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L3i (Informatique, Image, Interaction) Université de La Rochelle – France contact : cyril.faucher@univ-lr.fr http://l3i.univ-larochelle.fr/Faucher-Cyril.html. Modélisation d’événements composites répétitifs, propriétés et relations temporelles. Soutenance de Thèse 13 décembre 2012

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mod lisation d v nements composites r p titifs propri t s et relations temporelles

L3i (Informatique, Image, Interaction)

Université de La Rochelle – France

contact : cyril.faucher@univ-lr.fr

http://l3i.univ-larochelle.fr/Faucher-Cyril.html

Modélisation d’événements composites répétitifs, propriétés et relations temporelles

Soutenance de Thèse

13 décembre 2012

CyrilFaucher

directeur: Jean-YvesLafaye

encadrant : Frédéric Bertrand

Septembre 2009 – Décembre 2012

Université de La Rochelle

EcoleDoctorale S2IM

SpécialitéInformatique et Applications

PRES Limousin Poitou-Charentes

Travauxfinancés par l’AgenceNationale de la Recherche

ANR-Contint, projetRelaxMultiMedias 2

contexte
Contexte
  • Proposer un cadre conceptuel et des outils pour modéliser, structurer et manipuler la connaissance concernant des événements culturels, touristiques et sportifs gérés par des agences de presse
  • Dépêches en texte naturel annonçant des événements : sorties cinéma, théâtres, expositions, etc

2

probl matique g n rale
ProblématiqueGénérale

Sources

Utilisateur

Evénement

Saisie

Interrogation

Visualisation

Métamodèle

IDM - DSL

TAL

Dépêches

Persistance

Interopérabilité

Standards/normes

probl matique g n rale1
ProblématiqueGénérale
  • Expressions en intension / extension [Carnap 47]

Evénement

Temporel

Temporel

Structurel

Structurel

Ponctuel

19/11/2012 10:00-12:00

Expression en

Extension

Répétitif

19/11/2012 10:00-12:00

20/11/2012 10:00-12:00

21/11/2012 10:00-12:00

22/11/2012 10:00-12:00

23/11/2012 10:00-12:00

24/11/2012 10:00-12:00

25/11/2012 10:00-12:00

Le 19ème jour du 11ème mois de la 12ème année du 21ème siècle …

Expression en

Intension

Tous les jours de 10h à 12h sauf le dimanche …

Conserver la sémantique de la répétition

probl matique ev nements composites r p titifs
Problématique Evénements composites répétitifs

2011

temporel

tous les ans

en juillet

du 12 au 16 juillet 2011

du 11 au 15 juillet 2012

sous-événements

structurel

probl matique relations temporelles entre v nements
Problématique Relations temporelles entre événements
  • Raisonnement / Interrogation
    • L’utilisateur veut connaître :
    • « Quels sont les musées ouverts le lundi ? »
    • L’événement a pour propriété temporelle
  • Relations topologiques/qualitatives entre événements répétitifs
    • « débute avec » (beginswith), « se déroule pendant » (during), « recouvre » (overlaps)

Le musée est ouvert tous les jours de 9h à 18h, sauf le mardi

Le musée est ouvert tous les jours de 9h à 18h, sauf le mardi

R

ouvert le lundi

Ouverture de 9h30 à 18h le mardi, le mercredi, le vendredi, le samedi et le dimanche

Ouverture de 9h30 à 18h le mardi, le mercredi, le vendredi, le samedi et le dimanche

R

probl matique synth se
ProblématiqueSynthèse
  • Modéliser des événements
    • Structure composite, répétition, relations mutuelles
  • Assurer l’interopérabilité
    • standards, différentes communautés
  • Validation structurelle et sémantique des événements
  • Proposer des concepts pour le raisonnement, l’interrogation
  • Visualiser des données issues des modèles
slide8
Plan

1. Modèles d’événements et de temps existants

2. Métamodèle PTOM (Periodic Temporal Occurrence Metamodel)

3. Relations qualitatives entre événements répétitifs : Allen*

4. Exploitation des modèles d’événements, applications

5. Conclusion et perspectives

mod les d v nements et de temps existants etat de l art

1.

Modèles d’événements et de temps existantsEtat de l’Art
  • Evénements et temps dans les Medias
    • IPTC : EventsML G2 (aspect temporel fondé sur iCalendar)
  • Typologie des événements répétitifs [Terenziani 00, 02]
    • Périodique
    • Apériodique
      • pseudo périodique : « une fois par semaine »
      • intermittent : « régulièrement Tom va courir »
  • Intervalles non convexes

« tous les jours de 10h à 12h »

X

occurrences

19/11/2012 de 10h à 12h

20/11/2012 de 10h à 12h

21/11/2012 de 10h à 12h

mod les d v nements et de temps existants etat de l art1

1.

Modèles d’événements et de temps existantsEtat de l’Art
  • Langue naturelle
    • Projet OGRE (2006) : itérant et modèle itératif
  • TAL : période d’accessibilité[Teissèdreet al. 10, Battistelliet al. 10]
    • Système d’annotation
    • Expression de la répétition
    • Référence au calendrier

« Le musée est ouvert tous les jours de 9h à 18h, sauf le mardi »

mod les d v nements et de temps existants etat de l art2

1.

Modèles d’événements et de temps existantsEtat de l’Art
  • Modélisation orientée objet
    • Patrons de conception [Fowler 03]
      • Snapshot, Effectivity, Temporal Object
    • Profil UML temporel [Cabot et al. 03]
    • Profil UML d’événement [Olivéet al. 06]
  • Raisonnement et contraintes temporelles
    • Logiques Temporelles
    • Lustre
    • Profil OMG UML MARTE (Systèmes TR/E)
  • Modélisation des connaissances : ontologie
    • Event + OWL-Time [Pan et al. 05]
    • Event Model F
slide13
Plan

1. Modèles d’événements et temporels existants

2. Métamodèle PTOM

  • Evénements composites et relations sémantiques
  • Evénements répétitifs

3. Relations qualitatives entre événements répétitifs : Allen*

4. Exploitation des modèles d’événements, applications

5. Conclusion et perspectives

m tamod le ptom ing nierie dirig e par les mod les idm

2.

Métamodèle PTOMIngénierie Dirigée par les Modèles (IDM)
  • Métamodèle
    • Ensemble de concepts pour modéliser un domaine
  • Langage Spécifique à un Domaine (DSL)
    • Métamodèle spécifique à un domaine + une syntaxe concrète
  • Transformation de modèles

Méta-métamodèle

Métamodèle B

(cible)

conforme à

Spécification de la transformation

Métamodèle A

(source)

Modèle B

Interopérabilité

Standards/normes

Programme de la transformation

Modèle A

m tamod le ptom

2.

Métamodèle PTOM
  • Evénement / Occurrence

2011

2012

instance of

instance of

Evénement

instance of

« tous les ans en juillet »

temporel

est une occurrence de

juillet 2011

juillet 2012

m tamod le ptom temporel

2.

Métamodèle PTOMTemporel
  • ISO 19108 (Information géographique)
m tamod le ptom temporel1

2.

Métamodèle PTOMTemporel
  • Règle de périodicité
  • Instants périodiques
    • 5 fois par jour
    • tous les jours
    • tous les 1ers jours
    • tous les 3èmes mois
    • de chaque siècle
  • Intervalles périodiques
    • du 1er jour de chaque mois
    • au 5ème jour de chaque mois
    • du 1er jour de chaque mois
    • au 5ème jour de chaque mois
    • de juillet à août
  • + exceptions
slide19

2.

Métamodèle PTOMRègle de périodicité (rangs)

  • Instants périodiques
    • tous les 1ers jours
    • tous les 3èmes mois
    • de chaque siècle
  • Intervalles périodiques
    • du 1er jour de chaque mois
    • au 5ème jour de chaque mois
    • de juillet à août
m tamod le ptom syntaxe concr te

2.

Métamodèle PTOMSyntaxe concrète
  • Texte contrôlé image des modèles de PTOM
    • Proche du langage naturel
    • Bidirectionnel
  • Validation syntaxique et structurelle
  • Validation sémantique des modèles par ajout de contraintes

Grammaire (Xtext)

m tamod le ptom mod le de calendrier

2.

Métamodèle PTOMModèle de calendrier
  • Réutilisation du métamodèle d’événements répétitifs pour définir : minute, heure, jour, etc

Encapsulation de la sémantique du calendrier

Périodicité entre unités

Modèle du

calendrier Grégorien

Chaque élément du modèle de calendrier est un événement qui possède des propriétés temporelles périodiques

slide22
Plan

1. Modèles d’événements et temporels existants

2. Métamodèle PTOM

3. Relations qualitatives entre événements répétitifs : Allen*

  • Relations d’Allen
  • Relations entre intervalles non convexes
  • Types de relations étendues : Allen*

4. Exploitation des modèles d’événements, applications

5. Conclusion et perspectives

relations qualitatives entre v nements r p titifs relations d allen

3.

Relations qualitatives entre événements répétitifsRelations d’Allen
  • Problématique
    • S’abstraire de la géométrie au profit de la topologie
    • Privilégier les relations qualitatives
  • Relations d’Allen
    • Définition d’un ensemble de 13 relations de base
      • Sémantique forte (avant, après, recouvre)
      • Exhaustives, disjointes deux à deux
      • Engendrent une algèbre A de 213 relations complexes (par union des relations de base)
    • Opérations internes dans A : inversion, composition, intersection
    • Ensemble des relations de base : clos pour l’inversion, non clos pour la composition
        • Sémantique : les relations de A n’ont pas toutes de sens commun
relations qualitatives entre v nements r p titifs relations d allen1

3.

Relations qualitatives entre événements répétitifsRelations d’Allen
  • Codage synthétique et opérationnel [G. Ligozat 91]
  • Structure de treillis (limitée aux relations d’Allen)
    • Ordre partiel entre les relations de base

X

[x1 x2]

Y

2

0

1

3

4

X overlapsY => (0,2)

[y1 y2]

0

1

2

3

4

∏(1,2)

0

1

2

04

14

24

34

44

∏(1,1)

13

03

23

02

12

22

02

12

22

∏(2,1)

01

01

∏(2,2)

00

00

relations qualitatives entre v nements r p titifs relations d allen2

3.

Relations qualitatives entre événements répétitifsRelations d’Allen
  • Composition – Table de transitivité d’Allen - déterministe
    • Ex : d ; M

P

relations qualitatives entre v nements r p titifs relations d allen3

3.

Relations qualitatives entre événements répétitifsRelations d’Allen
  • Composition – Table de transitivité d’Allen - indéterministe
    • Ex : d ; o

p

m

o

b

d

relations qualitatives entre v nements r p titifs extension des relations d allen

3.

Relations qualitatives entre événements répétitifsExtension des relations d’Allen
  • Généralisation aux intervalles non convexes [Ligozat]
    • Généralisation à ∏(p,q)
    • Conservation des propriétés
    • Adaptée aux événements périodiques (répétition d’intervalles convexes)
    • Base pour les problèmes de SAT
  • Exemples en ∏(6,8)

X

X

Code de la relation : (0,1,3,4,12,14)

« Garbage »

Allen*

Y

Y

Code de la relation : (0,1,4,5,8,9)

relations qualitatives entre v nements r p titifs allen

3.

Relations qualitatives entre événements répétitifsALLEN*
  • Allen* - types de relations qualitatives
    • Contexte : langage naturel
    • Nombre important de relations possibles
    • Besoin de nommage
      • Allen donne une terminologie établie
      • Réutiliser le vocabulaire d’Allen
      • Etendre la sémantique d’Allen aux intervalles non convexes
    • Identifier des abstractions (types de relations)
      • Union des relations de base entre intervalles non convexes

X

Y

X meets*Y

X Overlapped_by*Y

X

Y

relations qualitatives entre v nements r p titifs allen1

3.

Relations qualitatives entre événements répétitifsALLEN*
  • Définition de meets*
  • Contrainte selon le codage de Ligozat
    • Relation canonique : injection totale
  • Elément minimal
  • Elément maximal

X

X

X

Y

Y

Y

Min

∏(4,6)

Max

relations qualitatives entre v nements r p titifs allen2

3.

Relations qualitatives entre événements répétitifsALLEN*
  • Non clos pour l’inversion et la composition
    • Clos pour l’inversion pour p=q
  • Non disjoint deux à deux - Concomitance
  • Composition dans Allen*
    • Définition
    • Algorithme de calcul
    • Nécessité de prendre en considération la concomitance

X meets*Y

X met_by*Y

sont conjointement satisfaites

X

Y

relations qualitatives entre v nements allen

3.

Relations qualitatives entre événementsALLEN*
  • Intégration dans PTOM

Modèle du

calendrier Grégorien

slide32
Plan

1. Modèles d’événements et temporels existants

2. Métamodèle PTOM

3. Relations qualitatives entre événements répétitifs : Allen*

4. Exploitation des modèles d’événements, applications

  • Des textes en langage naturel aux modèles PTOM
  • Interrogation
  • Visualisation

5. Conclusion et perspectives

slide33

PTOM-S

RSS

Fnac

L’Equipe

Standard

Corpus

Appli. SimileExhibit

iCalendar

EventsML G2

Relaxnews

Open Data

Relaxnews

AFP

Appli. Web

TKAM Editor

4.

Exploitation des modèles d’événements, applications

Interopérabilité

Transformation

STNL

APM

TAL

APM vers PTOM

Interrogation

SQL

PTOM

Modsea

EMF vers JSON

Instanciation

Visualisation

contexte plate forme relaxmultimedias 2

4.

ContextePlate-forme RelaxMultiMedias 2
  • Chaîne de production d’événements

TAL

Expressions en langage naturel

Modèle de période d’accessibilité

Annotation

IDM

Modèle d’événement

iCalendar

Texte contrôlé

IDM

IDM

IDM

Agendas, interface de visualisation d’événements

slide35

4.

Exploitation des modèles d’événements, applications Plate-forme RelaxMultiMedias 2

  • Expérimentation
  • Jeu de données et résultats
    • http://relaxmultimedia2.univ-lr.fr/ap2tom/benchmark.html

TAL

Expressions en langage naturel

Modèle de période d’accessibilité

Annotation

513 expressions

Transformation de modèles

Validation de la connaissance

IDM

iCalendar

PTOM

IDM

IDM

Texte contrôlé

exploitation des mod les d v nements applications interrogation

4.

Exploitation des modèles d’événements, applications Interrogation
  • Rechercher des événements
    • Grâce à des expressions temporelles en intension
  • Requêtes sur des expressions en extension vs en intension (SQL)
    • Extension vs intension (3,36x + rapide)
    • Validation de l’hypothèse de départ qui consiste à s’appuyer sur la forme intensionnelle

Quels sont les événements

ayant lieu

de 10h à 19h du lundi au vendredi

exploitation des mod les d v nements applications interrogation1

4.

Exploitation des modèles d’événements, applications Interrogation

paramètres

1010 expressions

18424 expressions

résultats

« 10h - 19h - JARDIN D’ACCLIMATATION, Paris 16ème. »

« De 10h à 19h. »

« 10h à 19h du lundi au samedi. »

« De 10h à 19h le lundi et le mercredi. »

Quels sont les événements

ayant lieu

de 10h à 19h du lundi au vendredi

exploitation des mod les d v nements applications visualisation d v nements

4.

Exploitation des modèles d’événements, applicationsVisualisation d’événements
  • Visualiser des événements possédant des propriétés spatio-temporelles
  • MODSEA (MOdelDrivenSimileExhibit Application)

http://relaxmultimedia2.univ-lr.fr/modsea/

exploitation des mod les d v nements applications visualisation d v nements1

4.

Exploitation des modèles d’événements, applicationsVisualisation d’événements
  • Visualiser des événements possédant des propriétés spatio-temporelles
    • Approche IDM pour générer des applications web
    • Séparation des préoccupations
      • Composants graphiques
      • Données
      • Disposition
exploitation des mod les d v nements applications visualisation d v nements2

4.

Exploitation des modèles d’événements, applicationsVisualisation d’événements
  • Visualiser des événements possédant des propriétés spatio-temporelles
    • Approche IDM pour générer des applications web
    • Séparation des préoccupations
      • Composants graphiques
      • Données
      • Disposition
    • Construction du métamodèle de composants graphiques
      • Extraction des propriétés configurables d’une bibliothèque
      • Composition des modèles après extraction
slide41
Plan

1. Modèles d’événements et temporels existants

2. Métamodèle PTOM

3. Relations qualitatives entre événements répétitifs : Allen*

4. Exploitation des modèles d’événements et applications

5. Conclusion et perspectives

conclusion

5.

Conclusion
  • Métamodèle pivot d’événements composites répétitifs (PTOM)
    • Approche objet[Geova(t)’10, CIEL’12]
    • Syntaxe textuelle (grammaire)[AFADL’10]
    • Intégration des normes (ISO 19108, EventsML G2)[TSI’12]
  • Passerelle entre communautés TAL <-> Objet[EKAW’10]
    • Appariement de concepts
    • Transformations de modèles
  • Topologie des relations entre événements répétitifs
    • Allen* : sous-ensemble de relations exprimables en langage naturel
    • Définitions
    • Calcul de la composition
conclusion1

5.

Conclusion
  • Contribution à la validation sémantique d’expressions temporelles[IDM’11]
    • Modélisation PTOM et Allen* du calendrier
  • Exploitation des modèles d’événements et applications
        • Interopérabilité PTOM <-> Standards (iCalendar)[TSI’12]
    • Visualisation d’événements spatio-temporels (MODSEA)[IDM’10, TSI’12]
    • Interrogation (PTOM-S)
    • Validation sur des exemples réels et académiques
      • RelaxMultiMedias 2 : plate-forme de gestion de dépêches événementielles [TSI’12]
      • Réglementation d’activités humaines [JLBS’10]
perspectives

5.

Perspectives
  • Raisonnement
    • Traduction de PTOM vers des logiques de description et des langages de règles
    • Interface avec des environnements dédiés (logiques temporelles, langages d’horloges et outils SAT)
  • Interrogation
    • Réflexion approfondie sur la granularité
    • Proposition d’algorithmes spécifiques à PTOM et à l’expression intensionnelle
    • Passage à l’échelle (algorithme de raisonnement)
  • Elargir à d’autres communautés
    • Géographie (GDR MAGIS), Droit, Business Process
publications
Publications
  • Revues internationales et nationales
    • JLBS 2010Journal of Location Based Services
    • Faucher C., Tissot C., Lafaye J.Y., Bertrand F., Brosset D., Rouan M., Location- and temporal-based services for nature-society interaction regulation, Special Issue : GeoVA(t) - Geospatialvisualanalytics : focus on time -, Taylor & Francis
    • TSI 2012Technique et Science Informatiques - RSTI
    • Faucher C., Bertrand F., Lafaye J.Y., Teyssou D., Bully M., Une approche fondée sur l’IDM pour le développement d’un environnement de production journalistique, numéro spécial sur l’IDM « vers l’usage industriel », Hermès/Lavoisier
  • Conférences et workshops internationaux
    • EKAW201017th International Conference on Knowledge Engineering and Knowledge Management
    • Faucher C., Teissèdre C., Lafaye J.Y., Bertrand F., Temporal Knowledge Acquisition and Modeling
    • Geova(-t) @ AGILE 2010Geospatial Visual Analytics : Focus on Time
    • Faucher C., Tissot C., Lafaye J.Y., Bertrand F., Benefits of a periodic temporal model for the simulation of human activities
  • Conférences nationales
    • Inforsid 2012(article collectif)
    • Interopérabilité des Systèmes d’Information : approches dirigées par les modèles, section sur l’interopérabilité des données
    • IDM 2011
    • Faucher C., Chea S., Bertrand F., Lafaye J.-Y., Validation sémantique d’objets à l’aide d’un modèle de référence et de contraintes
    • AFADL 201010es Journées sur les Approches Formelles dans l’Assistance au Développement de Logiciels
    • Faucher C., Lafaye J.Y., Bertrand F., Teissèdre C., Modélisation et reformulation d’expressions temporelles extraites de textes en langage naturel
  • Ateliers avec comité de programme
    • CIEL 20121ère Conférence en IngénieriE du Logiciel
    • Faucher C., Lafaye J.-Y., Bertrand F., Modelling composite periodic Events
    • IDM 2010 (atelier IHM)
    • Faucher C., Bertrand F., Lafaye J.-Y., Génération d’un métamodèle de composants graphiques à partir de la spécification d’une bibliothèque de composants Web
  • Articles en cours
    • Chapitre de livre RIG 2012 (dans le cadre de MAGIS)
    • Revue ISI (extension d’Inforsid 2012)
mod lisation d v nements composites r p titifs propri t s et relations temporelles1

L3i (Informatique, Image, Interaction)

Université de La Rochelle – France

contact : cyril.faucher@univ-lr.fr

http://l3i.univ-larochelle.fr/Faucher-Cyril.html

Modélisation d’événements composites répétitifs, propriétés et relations temporelles

Soutenance de Thèse

13 décembre 2012

CyrilFaucher

directeur: Jean-YvesLafaye

encadrant : Frédéric Bertrand

Septembre 2009 – Décembre 2012

Université de La Rochelle

EcoleDoctorale S2IM

SpécialitéInformatique et Applications

PRES Limousin Poitou-Charentes

Travauxfinancés par l’AgenceNationale de la Recherche

ANR-Contint, projetRelaxMultiMedias 2

slide49

2011

sous-événement périodique

(tous les jours à)

sous-événements qui sont des concerts

slide50

Les propriétés temporelles, i.e. : période d’accès et périodicité d’un événement

2013

2012

2011

2014

Constitution d’agenda pour les journalistes

Ces occurrences ne sont pas dans le SGBD

Modélisation

Interrogation

Abstraction en ajoutant une propriété temporelle sur l’événement

Archivée

En cours

Expression en intension vs en extension

ALERTES futures occurrences

Tous les ans en juillet

07/2011, 07/2012, 07/2013, 07/2014

slide51

iCalendar

  • Exception périodique (depuis la dernière version)
  • Multi-règles de périodicité
  • Position relative
slide52

Source : extrait de l'article « La Rochelle : les Francofolies dévoilent leurs têtes d'affiche 2011 » du journal Sud Ouest du 31 janvier 2011

http://www.sudouest.fr/2011/01/31/les-francofolies-devoilent-leurs-tetes-d-affiche-305209-722.php

temporelle

tous les ans

en juillet

du 12 au 16 juillet 2011

du 11 au 15 juillet 2012

structurelle

slide62

Exemples des années bissextiles

    • position relative entre des intervalles récurrents
    • => relation entre des intervalles non-convexes
slide64

Treillis des éléments extrêmes

p < q

p = q

interleaves*

p

q

slide66

Composition : principe de l’algorithme de calcul

    • Ex. : b ; O avec p=2, q=3 et r=4

Y Overlapped_by*Z

Y

Z

X begins*Y

Suppression des relations interdites permanentes et contextuelles

X

Ajout des concomitants des relations obtenues

Composition des éléments (table de transitivité d’Allen)

Recherche des concomitants

Y

  • Résultat final : RES = {m,o,O,d,D,f,F}
slide67

Composition – Algorithme de calcul

  • b ; O avec p=2, q=3 et r=4

X begins*Y

X

Y

Y Overlapped_by*Z

Y

Z

slide68

Variables d’entrée : b ; O avec p=2, q=3 et r=4

  • Recherche des concomitants :
    • (p,q) : concomitants possibles avec T1 et T2
      • {b}
    • (q,r) : concomitants possibles avec T1
      • {m,o,O}
slide69

Variables d’entrée : b ; O avec p=2, q=3 et r=4

  • Recherche des concomitants :
    • (p,q) : concomitants possibles avec T1 et T2
      • {b}
    • (q,r) : concomitants possibles avec T1
      • {m,o,O}
  • Composition des éléments (table de transitivité d’Allen)
    • b ; m -> p
    • b ; o -> p, m, o
    • b ; O -> d, f, O
    • {p, m, o, O, d, f}
slide70

Ajout des concomitants des relations obtenues

    • m -> m, B, D, M, O
    • o -> o, B, D, M, O
    • d -> d
    • f -> f
    • O -> m,D,o,O,F
  • Après complément
    • RES = {m,B,o,O,d,D,f,F}
  • Suppression des relations interdites permanentes
  • Suppression des relations interdites contextuelles (p+q<r)
slide71

Interdits permanents dans la composition R*1 ; R*2 (quelque soit p, q et r)

  • Interdits contextuels dans la composition R*1 ; R*2 (p + q < r)
slide72

Ajout des concomitants des relations obtenues

    • m -> m, B, D, M, O
    • o -> o, B, D, M, O
    • d -> d
    • f -> f
    • O -> m,D,o,O,F
  • Après complément
    • RES = {m,B,o,O,d,D,f,F}
  • Suppression des relations interdites permanentes
    • RES = {m,B,o,O,d,D,f,F}
  • Suppression des relations interdites contextuelles (p+q<r)
  • Résultat final : RES = {m,o,O,d,D,f,F}
slide74

Filtres

      • Retirer les éléments convexes n’étant pas impliqués pas dans la relation canonique
      • Eléments non appariés
      • Le filtre est paramétré par un type de relation
      • Un filtre favorise le passage d’une injection à une bijection
        • Améliore la stabilité
    • Projecteurs
      • Accès à des éléments

Filtre sur meets*

p

x

q

Filtre sur meets*

p

x

q