella realtà – La Nuova Italia

  • Carl B. Boyer

Storia della matematica – Oscar Mondadori

  • BIBLIOGRAFIA