第 2 章连续系统的时域分析

第2章连续系统的时域分析 系统的数学模型微分方程的经典解法零输入响应冲激响应卷积积分与零状态响应第二章第1讲

则：对于算子方程：其含义是： 2.1 微分算子及其特性 • 定义第二章第1讲

微分算子的主要特性 • 微分算子不是代数方程，而是算子记法的微积分方程。式中算子与变量不是相乘，而是一种变换。 • Ｐ多项式的算子可以像代数量那样进行乘法运算，也可以像代数式那样进行因式分解的运算。第二章第1讲

如：但：但简单的如：但微分算子的主要特性 • 算子方程两边的公共因子一般不允许消去。但在某种情况下公共因子可以消去，如：第二章第1讲

若：，则的根为系统的自然频率或特征根。微分算子的主要特性 • 转移算子： H(p)把激励和响应联系起来，故它可以完整地描述系统。即： • 系统的自然频率(特征根)：第二章第1讲

微分算子的主要特性 • 算子阻抗：引入了算子阻抗后，网络的微分方程可以通过电路分析课程的分析方法列出。如网孔法、节点法、叠加定理、戴维南定理等。对电感： Lp —— 算子阻抗对电容： —— 算子阻抗第二章第1讲

例 2.3 列出电路的微分方程，变量为i2。解：网孔方程为：故，微分方程为：第二章第1讲

举例 求如图所示电路的转移算子：解：用节点方程可求得：第二章第1讲

为特征根 2.2 微分方程的经典解法 • 全响应＝齐次解(自由响应)＋特解(强迫响应) • 齐次解yh(t)：齐次方程（右边为零时）的解写出特征方程，求出特征根(自然频率或固有频率)。根据特征根的特点，齐次解有不同的形式。无重根：有重根: 第二章第1讲

2.2 微分方程的经典解法 • 特解yp(t)： • 根据输入信号的形式有对应特解的形式，用待定系数法确定。在输入信号为直流和正弦信号时，特解就是稳态解。 • 全解（全响应）： • 用初始值确定积分常数。一般情况下，n 阶方程有n 个常数，可用个 n 初始值确定。第二章第1讲

例 2.4 描述某线性非时变系统的方程为试求：当时的全解。解：(1)求齐次解，特征方程为：第二章第1讲

设特解为： 将上式代入原微分方程，得：即：解之：例 2.4 • (2)求特解：比较系数可得：第二章第1讲

自由响应 强迫响应故，全解为：例 2.4 • 全解的通解为：将初始条件代入上式，得：第二章第1讲

由初始值确定 为特征根为特征根由零状态初始值确定全响应=零输入响应+零状态响应 • 零输入响应的求法与齐次解一样 • 零状态响应的求法与求非齐次方程一样第二章第1讲

全响应=零输入响应+零状态响应 • 全响应对积分常数，有第二章第1讲

例 2.5 描述某线性非时变系统的方程为试求：当时的零输入响应和零状态响应。解：(1)零输入响应，特征根为：解得代入初始值，得第二章第1讲

例 2.5 (2)零状态响应：特解求法同例1，将初始条件代入上式，得：第二章第1讲

零输入响应的一般形式 • 设系统为零输入 f(t)=0 时，即 D(p)y(t)=0 • 齐次微分方程：D(p)r(t)=0，特征方程： D(p)=0 • 若无重根： • 若有K阶重根，即：第二章第1讲

解：令得： 代入初值得：解得：故：例 2.6 已知系统的转移算子，初始条件为 , 试求系统的零输入响应 yzi(t)。并画出草图。第二章第1讲

解：令得： 代入初值得：解得：例 2.6 已知系统的转移算子，初始条件为 , 试求系统的零输入响应 yzi(t)。并画出草图。第二章第1讲

关于初始状态的讨论 • 0－状态和 0＋状态 • 0－状态称为零输入时的初始状态。即初始值是由系统的储能产生的； • 0＋状态称为加入输入后的初始状态。即初始值不仅有系统的储能，还受激励的影响。 • 各种响应用初始值确定积分常数的区别 • 在经典法求全响应的积分常数时，用的是 0＋状态初始值。 • 在求系统零输入响应时，用的是 0－状态初始值。 • 在求系统零状态响应时，用的是 0＋状态初始值，这时的零状态是指 0－状态为零。第二章第1讲

关于初始状态的讨论 • 从 0－状态到 0＋状态的跃变 • 当系统已经用微分方程表示时，系统的初始值从0－状态到0＋状态有没有跳变决定于微分方程右端自由项是否包含(t)及其各阶导数。 • 如果包含有(t)及其各阶导数，说明相应的0－状态到0＋状态发生了跳变。 • 0＋状态的确定 • 已知 0－状态求 0＋状态的值，可用冲激函数匹配法。见有关参考资料。 • 求 0＋状态的值还可以用拉普拉斯变换中的初值定理求出，见第5章内容。第二章第1讲

课堂练习题 2-1 已知系统的微分方程为，且初始条件为y(0)=3和y’(0)=4。求系统的自由响应、强迫响应、零输入响应、零状态响应及全响应。并弄清楚几种响应之间的关系。第二章第1讲下一节

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