第三节        同     构
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第三节 同 构. 主要内容. 同构的定义. 同构的性质. 一、同构的定义. 我们来建立欧氏空间同构的概念. 定义 8 实数域 R 上欧氏空间 V 与 V  称为 同. 构 的,如果由 V 到 V  有一个双射  ,满足. 1)  (  +  ) =  (  ) +  (  ) ,. 2)  ( k  ) = k  (  ) ,. 3) (  (  ) ,  (  ) ) = (  ,  ) ,.

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第三节 同 构

主要内容

同构的定义

同构的性质


4236845

一、同构的定义

我们来建立欧氏空间同构的概念.

定义 8实数域 R 上欧氏空间 V与 V 称为同

构的,如果由 V到 V 有一个双射  ,满足

1) ( + ) =  ( ) +  ( ) ,

2) ( k ) = k ( ) ,

3) ( (  ) ,  ( ) ) = (  ,  ) ,

这里 ,  V , k R,这样的映射  称为 V到 V

的同构映射.


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由定义可以看出,如果 是欧氏空间 V到 V

的一个同构映射,那么  也是 V到 V 作为线性空

因此,同构的欧氏空间必有相同的

间的同构映射.

维数.

设 V是一个 n维欧氏空间,在 V中取一组标准

在这组基下,V中每个向量

正交基 1 , 2 , … , n.

 都可表示为

 = x11 + x22 + … + xnn.

 ()= (x1 , x2 , … , xn )  Rn.


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我们知道,这是 V 到 Rn的一个双射,并且适合

上一节

定义中条件 1),2) (第六章第八节) .

说明, 也适合定义中条件 3),因而  是 V 到 Rn

的一个同构映射,由此可知,每个 n维的欧氏空间

都与 Rn 同构 .


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二、同构的性质

性质同构作为欧氏空间之间的关系具有以下

性质:

1) 反身性V与 V自身同构,且其同构映射

为恒等映射;

2) 对称性设 V1与 V2同构, V1到 V2 的同

构映射为  ,则V2与 V1同构,且 V2到 V1 的同构

映射为 -1;


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3) 传递性设V1与 V2同构, V2与 V3同构,

V1到 V2和 V2到 V3的同构映射分别为 1, 2,

V1与 V3同构,且 V1到 V3的同构映射为 21.

既然每个 n维欧氏空间都与 Rn同构,按对称

性与传递性即得,任意两个 n维欧氏空间都同构.

综上所述,就有

定理 3两个有限维欧氏空间同构的充分必要

条件是它们的维数相同.

这个定理说明,从抽象的观点看,欧氏空间的

结构完全被它的维数决定.


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