( 函数与极限 )

(函数与极限)

第一章函数与极限 第一节映射与函数一、集合 1、概念具有某种特定性质的事物的总体; 组成这个集合的事物称为该集合的元素. 记作元素a属于集合M, 元素a不属于集合M, 记作

2、集合的表示法 列举法描述法３、集合间的关系

例1 数集 N----自然数集 Z----整数集 Q----有理数集 R----实数集它们间关系:

例2 不含任何元素的集合称为空集，记作例如, 规定空集为任何集合的子集.

4、运算 则设A、B是两集合, 交 “AB” {xxA且xB}   并 “AB” {xxA或xB} 差“A－B” {xxA但xB}  补（余）  I－A （其中I为全集）.

５、其运算律 （1） A B = B  A A  B = B  A （2）(A B)  C = A  (B  C) (A B) = A  (B  C) （3）(A  B)  C = (A  C)  (B  C) (A  B)  C = (A  C)  (B  C) （4）

注: {(x, y)xA 且 yB}  A与B的直积 AB 例如：RR = {(x, y)xR 且 yR} 表示xoy面上全体点的集合 RR常记为 R2

2、区间 是指介于某两个实数之间的全体实数. 这两个实数叫做区间的端点. 称为开区间,

称为闭区间, 称为半开区间, 称为半开区间, 有限区间

无限区间： 区间长度的定义: 两端点间的距离(线段的长度)称为区间的长度.

3、邻域 记作

注意：邻域总是开集。

二、映射 1、概念设X,Y是两个非空集合,如果存在一个法则 f，使得对 X中每个元素x，按法则 f，在Y中有唯一确定的元素y与之对应，则称f 为从X到Y的映射. 记作 f ：X→Y . 其中y称为元素x(在映射f下)的像，记作f(x)，即y=f(x) 元素x称为元素y(在映射f下)的原像集合X称为映射f的定义域,记作Df,即Df=X

X中所有元素的像所组成的集合称为映射 f 的值域，记作 Rf或 f(X)，即注: 1。构成映射的三个要素: 集合X,即定义域Df =X; 集合Y,即值域的范围:Rf Y; 对应法则f,使对每个x∈X,有唯一确定的y=f(x)与之对应.

2。对每个x∈X,元素x的像是唯一的; 而对每个y∈Rf ,元素y的原像不一定是唯一的; 映射f的值域Rf是Y的一个子集, 即Rf Y, 不一定Rf =Y. 但定义域一定等于集合X. f Rf y x X Y x2

例3 设f:R→R,对每个x∈R, f(x) = x2. 显然，f是一个映射，f的定义域Df=R值域Rf = { y | y≥0}, 它是R的一个真子集. 对于Rf中的元素y,除y=0外,它的原像不是唯一的. 如 y = 4的原像就有 x = 2，x = -2两个. 例4 设 X ={(x,y)|x2+y2=1},Y={(x,0)||x|≤1}，f :X→Y,对每个 (x,y)∈X，值域Rf = Y. 在几何上,这个映射表示把平面上一个圆心在原点的单位圆周上的点投影到x轴的区间[-1,1]上.

定义设f是从集合X到集合Y的映射,若Rf=Y,即Y中任一元素y都是X中某元素的像,则称f为X到Y上的映射或满射; 若对X中任意两个不同元素x1≠x2它们的像 f(x1)≠f(x2)，则称f为X到Y的单射(或“如果f(x1)=f(x2)，就有x1=x2)；若映射f 既是单射，又是满射，则称f 为一一映射(或双射).

例4中的映射，既非满射(y =-2，不是X中的某元素的像)，又非单射(x1=2,x2=-2,它们的像相等). 例5的映射不是单射,是满射.(Y[-1,1]表示满射, X:(x =0,y=1)→Y:(0,0) X:(x =0,y =-1) →Y:(0,0))；

映射又称算子，在不同的数学分支中，有不同的映射又称算子，在不同的数学分支中，有不同的惯用名称：从非空集X到数集Y的映射称为X上的泛函. 从非空集X到它自身的映射又称为X上的变换. 从实数集X到实数集Y的映射通常称为定义在X 上的函数.

2.逆映射与复合映射 1）逆映射设f是X到Y的单射,则对每个y∈Rf ,有唯一的x∈X 适合f(x)=y,定义一个新的映射g:Rf→X，对每个y∈Rf , 规定g(y)=x,这x满足f(x)=y. 这个映射g称为f的逆映射, 记作f -1. 定义域Df-1=Rf ,值域Rf-1=X

注：只有单射才存在逆映射. 因为从X→Y对Y要求唯一的,而Y→X又是唯一的, 故只有单射.

2）复合映射 设有两个映射 (Y1 Y2) g: X→Y1, f : Y2→Z 则由g和f 可确定了一个从X到Z的映射,它将每个x∈X映成f [g(x)]∈Z, 这个映射称为映射g和f构成的复合映射, 即记作f · g, f · g: X→Z (f · g)(x)=f [g(x)], x∈X

注 1。映射g和f 构成复合映射的条件: g的值域Rg必须包含在 f 的定义域内, 即Rg Df . 否则, 不能构成复合映射. 2。映射g和f 的复合是有顺序的： f · g有意义并不表示g · f 也有意义.即使f · g与g · f 都有意义,复合映射g · f 和f · g也不一定相同.

例5 f是X到Y上可逆映射的充分必要条件是f为X到Y的双射. 证明: 充分性 (由条件推出结果) 设 f 是X→Y 的双射. 在Y上任一元素y必定存在唯一的x∈X, 使 y = f (x). (1) 从Y →X 的映射f–1: Y →X. (2)

对任何x∈X, 由(1),(2)可得 f –1f (x) = f –1( f (x)) = f –1(y) = x. 即f –1f = Ix 反之. 对任何y∈Y, 由(2), (1)可得 f f –1(y) = f ( f –1(y)) = f (x) = y. 即 f f –1 = Iy

必要性 (由结果推出条件) f 是可逆的,存在 f –1: Y→X 使 f –1f = Ix, f f –1 =Iy 对X中任意两个元素x1, x2, 当 f (x1) = f (x2)时 x1= f –1f (x1) = f –1(f (x1)) = f –1(f (x2)) = f –1f (x2) = x2 f 是单射另一方面, 对任意 y∈Y, y = f f –1(y) = f (f –1(y)) (3) 由(3)我们得到 f (X ) = Y, 则 f 是X→Y 的双射.

例6 设

设数集D R,则称映射 f : D→R为定义在D上的 函数，记作三、函数 1、函数概念定义1 其中 f 是对应规则，D称为函数的定义域，x 叫做自变量，y就是函数(因变量). 全体函数值的集合称为值域： W={y|y = f(x)，x∈D}

例7 y = sin-1(2+x2) 对于任何函数x，都没有按规定与之对应的y值函数定义域不能是空集，所以此例不是函数关系. 例8 x > y 每一个x值有无穷多个y值与之对应函数定义中对应规则要求每一个x值只有一个y值与之对应，所以此例也不是函数关系.

注：x(自变量)， y(函数)，f(对应规则)， D(定义域)， W(值域)这五个要素中, 定义域和对应规则是最重要的两个要素. 如果两个函数的定义域相同，对应法则也相同，则这两个函数是相同的。

注：1。在定义1中, 对于每一个x, 只能有一个y与它对应, 这种函数称为单值函数；否则为多值函数. 多值函数是一个x值对应二个或二个以上的y值. 2。函数的表示方法: 解析法（公式法），图象法和列表法

3。在xoy平面上，当x取遍D上的每一个数值时，就可以得到点(x, y)的一个集合：C ={(x, y)| y = f (x), x∈D}, 这个集合 C 称为函数y = f (x)的图形,其中D, W 分别是函数y=f(x)的定义域和值域. y y = f(x) C(x, y) W y x x D

y x o 例9 函数称为绝对值函数,它的定义域D=R 值域W=[0,+∞)

y x 例10 -1, x < 0 0, x = 0 1, x > 0 称为符号函数,它的定义域D = R, 值域W = {-1,0,1}

例9，例10中的函数要用两个以上的式子表示， 这种在自变量的不同变化范围内，对应法则用不同式子来表示的函数，称为分段函数.

例11 y=[x](x∈R), 表示不超过x的最大整数,称取整函数. 例如 [2.99]=2,[π]=3,[-3.14]= －4. 定义域D=R,值域W =Z,其图形称为阶梯曲线,跃度为1. 例12 定义在[0,1]上的函数它不能用解析法,图象法和列表法来表示,只能用描述法表示 1, 当x为有理数; Dirichlet函数 0, 当x为无理数,

1, |x|≤1; 例13 设函数 f (x) = 求 f (f (x)). 0, |x|>1, 解: 前面的函数值为1, 由定义可知它的函数为1, 后面的函数为0, 由定义可知它为1

2、函数的几种特性 1）有界性如果存在某个常数M，对于一切x∈X，总有f(x)≤M （或 f(x)≥ M），则称函数f(x)在X上有上（下）界M；否则称函数f(x)在X上无界. 注 1。上（下）界不是唯一的

2。若函数f(x)在X上有上界,又有下界则称为有界函数.2。若函数f(x)在X上有上界,又有下界则称为有界函数. 因此若f(x)为X上的有界函数,则必定存在某个正数M，对于一切x∈X，恒有 | f(x)|≤M. 3。有界函数图象的特点是它完全位于平行于x轴的两条直y=±M之间.

常见的有界函数有6个：

例14 函数 f (x) = x/(1+x2)在定义域内为( ) (a)有上界无下界 (b)有下界无上界 (c)有界, 且-1/2≤ f (x)≤1/2 (d)有界, 且-2≤ f (x)≤2 (c)有界, 且-1/2≤ f (x)≤1/2 解:

2）单调性 任意x1< x2, 总有f (x1)≤f (x2) (或f (x1)≥f (x2) ),则称 f (x)是单调递增(减)的. 特别当x1<x2时, 总有f(x1)<f(x2) (或f(x1)>f(x2) ), 则称 f (x)是严格递增(减)的. 满足这些条件的函数,都称为单调函数. 图形是递升(降)的.

3）奇偶性 设函数f(x)的定义域D关于原点对称, 如果对于任意 x∈D, 都有f (-x)= -f (x)（或f (-x)=f (x)）,则称f (x)为奇(偶) 函数. 4）周期性设函数f(x)的定义域D(-∞,+∞),如果存在一个正数 L，使得对于任意x∈D,当x±L ∈D,有f(x)=f(x ±L )，则称f(x)为D上的周期函数. L为它的一个周期.

注 1。函数的周期有无数多个,通常我们说的周期是指最小正周期. 2。如果f(x)的周期为L,则在此函数的定义域内每个长度为L的区间上,函数通图形周而复始地重复出现,即具有相同的形状. 3。判定函数是否周期函数可根据: (1)函数的定义域是有界的,则一定不是周期函数. (2)如果函数是周期函数,则它的零点一定有周期性.

3、反函数 设函数y=f(x),x∈D,值域W=f(D). 若对于W上每一个 y0 ,D上有且只有一个值x0与它对应,即使得f(x0)=y0.这样可以在W=f(D)上确定一个函数, 称为y=f(x)的反函数,记作 x=f-1(y), y∈W=f(D) （或 f -1: y→x; f -1: f(D)→D）注 1。如果x=f -1(y)称为反函数,则y=f(x)称为原函数. 对应规则是一一对应的，定义域和值域、原函数和反函数彼此交换.

2。习惯上,用x表示自变量,用y表示因变量,函数y=f(x) 2。习惯上,用x表示自变量,用y表示因变量,函数y=f(x) 的反函数一般写为y=f -1(x), x∈f(D). 3。互为反函数的两个函数y=f(x)和y=f -1(x)在同一个坐标系中的图象是对称于直线 y = x 的.

4。具有反函数的函数必是单调函数. 因此严格单调函数必有反函数，且严格上升（下降）函数的反函数是严格上升（下降）的. 例如, 由函数y=x2(x ∈R), 解出x=± (y>0), 不是单调的. 而y=x2在x∈(-∞, 0]上严格所以y=x2在R上没有反函数; 但y=x2在x∈[0,+∞)上严递减,它有反函数是严格递减的; 格上升,它有反函数在x∈[0,+∞)上严格递增的.

定理1 严格单调函数必存在反函数,且其反函数具有相同的严格单调性. 5。求反函数的步骤: ① 从y=f(x)中解出x. 得到x=f-1(y) (要求单值,否则认为给定函数在其定义域内没有反函数) ; ② 把字母x, y交换位置,得到反函数 y=f-1(x).

( 函 数与 极 限 )