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§4 实对称矩阵的 对角化

§4 实对称矩阵的 对角化. 定理: 设 l 1 , l 2 , …, l m 是方阵 A 的特征值, p 1 , p 2 , …, p m 依 次是与之对应的特征向量,如果 l 1 , l 2 , …, l m 各不相同,则 p 1 , p 2 , …, p m 线性无关. ( P.98 定理 1 ). 可逆矩阵 P ,满足 P − 1 AP = L (对角阵). ?. 矩阵 P 的 列向量组 线性无关. AP = P L. Ap i = l i p i ( i = 1, 2, …, n ).

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§4 实对称矩阵的 对角化

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Presentation Transcript


  1. §4实对称矩阵的对角化

  2. 定理:设 l1, l2, …, lm是方阵 A的特征值, p1, p2, …, pm 依 次是与之对应的特征向量,如果 l1, l2, …, lm各不相同,则 p1, p2, …, pm线性无关. (P.98定理1)

  3. 可逆矩阵P,满足 P −1AP = L (对角阵) ? 矩阵P 的 列向量组 线性无关 AP = PL Api = lipi (i = 1, 2, …, n) (A−li E) pi = 0 对应的 特征向量 A的 特征值 其中

  4. 定理:设 l1, l2, …, lm是方阵 A的特征值, p1, p2, …, pm 依 次是与之对应的特征向量,如果 l1, l2, …, lm各不相同,则 p1, p2, …, pm线性无关.(P.98定理1) 定理: n 阶矩阵 A和对角阵相似(即 A 能对角化)的充分 必要条件是 A有 n 个线性无关的特征向量.(P.101定理4) 推论:如果 A有 n 个不同的特征值,则 A和对角阵相似. 说明:当 A 的特征方程有重根时,就不一定有 n 个线性无关 的特征向量,从而不一定能对角化.(P.96例4)

  5. 定理:设 l1, l2, …, lm是方阵 A的特征值, p1, p2, …, pm 依 次是与之对应的特征向量,如果 l1, l2, …, lm各不相同,则 p1, p2, …, pm线性无关.(P.98定理1) 定理:设 l1 和 l2是对称阵 A的特征值, p1, p2是对应的特 征向量,如果 l1 ≠l2,则 p1, p2正交.(P.105定理2) 证明: Ap1= l1 p1,Ap2= l2p2, l1 ≠l2 l1 p1T= (l1 p1)T = (Ap1)T = p1T A T=p1T A (A 是对称阵) l1 p1Tp2 =p1T Ap2 = p1T(l2p2) = l2 p1Tp2 (l1 − l2) p1Tp2 = 0 因为l1 ≠l2,则 p1Tp2 = 0,即 p1, p2正交.

  6. 定理: n 阶矩阵 A和对角阵相似(即 A 能对角化)的充分 必要条件是 A有 n 个线性无关的特征向量. (P.101定理4) 推论:如果 A有 n 个不同的特征值,则 A和对角阵相似. 说明:当 A 的特征方程有重根时,就不一定有 n 个线性无关 的特征向量,从而不一定能对角化. 定理:设A 为 n 阶对称阵,则必有正交阵 P,使得 P−1AP = PTAP = L, 其中 L是以 A的 n个特征值为对角元的对角阵(不唯一). (P.105定理3)

  7. 定理: n 阶矩阵 A和对角阵相似(即 A 能对角化)的充分 必要条件是 A有 n 个线性无关的特征向量. (P.101定理4) 推论:如果 A有 n 个不同的特征值,则 A和对角阵相似. 说明:当 A 的特征方程有重根时,就不一定有 n 个线性无关 的特征向量,从而不一定能对角化. • 推论:设A 为 n 阶对称阵,l 是 A 的特征方程的 k 重根,则 • 矩阵 A−lE的秩等于n − k, • 恰有 k 个线性无关的特征向量与特征值 l 对应.

  8. 把对称阵 A对角化的步骤为: 求出 A的所有各不相同的特征值 l1, l2, …, ls,它们的重数依次为k1, k2, …, ks(k1 + k2 + … + ks = n). 对每个 ki重特征值 li,求方程组 | A−liE | = 0 的基础解系,得 ki个线性无关的特征向量. 把这 ki个线性无关的特征向量正交化、单位化,得到 ki个两两正交的单位特征向量. 因为k1 + k2 + … + ks = n,总共可得 n 个两两正交的单位特征向量. 这 n 个两两正交的单位特征向量构成正交阵 P,便有 P−1AP = L . L 中对角元的排列次序应于中列向量的排列次序相对应.

  9. 例1:设 ,求正交阵 P,使P−1AP = L对角阵. 解:因为A 是对称阵,所以 A可以对角化. 求得 A的特征值 l1 = l2 =5,l3 = -4 .

  10. 当 l1 =l2 =5时, 解方程组 (A -5E) X= 0. ,得基础解系 , 将 正交化,取 再将 单位化,得

  11. 当 l3 = -4 时, 解方程组 (A+4E) X = 0. ,得 . 再将 单位化,得 令 ,则P为所求正交阵,且 .

  12. 例2:设 ,求 An. 分析: • 数学归纳法 • 因为A 是对称阵,所以 A可以对角化. 求得 A的特征值 l1 = 1, l2 = 5. 下面求满足 P−1AP = Λ的可逆矩阵P.

  13. 下面求满足 P−1AP = Λ的可逆矩阵P. 当 l1 = 1时, 解方程组 (A−E) x = 0 . ,得基础解系 . 将其单位化得 当 l2 = 5 时, 解方程组 (A−5E) x = 0. ,得基础解系 . 将其单位化得

  14. 记 ,则有 故 ,于是得

  15. 作 业 P108 1.(2); P109 5.(2);11.;

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