统计学习理论和 SVM( 支持向量机 )

统计学习理论和SVM(支持向量机)

主要内容 • 统计学习理论的核心内容 • 支持向量机 • （1）标准的最优分类面 • （2）广义最优分类面 • （3）变换到高维空间的支持向量机 • 感受

统计学习理论的核心内容

统计学习理论是小样本统计估计和预测学习的最佳理论。统计学习理论是小样本统计估计和预测学习的最佳理论。假设输出变量Y与输入变量X之间存在某种对应的依赖关系,即一未知概率分布P(X,Y)，P(X,Y)反映了某种知识。学习问题可以概括为:根据l个独立同分布( independently drawn and identically distributed )的观测样本train set，

学习到一个假设H=f(x, w) 作为预测函数,其中w是广义参数.它对P(X,Y)的期望风险R(w)是(即统计学习的实际风险)：

而对train set上产生的风险Remp(w)被称为经验风险(学习的训练误差): 首先Remp(w)和R(w)都是w的函数，传统概率论中的定理只说明了(在一定条件下)当样本趋于无穷多时Remp(w)将在概率意义上趋近于R(w)，却没有保证使Remp(w)最小的点也能够使R(w)最小(同步最小)。

根据统计学习理论中关于函数集的推广性的界的结论，对于两类分类问题中的指示函数集f(x, w)的所有函数(当然也包括使经验风险员小的函数)，经验风险Remp(w)和实际风险R(w)之间至少以不下于1-η(0≤η≤1)的概率存在这样的关系:

h是函数H=f(x, w)的VC维, l是样本数.

一般的学习方法(如神经网络)是基于 Remp(w) 最小,满足对已有训练数据的最佳拟和,在理论上可以通过增加算法（如神经网络）的规模使得Remp(w) 不断降低以至为0。但是,这样使得算法（神经网络）的复杂度增加, VC维h增加,从而φ(h/l)增大,导致实际风险R(w)增加,这就是学习算法的过度拟和(Overfitting).

支持向量机 Support Vector Machines

支持向量机比较好地实现了有序风险最小化思想(SRM)支持向量机比较好地实现了有序风险最小化思想(SRM)

如上图的训练样本,在线性可分的情况下,存在多个超平面(Hyperplane) (如 : H1,H2….)使得这两类被无误差的完全分开。这个超平面被定义为：其中W．Ｘ是内积（ dot product ），b是标量。。

Optimal Hyperplane （最优超平面）是指两类的分类空隙最大，即每类距离超平面最近的样本到超平面的距离之和最大。距离这个最优超平面最近的样本被称为支持向量（Support Vector）。

Margin = …..(1) H1平面： H2平面： …..(2)

求解最优超平面就相当于，在(2)的约束条件下,求(1)的最大值 Minimum: Subject to:

广义最优分类面 • 在线性不可分的情况下，就是某些训练样本不能满足式(2)的条件，因此可以在条件中增加一个松弛项ζ，约束条件变成 :

此时的目标函数是求下式的最小值: 这个二次优化，同样可以应用Lagrange方法求解

变换到高维空间的支持向量机 • 采用如下的内积函数：

判别函数成为：

感受 • 理论基础扎实 • 应用领域很广 • 地名识别 • 鲁棒性强 • …………

Thank! 2003-4-18

统计学习理论和 SVM( 支持向量机 )

统计学习理论和 SVM( 支持向量机 )

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