* 拓展单元二应用数学模型

*拓展单元二应用数学模型模型1欧拉(Euler)四面体问题模型2交通流量的计算模型模型3投入产出分析模型模型4小行星的轨道模型模型5人口迁移的动态分析模型模型6常染色体遗传模型模型7莱斯利(Leslie)种群模型模型8Dürer 幻方

§1 欧拉(Euler)四面体问题 问题：如何用四面体的6条棱长去表示它的体积？解　建立如图所示的直角坐标系．设A，B，C三点的坐标分别为(a1，b1，c1)，(a2，b2，c2)和(a3，b3，c3)，并设四面体OABC的6条棱长分别为l，m，n，p，q，r. 返回上一页下一页

将第二个行列式进行转置后再相乘，得 返回上一页下一页

根据向量的数量积的坐标表示，有 返回上一页下一页

由余弦定理，可得 上式即为欧拉的四面体求积公式 . 返回上一页下一页

例1一块形状为四面体的花岗岩巨石，量得6条棱长分别为例1一块形状为四面体的花岗岩巨石，量得6条棱长分别为 p＝14米，　q＝13米，　r＝11米， l＝10米，　m＝15米，　n＝12米．由此得 V≈195(米3)．返回上一页下一页

§2 　交通流量的计算模型 问题：某城市部分单行街道的交通流量(每小时过车数) 如下图所示．假设：(1)全部流入网络的流量等于全部流出网络的流量；(2)全部流入一个节点(道路交汇处)的流量等于全部流出此节点的流量．试建立数学模型确定该交通网络中未知部分的具体流量．返回上一页下一页

建模与计算　由网络流量守恒的条件假设，所给问题满足如下线性方程组建模与计算　由网络流量守恒的条件假设，所给问题满足如下线性方程组返回上一页下一页

增广矩阵的行最简形矩阵为 返回上一页下一页

取(x5，x8)为自由未知量，分别赋两组值为(1,0)，(0,1)，得齐次线性方程组的基础解系为：取(x5，x8)为自由未知量，分别赋两组值为(1,0)，(0,1)，得齐次线性方程组的基础解系为：其对应的齐次线性方程组为返回上一页下一页

赋值给自由未知量(x5，x8)为(0,0) 原方程组的通解为其对应的非齐次线性方程组为返回上一页下一页

§3 　投入产出分析模型 问题：在一个国家或区域的经济系统中，各部门(或企业)既有投入又有产出．生产的产品满足系统内部各部门和系统外的需求，同时也消耗系统内各部门的产品．应如何组织生产？数学模型：我们将整个经济系统分成n个经济部门． xi (i＝1,2，…，n)表示第i个部门的总产出； yi(i＝1,2，…，n)表示外部对第i个部门的需求； aij(i，j＝1,2，…，n)表示第j个部门生产单位产品需要消耗的第i个部门的产品量； zj(j＝1,2，…，n)表示第j个部门的新创造的价值．返回上一页下一页

用总和号表示可以写成 这个方程组称为产品分配平衡方程组返回上一页下一页

用总和号表示可以写成 这个方程组称为产品消耗平衡方程组返回上一页下一页

如果分别称矩阵A为直接消耗系数矩阵，x为产出向量，y为需求向量，z为新创造价值向量 x＝Ax＋y，或(E－A)x＝y 其中矩阵E为单位矩阵，(E－A)称为列昂季耶夫矩阵. 返回上一页下一页

x＝(E－A)－1y 令 B＝Adiag(x1，x2，…，xn)，D＝(1,1，…，1)B，分别称矩阵B为投入产出矩阵，D为总投入向量，则z＝x－D′. 返回上一页下一页

§4　小行星的轨道模型 问题：一天文学家要确定一颗小行星绕太阳运行的轨道，他在轨道平面内建立以太阳为原点的直角坐标系，在两坐标轴上取天文测量单位，在5个不同的时间对小行星作了5次观测，测得轨道上5个点的坐标数据如下表，试确定小行星的轨道方程. 返回上一页下一页

分析与建模：小行星的轨道为一椭圆 a1x2＋2a2xy＋a3y2＋2a4x＋2a5y＋1＝0. 写成矩阵的形式：Ax＝b，返回上一页下一页

求解这一线性方程组，即可得椭圆方程的系数．求解这一线性方程组，即可得椭圆方程的系数．其中返回上一页下一页

矩阵C的特征值为λ1，λ2，|C|，|D|分别为矩阵C与D的行列式的值．则可得矩阵C的特征值为λ1，λ2，|C|，|D|分别为矩阵C与D的行列式的值．则可得由于太阳的位置是小行星轨道的一个焦点，从而可得到小行星的近日点距离为h＝a－c，远日点距离为 H＝a＋c. 返回上一页下一页

计算求解 使用计算机可求得 (a1,a2,a3,a4,a5)＝(0.614 3,－0.344 0,0.694 2,－1.635 1,－0.216 5) 返回上一页下一页

C的两个特征值为λ1＝0.308 0，λ2＝1.000 5，C的行列式值|C|＝0.308 1. D的行列式值|D|＝－1.8203.于是，椭圆长半轴a＝19.1834，短半轴b＝5.9045，半焦距c＝18.252 1.从而小行星的近日点距离为h＝a－c＝0.9313，远日点距离为H＝a＋c＝37.435 5 返回上一页下一页

§5　人口迁移的动态分析模型 问题：对城乡人口流动作年度调查，发现有一个稳定的朝向城镇流动的趋势：每年农村居民的2.5%移居城镇，而城镇居民的1%迁往农村．现在总人口的60%住在城镇．假设城乡总人口保持不变，并且人口流动的这种趋势继续下去，那么一年以后住在城镇的人口所占总人口比例是多少？两年以后呢？10年以后呢？最终呢？解　设城乡人口总数为N，开始时，农村人口为y0，城镇人口为z0，则 y0＋z0＝N. 于是y0＝0.4N，z0＝0.6N. 返回上一页下一页

设n年以后，农村人口为yn，城镇人口为zn，则一年后的情形是设n年以后，农村人口为yn，城镇人口为zn，则一年后的情形是返回上一页下一页

知矩阵A的两个特征值分别为 ，λ2＝1，返回上一页下一页

从而n年后人口的分布为 返回上一页下一页

父体母体基因型 AAAA AAAa AAaa 后代基因型 AA 1 0 Aa 0 1 aa 0 0 0 §6　常染色体遗传模型问题1　某植物园中的植物的基因型为AA，Aa，aa.人们计划用AA型植物与每种基因型植物相结合的方案培育植物后代．已知双亲体基因型与其后代基因型的概率如下表所示.问：经过若干年后3种基因型分布如何？返回上一页下一页

所以M的特征值为： 于是Mn＝PDnP－1. 返回上一页下一页

显然，当n→∞时，由上述三式得到 an→1，　bn→0，　cn→0，返回上一页下一页

§7　莱斯利(Leslie)种群模型 返回上一页下一页

称为莱斯利矩阵. 用矩阵形式表示为返回上一页下一页

当时，特征方程可变形为 a1λn－1＋a2b1λn－2＋…＋anb1b2…bn－1＝λn. p(λ)＝0等价于q(λ)＝1(当λ≠0时）返回上一页

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§8Dürer 幻方 定义　如果一个4×4数字方，它的每一行、每一列、每一条对角线以及每个小方块上的数字之和均相等且为一确定数，则称这个数字方为Dürer幻方．返回上一页下一页

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