§2.2 唯一性定理 Uniqueness theorem

1. §2.2 唯一性定理 Uniqueness theorem

2. 唯一性将解决两个问题： （1）要具备什么条件才能求解静电问题 （2）所求的解是否唯一

3. V S 1、静电问题的唯一性定理 （1）有介质存在的情况 把一个区域V找分为许多 小区域Vi，每一个小区域内介 电常数为 ，它是各向同性的。 每一个区域给定电荷分布

4. 已知：①在每个均匀区域中满足 ，即 有几个区域就是几个泊松方程。 ②在各个均匀区域（Vi与Vj）的交界面上， 满足： 此外，要完全确定V内的电场，还必须给出V的边界上的一些条件，唯一性定理将指出需要给出哪些边界条件。

5. 唯一性定理： 设区域V内给定自由电荷分布 在V的边界S上给定 （i）电势 或（ii）电势的法向导数 ，则V内的电场唯一地被确定。即在V内存在唯一的解，它在每个均匀区域内满足泊松方程，在两均匀区域的界面上满足边值关系，并在V的边界S上满足给定的边界条件。

6. 下面采用反证法进行证明： 证明：设有两组不同的解 和 满足唯一性定理的条件，只要求得 即可。 令 在每个均匀区域Vi内有

7. 在两均匀区界面上有 在整个区域V的边界S上有 或者 为了处理边界问题，考虑第i个区域Vi的界面Si上的积分问题，根据格林定理, 对已知的任意两个连续

8. 函数 必有： 令 且

9. 对所有区域求和得到 进一步分析：在两个相邻均匀区域Vi和Vj的界面上 由于和 的法向分量相等，又有 ，因此内部分界面的积分为

10. (这里 ） 因此 故 而在边界面S面上， 从而有

11. 由于 , 而 ,只有 ，要使 成立，唯一地是在V内各点上都有 即在V内任一点上， 。 由 可见， 和 至多只能相差一个常数，但电势的附加常数对电场没有影响，这就是说静电场是唯一的。

12. V S S1 ε ρ S2 （2）有导体存在的情况 讨论区域是导体外空间V， 即V是由导体外表面S1，S2及S 包面所围成的空间，当S在无穷 远处时，所讨论的区域就是导 体外的全空间V。约定： 在无穷远处，电场为零，即在S面上 或者表示成 根据求解电场所需条件的不同，可把问题分为两类：

13. A类问题：已知区域V中电荷分布 ，及所有体的形状和排列；每个导体的电势i都 给定。 B类问题：已知区域V中电荷分布 ，及所有导体的形状和排列；每个导体总电荷Qi都给定。 为了简化分析，假设区域V内除导体外仅有一种均匀介质，我们把去除导体内部以后的区域称为V’，V’的边界包括界面S以及每个导体的表面Si，由于给出了区域V（即V’）内的电荷分布，S面的 或 。

14. 在A类问题中，由于给出了每个导体上的电势，，即给出了V’所有边界上的 或 值。由上面证明了的唯一性定理可知，V’内的电场唯一地被确定。 • 对于B类问题，唯一性定理表述为： • 设区域V内有一些导体，给定导体之外地电荷分布，给定各个导体上的总电荷Qi，以及V的边界S上的或 值，则V内的电场唯一地确定。

15. 或者说，存在唯一解，它在导体以外满足泊松方程或者说，存在唯一解，它在导体以外满足泊松方程 在每个导体上满足总电荷条件 和等势面条件 以及在V地边界上具有给定的 或 。 下面用反证法证B类问题

16. 也设存在两个解 ’ 和 ” ，令＝’－” • 则有 • 令 代入格林公式中，得

17. 因为在导体表面Si处，电势并没有给定，但根据电磁学中的知识，导体在静电平衡时为一等势体。虽然 与 不一定相等，但对同一导体而言， 故可从积分号内提出来，于是

18. 现在分析： 因为 中，Si表示电场中第i个导体的表 面，导体在静电平衡时，在导体外，紧靠导体表面处的场强方向与导体表面垂直，场强的大小与导体表面对应点的面电荷密度成正比，即 从而得到

19. 这样就有 式中 和 都表示第i个导体所带的总电荷，又因为它是给定的，即 故 对每一个导体表面都有此结论。因此得到

20. 所以， ，要使上式成立，必然是 即 由于 ，此常数对电场无影响，所以此时仍说 是唯一的。

21. Q a 2、用唯一性定理解决实际问题 [例1]有一半径为a的导体球，它的中心恰位于两种均匀无限大介质的分界面上，介质的介质常数分别是 与 。若导体球总电荷为Q，求导体球表面处自由电荷分布。

22. 解: 设导体球上下两半球各自带电量为q1和q2 ，则 Q=q1+q2 又因为导体球是等势体，上下半球电势相等，即 另外，总电荷Q一定，无限远处电势为0，故满足唯一性定理条件。

23. 根据唯一性定理，得到 则得

24. 故 即得到： 电荷面密度为：

25. S2 b a S1 [例2]两同心导体球壳之间充以两种介质，左半球介电常数为 ，右半球介电常数为 。设内球壳半径为a，带电荷为Q，外球壳接地，半径为b，求电场和球壳上的电荷分布。

26. 解 : 以唯一性定理为依据来解本题。 a)写出本题中电势 应满足的方程和边值关系以及边界条件 此处的区域V为导体球与球壳之间的空间，边界面有两个，即S1和S2，S1是导体球表面，S2是导体球壳内表面, 边界条件为：在S1上总电量是Q在S2上 在两种介质中，电势都满足Laplace方程，在介质交界面上，电势 连续，电位移矢量的法向分量连续（因为交界面上 ）。

27. 应满足的定解条件为： 现在不论用什么方法，只要求出的点函数 能满足上述条件，那么 就是本题的唯一解。 b) 根据已知的定解条件，找出电势 的解 由于对称性, 选取球坐标, 原点在球心, 直接积分

28. 可求得解，因为 不难看出： 在r=b处：

29. 从而得到 同理，在r=b处： 即得 在两介质的交界面上：

30. 由此得到 A= C 又因为在两介质的交界面上， 与 ，但 都只与r有关，所以 这样， 也满足了Dn连续的条件。 到此为止，在条件中，除了在S1面上总电量为Q外， 也满足了其它全部条件，而 也只剩下一个待定常数A。现在用 必须满足在S1面上总电量等于Q这个条件来确定A，即

32. 故 从而得到： c) 电场和电荷分布情况 根据电势 所得到的结果，有

33. 相应地，有

34. 由此可见 ▲在导体球（r=a）表面上： 可见 ▲在导体球壳内（r=b）处：

35. 也可看出： ▲还可进一步求出束缚电荷（极化电荷）分布： 已知 所以

36. 而极化电荷体密度： 即在两种介质中，极化电荷体密度都为零。 ▲在导体球表面上极化电荷面密度分布：

37. ▲故得到导体球表面上的总电荷 分布： 可见 ▲在两种介质交界面处： 因为 。因而 ，所以 注意： 在前面计算过程中，难得出导体球面上

38. 是常数，但是 或 在每个半球面上虽然都是常数，但 ， ，即 在球面上不是均匀分布的。现在来说明 不能均匀分布的原因。 假定 是均匀分布的，那么由 可见， 在两个半球面上，因 值不同而不同。 导体球内的静电场电 和 共同激发，由于 均匀分布，所以 在球内的电场为零。但 由于非

39. 均匀分布必将导致它在球内的场不为零，这样导体球就不能达到静电平衡。由此可见，要使导体球达到静电平衡， 的分布必须是非均匀的。 