層級分析法與資料包絡分析法於管理領域之應用

1. 層級分析法與資料包絡分析法於管理領域之應用層級分析法與資料包絡分析法於管理領域之應用 黃嘉彥 教授 勤益科技大學 研發科技與資訊管理研究所 2011/05/22

2. 目錄 一 AHP 二 DEA 三 電子標籤揀貨績效衡 四 易腐性商品三階段最佳補貨策略之研究 五 討論

3. 分析層級程序法(Analytic Hierarchy Process，AHP)

4. 序論 • 當面臨一個決策問題時，它經常是由一些複雜的決策元素所構成 • 決策元素：決策者、受決策影響者、決策目標、相關屬性、可供選擇的方案 • 元素之間往往有許多的交互影響，因此決策問題會受到有形與無形的許多因素影響，而必須同時思考量化與質化等不同思維角度。 • 以購屋決策為例： 簡禎富

5. 多屬性評估模式 購屋決策之方案與屬性評估列表 價值衡量 (量化) (量化) (質化) (質化) 簡禎富

6. 購屋決策之方案與屬性評估列表 • 在實際進行購屋決策時，常會發現這四個屬性仍然有些籠統，因此可以再細分為更下一層的屬性，例如： • 生活機能可以區分為購物便利性、餐飲選擇性、娛樂多樣性、交通網絡等四個次屬性 • 居住品質可細分為採光、通風、隔音、住戶數等次屬性 • 以層級方式發展整合性的系統可以同時考慮許多目的，並明確說明模糊環境。 簡禎富

7. AHP概論 • AHP－學者Saaty於1971發展的多屬性評估方法 • 由於理論簡單且操作容易，應用範圍很廣泛，已有許多學者在不同國家進行AHP在大型決策問題的實證研究 簡禎富

8. AHP概論 AHP的應用範圍 • 已有許多相關研究與實務應用於經濟、社會及管理等領域的決策問題，包括公共政策評估、區位選擇、供應商評選及系統選擇。 • Saaty認為層級程序分析法可應用於下列問題中： • 決定優先順序 • 產生一組方案 • 選擇最佳的政策 • 決定需求 • 分配資源 • 預測結果 • 評估績效 • 設計系統 • 確保系統穩定性 • 最佳化 • 規劃 • 解決衝突與矛盾 • 風險評估 簡禎富

9. AHP概論 AHP特色 • AHP將問題加以層級分解和架構，使大型複雜的決策問題可以解構成多個小的子問題後，根據AHP的步驟分別作比較評估後再整合 • 由於人類大腦有認知能力的限制，而 AHP可使複雜的問題變得較比較容易作決策(一次只比較兩項) ，並確保決策考量的全面性，避免掛一漏萬 • 比採用直觀和經驗直接評估大型問題容易，同時可提高決策的品質和一致性 簡禎富

10. AHP模式與步驟 • 步驟： • 將複雜決策問題的評估結構化與系統化，列出相關的因子，並建立層級結構 • 建立評估屬性和方案的成對比較矩陣(讓決策者有評比的依據) • 計算各屬性之相對權重和各方案的相對評估值 • 檢定一致性(藉著此檢驗，提高模式和決策的效度) 簡禎富

11. AHP模式與步驟 功能二:評估方案 功能一:計算各屬性之相對權重 計算各屬性之相對權重和各方案的相對評估值，使用的方法都是以成對比較矩陣計算特徵向量而得之 AHP 多屬性決策分析架構 簡禎富

12. AHP模式與步驟 架構問題與釐清決策元素 • 應用AHP於多屬性決策問題時，須先定義問題、瞭解問題本質、釐清相關決策元素(決策者、受決策影響者、決策目標、相關屬性、可供選擇的方案)。 • 「見樹又見林」—站在層級的頂端制高點來看不同層級的決策元素之間的上下關連，以及同一層級內不同元素之間的相對影響 簡禎富

13. AHP模式與步驟 目標層級架構圖 目標定義與層級架構 • 目標層級架構的方式可藉由組織已產生的根本目標，然後採行由上而下分解方式或採行由下而上合成方式將目標層級逐層發展完成 策略目標 決策者真正期望達成的最終目的 簡禎富

14. AHP模式與步驟 層級架構 目標定義與層級架構 • 由上而下的方式—探討「此目標更明確的意涵為何？」以將上一層級目標分解為下一個層級的次目標 • 層級的多寡，端視問題的分析所需而定 • 通常建議每一層級包含七個以下之元素 • 由下而上的方式—應探討「比這些目標更一般化的概念觀點為何？」 • 以將下層細項目標整合為上一層級的綜合目標 簡禎富

15. AHP模式與步驟 層級架構 目標定義與層級架構 • 決策者往往難以權衡不同層級的目標，因此在架構時應該盡量將重要性相近的屬性放在同一層級內作比較 • 符合完整的、可解構的、可衡量的、不重複的以及最少的等五個原則 • 註:可解構的：所產生的目標應該可以再細分 簡禎富

16. AHP模式與步驟 方案產生與層級架構 • AHP層級架構的最底層元素可為決策的備選方案 • 例如，有三個工作機會必須分別在所有的屬性上接受評量，以決定孰優孰劣 • 透過層級架構可將「工作選擇」看似含糊的決策問題，清楚地分解成數個小的評估問題，決策者可清楚地確認需求衡量的屬性，以及屬性間的關連性。 簡禎富

17. AHP模式與步驟 工作機會與決策目標層級架構之對應關係 決策者真正期望達成的最終目的 簡禎富

18. AHP模式與步驟 屬性成對比較以建立相對權重 • AHP的評估是以每一層級的上一層屬性，作為評估比較其下一層次屬性之間的依據 • 而以屬性間成對比較結果形成的成對比較矩陣來計算屬性的相對權重 • 相對權重：將某一層級內的任二個屬性，以其上一層級的屬性為目標，分別評估該二個屬性對其上層目標的相對貢獻度或重要性 簡禎富

19. AHP模式與步驟 屬性成對比較以建立相對權重 • 相對權重的操作過程包含: • 依評估尺度收集衡量值 • 建立方案間的成對比較矩陣 • 計算特徵值與特徵向量求權重與λmax • 驗證一致性(利用λmax) 簡禎富

20. AHP模式與步驟 1.依評估尺度收集衡量值 • AHP係利用屬性兩兩成對比較的問題為媒介，以萃取決策者的偏好判斷 • 如此可將複雜問題分解為數個成對比較，減輕評估者的思考負擔，而能專注在兩個屬性間的比較 • 一般用問卷調查收集資料 • 下例：決策參與者可由其中九種可能的選項選擇最接近的答案，然後將答案編碼轉換成數量化尺度 簡禎富

21. AHP模式與步驟 1.依評估尺度收集衡量值 建立相對權重 針對工作滿意度而言，工作的「成長性」相對於「福利」的重要性為： 「成長性」相對「福利」為絕對重要 「成長性」相對「福利」為極重要 「成長性」相對「福利」為頗重要 「成長性」相對「福利」為稍重要 「成長性」和「福利」為同等重要 「福利」相對「成長性」為稍重要 「福利」相對「成長性」為頗重要 「福利」相對「成長性」為極重要 「福利」相對「成長性」為絕對重要 問卷範例1 簡禎富

22. AHP模式與步驟 相對重要性尺度表 建立相對權重 (Saaty，1986) 問卷範例2 針對工作滿意度而言，工作的「成長性」相對於「福利」的重要性 簡禎富

23. AHP模式與步驟 附說明的問卷範例 建立相對權重 • 問卷範例1的形成可能會使問卷太長，因此可用以下問卷範例的形式(不過，此種問卷需提供說明，以避免誤解 ) 問卷範例3 針對工作滿意度而言，工作的「成長性」相對於「福利」的相對重要性為何，請勾選一個你認為符合的敘述： 簡禎富

24. AHP模式與步驟 2.建立成對比較矩陣 建立相對權重 例，若決策者認為屬性A1相對於屬性A2為頗重要(5分)，則a12 = 5 • 有n個指標時，則需要進行C(n,2)次的成對比較，因此每一層級的屬性總量n最好控制在7個以下，即不超過21組成對比較，超出時可以再分層處理 • 否則: • 比較矩陣過大 • 影響一致性檢驗 代表屬性1相對屬性2的相對重要性 將衡量值置於上三角部份 指標自己的比較，所以衡量值均為1 上三角的倒數 簡禎富

25. AHP模式與步驟 成對比較次數 建立相對權重 建立成對比較矩陣 C(10,2) = 45,需45次成對比較 再分層處理 21次 C(2,2) = 1 C(5,2) = 10 C(5,2) = 10 簡禎富

26. AHP模式與步驟 3.計算特徵值與特徵向量 建立相對權重 • 求出成對矩陣A後，使用數值分析中的特徵值λ(eigenvalue)解法，找出特徵向量W(eigenvector) • AλW，利用 • 求得矩陣A的n個特徵值λ ，其中最大特徵值標記為λmax 簡禎富

27. AHP模式與步驟 3.065 特徵值與特徵向量計算 建立相對權重 特徵值與特徵向量 例 代入方程式 (三個λ中最大者) ≠ 3 nxn矩陣n=3 求得權重向量 [0.6491 0.2790 0.0719]T 簡禎富

28. AHP模式與步驟 3.計算特徵值與特徵向量 建立相對權重 • 一般nxn矩陣會有n個特徵值，但AHP特殊型態的比較矩陣A的秩(rank)為1，(rank A=1，表示將化成列梯形矩陣後只有一列不全為零 )。 • 換言之，因為此矩陣每一列皆是第一列的常數項，所以特徵值λi (i=1,2,..,n)中，只有一個為非零，其餘均為零，此非零的特徵值即為λmax，亦即 (一矩陣的”秩”即是代表矩陣中獨立方程式個數) 簡禎富

29. AHP模式與步驟 3.計算特徵值與特徵向量 建立相對權重 • 將成對比較矩陣 A，乘以權重 W，則會等於 n 乘以權重W • 亦即A‧W = n ‧W • 比較 • 故λmax=n • 但是實際計算時λmax 與n有差距，主要是因為兩兩比較時的一致性問題，因此當兩者差距愈大，表示一致性愈差 A‧W= 簡禎富

30. AHP模式與步驟 4.驗證一致性(consistency) 建立相對權重 • 理性決策者的偏好架構應滿足遞移律(transitivity)，因此，理想上成對比較的結果應該滿足遞移律： • 若A比B稍重要，且B比C稍重要，則A應該比C絕對重要。例，若A : B = 3 且 B : C = 3 則 A : C = 9 • 然而，人為主觀判斷所構成的成對比較矩陣不容易完全遵照遞移律，因此可以容許遞移性稍微降低，但需測試其偏好一致性的程度 • 一致性乃是指決策者在評估過程中所做的判斷是合理的，無顯著之前後矛盾 簡禎富

31. AHP模式與步驟 一致性判別 建立相對權重 驗證一致性 • 範例 • 若決策者認為屬性A1相對於屬性A3為頗重要(5分)，則a13 = 5 • 而屬性A2相對於屬性A3也是頗重要(5分)，則a23 = 5 • 則決策者應該評估屬性A1相對於屬性A2為相等重要(1分)，亦即a12 =1才是符合一致性的評估。 • 要進行多個成對比較難免會有些微的不一致，但出入不應過大 • 例，若決策者給定a12的值為9(>>1分)，即表示需要重新評估以調整決策為一致的 簡禎富

32. AHP模式與步驟 一致性判別 建立相對權重 驗證一致性 • 採用一致性指標(consistency index, C.I.)作為成對比較是否具有一致性的判斷指標。 • 若C. I. = 0 —完全整合(前後判斷具完全一致性)則最大特徵值(max)會等於階數(n)。 • 若C. I. > 0.1 —表示此(前後判斷有偏差不連貫)不具有一致性。 簡禎富

33. AHP模式與步驟 一致性比率 (Consistency Ratio，C.R.) 建立相對權重 • 由於當問題變得複雜(層級變多時)，成對比較矩陣的階數也會增加，因而比較不容易維持判斷的一致性 • 因此Saaty提出所謂的「隨機指標」 (Random Index，R.I.)以調整不同的階數下會產生不同程度的C.I.值變化，而得到「一致性比率 」 • 當C.R.≤ 0.1時，則矩陣一致性程度才算是令人滿意的 若不以RI調整，則階數愈高時，CI會愈高，而不易通過一致性 R.I.實驗數據(階數愈高RI愈高) 簡禎富

34. AHP模式與步驟 修改評比矩陣 建立相對權重 驗證一致性 • 若CR>0.1，表示成對比較矩陣可能不符合一致性要求。 • 重新製作問卷詢問專家意見 • 修改評比矩陣－兩個方法 簡禎富

35. AHP模式與步驟 修改評比矩陣 – 方法1 建立相對權重 驗證一致性 • 只更換某個成對比較的判斷值 • 先利用權重向量找出權重比率 (wi/wj)，比較成對比較矩陣的每一列中的各個判斷值和其權重比率的差額絕對值：| aij - wi/wj | • 找出差額絕對值最大的一組，將 aij 置換為wi/wj ，並且同時將對應的 aji 也置換為wj/wi • 重新計算及權重向量λmax • 以及C.I.、C.R.再進行一致性檢定 • 若通過檢定即可停止 簡禎富

36. AHP模式與步驟 修改評比矩陣 – 方法1 建立相對權重 驗證一致性 aij • 一致性指標C.I.= 0.104，查表可得R.I. = 0.58，因此可以推得C.R.= 0.180。由於C.I.與C.R.都大於0.1 wi /wj • 發現 a12與w1/w2的差異最大，將 a12=9置換為w1/w2=14.139，得到一個新的矩陣A’，得C.I.= 0.045，R.I. = 0.58，C.R.=0.079，已經符合一致性的要求。 簡禎富

37. AHP模式與步驟 修改評比矩陣 – 方法2 建立相對權重 驗證一致性 • 更換以某個元素為主所作的整列成對比較判斷值 • 計算成對比較矩陣的每一列中的各元素與其權重比率差額絕對值的總和，即j(aij - wi/wj) • 再找出其中差額最大的一列，將該列中所有元素 aij 置換為wi/wj，並且同時將對應的 aji 也置換為wj/wi • 再以此新的矩陣計算及優先向量λmax • 以及C.I.、C.R.再進行一致性檢定 • 若通過檢定即可停止 簡禎富

38. AHP模式與步驟 修改評比矩陣 – 方法2例 建立相對權重 驗證一致性 • 得到兩個矩陣間第一列的差值7.687為最大，因此將第一列中的元素 a1j 都置換為w1/ wj，可得到一新矩陣 • 檢驗一致性指標得到C.I.= 0.011，R.I. = 0.58，C.R.= 0.018 簡禎富

39. AHP模式與步驟 一致性驗證—小結 建立相對權重 驗證一致性 • 此方法可以作為一致性指標超過標準時的微調的工具，而不是大幅改變的利器 • 因此，不建議過度的調整評比矩陣，若過份的使用上述方法，最後會發現可能與實際的狀況不合，亦即答案的真相被人為調整的數字所掩蓋。 簡禎富

40. AHP模式與步驟 方案成對比較 建立相對權重 • 建立個別屬性下之方案衡量 • 方案間的兩兩比較必須在每個屬性下都進行一次，操作過程與建立屬性間相對權重的過程相同，包含 (1)依評估尺度收集衡量值; (2)建立方案間的成對比較矩陣; (3)計算特徵值與特徵向量; (4)驗證一致性 簡禎富

41. AHP模式與步驟 工作機會與決策目標層級架構之對應關係 簡禎富

42. AHP模式與步驟 屬性 方案 2 3 1 成對比較矩陣 建立相對權重 方案成對比較 • 以三個屬性與三個方案為例 • 每個屬性的三個方案將會有三個成對比較矩陣、三個特徵向量、以及三個特徵值 簡禎富

43. AHP模式與步驟 1.依評估尺度收集方案衡量值 建立相對權重 方案成對比較 • 同樣採取問卷調查的方式，以兩兩比較的問題做為媒介，以萃取決策者在一個屬性下，對兩個方案符合該屬性的相度程度作評估 針對升遷管道暢通而言，「工作機會1」相對於「工作機會2」符合升遷管道暢通之相對價值為： 「工作機會1」相對於「工作機會2」為絕對符合  「工作機會1」相對於「工作機會2」為極符合  「工作機會1」相對於「工作機會2」為頗符合  「工作機會1」相對於「工作機會2」為稍符合  「工作機會1」相對於「工作機會2」為同等符合  「工作機會2」相對於「工作機會1」為稍符合  「工作機會2」相對於「工作機會1」為頗符合  「工作機會2」相對於「工作機會1」為極符合  「工作機會2」相對於「工作機會1」為絕對符合 (方案2) (屬性) (方案1) 簡禎富

44. AHP模式與步驟 屬性 P Q R 方案 2.方案間的成對比較矩陣 建立相對權重 方案成對比較 • 矩陣P為考慮屬性1下三方案間的成對比較矩陣，以 p12表示方案1相較於方案2符合屬性1的程度，則屬性1下方案間的成對比較矩陣P如下 • 矩陣Q為考慮屬性2下三方案間的成對比較矩陣 • 矩陣R為考慮屬性3下三方案間的成對比較矩陣 • 根據相同的操作程序可建立P 、 Q 、 R三個成對比較矩陣 簡禎富

45. AHP模式與步驟 3.計算特徵值與特徵向量 建立相對權重 方案成對比較 • 成對比較矩陣特徵向量ωP= [ωp1ωp2ωp3]Tωp1,ωp2 , ωp3為考慮屬性1下，方案1、2與3分別之相對評估值。 • 三個屬性可分別建立各個屬性下的P, Q, R成對評分矩陣，並分別求取特徵向量如下 評分矩陣 • 特徵向量可反應出三個方案在各個屬性下的相對價值，且其總和為1。 簡禎富

46. AHP模式與步驟 4.方案成對比較的一致性 建立相對權重 方案成對比較 • 根據一致性指標C.I.值定義，使用評估矩陣的三個成對比較矩陣求得之最大特徵值，分別驗證三個成對比較矩陣P,Q,R的一致性 • 一致性比率C.R. ≤ 0.1時，成對比較矩陣才符合一致性的要求 • 各層級與整個層級結構都要通過一致性檢定。 簡禎富

47. AHP模式與步驟 加總模式與方案總排序 建立相對權重 • 線性加總模式：將評分矩陣ω與權重矩陣W做內積，即可計算每個方案的綜合評分，並據以作為總排序之結果 簡禎富

48. 加總模式與方案總排序 • 在各層級要素間的權重ωij計算後，便可進行整個層級權重Wi的計算。 • 最後依各替代方案之加權數高低來決定最終的選擇方案。 替代方案 j 的總加權值＝ 其中，i = 1…n，共有n個決策因素(屬性) j = 1…m，共有m個替代方案 Wi =表示第i個決策因素(屬性)之權重 ωij =表示第j個替代方案第i個因素(屬性)所獲得的評估值 吳萬益

49. 大學評比 教學績效 研究績效 服務績效 大學 A 大學 B 大學 C 層級權重實例1 • 大學經營愈來愈競爭，在選擇進入大學就讀時必然可以找到一些指標進行評比。 僅兩個層級 (n=3) (m=3) (方案) 大學評比層級分析結構圖 吳萬益

50. 層級權重實例說明 將層級分析結構圖中的決策因素 (教學績效、研究績效、服務績效) 作交叉比較以決定權數，其結果如表所示：(填表說明：若將「研究績效」與「教學績效」相比，決策者認為「研究績效」比「教學績效」重要，且重要等級為3，則在表中填入3。) 表、決策因素(屬性)交叉比較與權數 各層級與整個層級結構都要通過一致性檢定 吳萬益