slide1 n.
Download
Skip this Video
Loading SlideShow in 5 Seconds..
Дополнительные признаки равенства треугольников PowerPoint Presentation
Download Presentation
Дополнительные признаки равенства треугольников

Loading in 2 Seconds...

play fullscreen
1 / 30

Дополнительные признаки равенства треугольников - PowerPoint PPT Presentation


  • 458 Views
  • Uploaded on

Дополнительные признаки равенства треугольников. Серова Наталья Александровна, Мурзина Наталья Викторовна, учителя математики, информатики и ИКТ г.Омск МОУ «Средняя общеобразовательная школа № 16». Для доказательства используются признаки равенства прямоугольных треугольников. Теорема 1.

loader
I am the owner, or an agent authorized to act on behalf of the owner, of the copyrighted work described.
capcha
Download Presentation

PowerPoint Slideshow about 'Дополнительные признаки равенства треугольников' - veda-schultz


An Image/Link below is provided (as is) to download presentation

Download Policy: Content on the Website is provided to you AS IS for your information and personal use and may not be sold / licensed / shared on other websites without getting consent from its author.While downloading, if for some reason you are not able to download a presentation, the publisher may have deleted the file from their server.


- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - E N D - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -
Presentation Transcript
slide1

Дополнительные признаки равенства треугольников

Серова Наталья Александровна,

Мурзина Наталья Викторовна,

учителя математики, информатики и ИКТ

г.Омск МОУ «Средняя общеобразовательная школа № 16»

slide2
Для доказательства используются признаки равенства прямоугольных треугольников.

Теорема 1

Если угол, сторона, противолежащая этому углу, и высота, опущенная на другую сторону, одного треугольника соответственно равны углу, стороне и высоте другого треугольника, то такие треугольники равны.

slide3

С

С1

В1

А1

А

В

Дано: ABC и  A1B1C1, С =  С1, AB = A1B1, высота AH равна высоте A1H1.

Доказать:АВС = А1В1С1

H1

H

slide4
Доказательство:

Прямоугольные  ABH и  A1B1H1 равны по катету и гипотенузе. Значит,  B =  B1. Учитывая, что  С =  С1, имеем равенство  A =  A1. Таким образом, в  ABC и  A1B1C1

AB = A1B1,  A =  A1,  B =  B1.

Следовательно, эти треугольники равны по второму признаку равенства треугольников.

slide5

Теорема 2

Если две стороны и медиана, заключенная между ними, одного треугольника соответственно равны двум сторонам и медиане другого треугольника, то такие треугольники равны.

Теорема 8

slide6
Дано: ABC и  A1B1C1, AC = A1C1, BC = B1C1, медиана СM равна медиане С1M1.

Доказать:АВС = А1В1С1

С

С1

В1

А1

А

В

M1

M

slide7
Доказательство:

Продолжим медианы и отложим отрезки MD = CM и M1D1 = C1M1.Четырехугольники ACBD и A1С1B1D1 — параллелограммы. ACD = A1C1D1 по трем сторонам. Следовательно, ACD =  A1C1D1.

Аналогично,  BCD =  B1C1D1 по трем сторонам. Следовательно,  BCD = B1C1D1.

Значит,  С =  С1 и треугольники ABC и A1B1C1 равны по двум сторонам и углу между ними (по первому признаку равенства треугольников).

чертеж

slide8

С

С1

В1

А1

А

В

M1

M

D1

назад

D

slide9

Теорема 3

Если сторона и две медианы, проведенные к двум другим сторонам, одного треугольника соответственно равны стороне и двум медианам другого треугольника, то такие треугольники равны.

slide10
Дано: ABC и  A1B1C1, AB = A1B1, медианы AM = A1M1, BK = B1K1.

Доказать:АВС = А1В1С1

С

С1

В1

А1

А

В

M1

K1

M

K

O1

O

slide11
Доказательство:

Точки O и O1 пересечения медиан данных треугольников делят медианы в отношении 2 : 1, считая от вершины. Значит,  ABO = A1B1O1 по трем сторонам. Следовательно,  BAO =  B1A1O1, значит,  ABM = A1B1M1 равны по двум сторонам и углу между ними. Поэтому  ABC = A1B1C1.

Аналогично доказывается, чтоBAC = B1A1C1.

Таким образом, треугольники  ABC и  A1B1C1 равны по стороне и двум прилежащим к ней углам. Следовательно, АВС = А1В1С1 равны по второму признаку равенства треугольников.

slide12

Теорема 4

Если две стороны и биссектриса, заключенная между ними, одного треугольника соответственно равны двум сторонам и биссектрисе, заключенной между ними, другого треугольника, то такие треугольники равны.

slide13
Дано: ABC и  A1B1C1, AC = A1C1, BC = B1C1, биссектриса CD равна биссектрисе С1D1.

Доказать:АВС = А1В1С1

С

С1

В1

А1

А

В

D1

D

slide14
Доказательство:

Продолжим стороны AC и A1C1 и отложим на их продолжениях отрезки CE = BC и C1E1 = B1C1 .

Тогда ,

BCE = B1C1E1 по трем сторонам. Значит,  E =  E1 и BE = B1E1.

ABE = A1B1E1 по двум сторонам и углу между ними. Значит, AB = A1B1.

Таким образом,  ABC = A1B1C1 по трем сторонам (3 признак равенства треугольников).

чертеж

slide15

С

С1

В1

А1

А

В

E1

E

D1

D

назад

slide16

Теорема 5

Два треугольника равны, если сторона, медиана и высота, проведенные к другой стороне, одного треугольника соответственно равны стороне, медиане и высоте другого треугольника.

slide17
Дано: ABC и  A1B1C1, AC = A1C1, AC = A1C1, медианы CM и C1M1 равны, высоты CH и C1H1 равны .

Доказать:АВС = А1В1С1

С

С1

В1

А1

А

В

H1

M

H

M1

slide18
Доказательство:

Прямоугольные ACH =A1C1H1 по гипотенузе и катету. Следовательно,  A =  A1 и AH = A1H1. Прямоугольные треугольники  CMH = C1M1H1по гипотенузе и катету. Следовательно, MH = M1H1, откуда AM = A1M1, значит, AB = A1B1. Таким образом,  ABC= A1B1C1 по двум сторонам и углу между ними(по первому признаку равенства треугольников).

slide19

Теорема 6

Два треугольника равны, если медиана и два угла на которые делит угол медиана, одного треугольника соответственно равны медиане и двум углам, на которые делит медиана угол другого треугольника.

slide20

Дано: ABC и  A1B1C1, BM=B1M1, ABM=A1B1M1, CBM=C1B1M1.

Доказать:АВС = А1В1С1

B1

B

A1

M1

C

C1

A

M

slide21

B1

B

A

C

A1

M

C1

M1

D1

D

Доказательство:

В данных треугольниках удвоим медианы BM=MD и B1M1=M1D1.

1.ΔAMD= ΔCMB, ΔA1M1D1= ΔC1M1B1 ( по 1 признаку)

Из равенства этих треугольников следуют равенства: AD=BC, A1D1=B1C1и ADM= CBM, A1D1M1= C1B1M1

2. ΔABD= ΔA1B1D1 ( по 2 признаку)

Из равенства этих треугольников следуют равенства: AB=A1B1, а значит, BC=AD=B1C1=A1D1

3. ΔABC= ΔA1B1C1 ( по первому признаку равенства треугольников)

slide22

Теорема 7

Два треугольника равны, если сторона, и две высоты, опущенные на две другие стороны, одного треугольника соответственно равны стороне и двум высотам, опущенным на две другие стороны другого треугольника.

slide23
Дано: ABC и  A1B1C1, AB = A1B1, высота AM равна высоте A1M1, высота BK равна высоте B1K1.

Доказать:АВС = А1В1С1

С

С1

В1

А1

А

В

M1

K1

M

K

slide24
Доказательство:

Из равенства прямоугольных треугольников  AMB = A1M1B1,  BKA =B1K1A1 (по катету и гипотенузе) следует равенство углов:  BAC =  B1A1C1,  ABC =  A1B1C1.

Поэтому  ABC = A1B1C1 по стороне ( AB = A1B1) и двум прилежащим к ней углам(по второму признаку равенства треугольников).

slide25

Теорема 8

Два треугольника равны, если три медианы одного треугольника соответственно равны трем медианам другого.

slide26
Дано: ABC и  A1B1C1, медианы AK = A1K1, BL= B1L1, CM = C1M1.

Доказать:АВС = А1В1С1

С

С1

В1

А1

А

В

L1

K1

K

L

O1

O

M1

M

slide27
Доказательство:

Пусть O и O1 — точки пересечения медиан данных треугольников. Заметим, что медианы OM и O1M1 треугольников ABO и  A1B1O1 равны, так как они составляют одну третью часть соответствующих медиан данных треугольников.Аналогично равны АО И А1О1, ВО и В1О1, так как они составляют две третьихсоответствующих медиан данных треугольников.

По признаку равенства треугольников, доказанному нами под номером 2,  ABO = A1B1O1, значит, AB = A1B1.

Аналогично доказывается, что BC = B1C1 и AC = A1C1.

Таким образом,  ABC и  A1B1C1 равны по трем сторонам ( по третьему признаку равенства треугольников) .

slide28

Теорема 9

Два треугольника равны, если три высоты одного треугольника соответственно равны трем высотам другого треугольника.

slide29
Дано: ABC и  A1B1C1, AB = A1B1, высоты AH = A1H1, BG = B1G1, CF = C1F1.

Доказать:АВС = А1В1С1

С

С1

В1

А1

А

В

G1

G

H

H1

F1

F

slide30
Доказательство:

Обозначим стороны треугольников соответственно a, b, c и a1, b1, c1, а соответствующие высоты ha, hb, hc и h1a, h1b, h1c.

Имеют место равенства aha = bhb = chc и a1h1a = b1h1b = c1h1c. Разделив почленно первые равенства на вторые, получим равенства

из которых следует, что треугольники ABC и A1B1C1 подобны. А так как соответствующие высоты этих треугольников равны, то они не только подобны, но и равны.