《天体物理中的辐射机制》

研究生课程 《天体物理中的辐射机制》授课教师：吴学兵（北大天文系） http://vega.bac.pku.edu.cn/~wuxb/radiation.htm 2013.11.25.

四、逆Compton散射 • 主要参考： • 尤峻汉书第5章 • Rybicki & Lightman 书第7章 • Shu 书第18章

11月25日复习题 1、何为逆康普顿散射？它在天文学中哪几个电磁波频段起着重要作用？它与康普顿散射有何区别？ 2、何为Thompson散射？写出其沿观测方向单位立体角的辐射功率表示式。Thompson散射的截面和微分散射截面分别如何表示？为何只有低频光子才有Thompson散射？ 3、如入射光子的频率为i，出射光子的频率为，散射角为，试推导Compton散射公式。 4、试写出量子理论给出的Compton散射的微分截面公式(即Klein-Nishina公式)。 5、写出Eddington光度的表示式。中子星附近吸积物质的Eddington光度约为多大？活动星系核中心质量为108太阳质量的黑洞附近的吸积物质的Eddington光度约为多大？ 6. 若相对论电子能量为，则逆Compton散射后光子能量大致变为初始能量的多少倍？ 7.写出逆Compton散射辐射总功率的表示式。并将其与同步辐射总功率表示式相比较。何种情况下逆Compton散射比同步辐射更重要？ 8. 对电子系集体的逆Compton散射，若电子能谱具有幂指数为n的幂律形式，则逆Compton散射的辐射谱亦为幂律形，谱指数为多少？ 9.许多类星体和活动星系核同时发出幂律谱型的非热射电辐射和X射线辐射，物理上常用何种模型来予以解释？试简述其原理。 10、在温度大于多少K的等离子体中，正负电子对的作用必须考虑？写出实验室系中双光子湮灭的能量阈值条件。

四、逆Compton散射(Inverse Compton Scattering，ICS) • 相对论电子和辐射场中光子碰撞后获得加速，引起辐射。这种机制叫Compton辐射，或逆Compton散射。逆Compton散射是X射线和射线天文学中的基本过程。 • Compton散射：高频光子与低速电子碰撞，散射光子损失能量给电子。 • 逆Compton散射：低频光子与相对论电子碰撞，电子转移能量给光子，使散射光子能量增大。

1、经典Tompson散射 • 当频率为的电磁波投射到自由电子上时，电子在电磁波作用下以同样频率作强迫振动，并不断辐射该频率的次波----这种现象称Tompson散射。 • 当电子速度v<<c时，电子运动方程为： • 解为： • 电子沿电场方向作简谐振动，其电偶极矩为： • 电子的受迫振动会引起偶级辐射。

散射波的角分布，即沿单位立体角的辐射功率为：散射波的角分布，即沿单位立体角的辐射功率为：其中，是电子经典半径，是入射波能流， 角是观测方向n与偶级矩d或电矢E之间的夹角。如入射波不是偏振的, 在垂直波传播方向K的平面内无规取向，在0到2间以均等概率取值。

沿观测方向n单位立体角的辐射功率为： 为散射角(散射波与入射波方向间夹角)。对全部立体角积分，可得单位时间内电子向各方向总的散射能量：以上二式称为Tompson散射公式。电子的散射截面：散射截面等于单位时间散射的能量与单位时间流过单位面积的入射波能量之比，

微分散射截面：电子在单位时间沿给定方向单位立体角散射的能量与单位时间通过单位面积的入射波能量之比。微分散射截面：电子在单位时间沿给定方向单位立体角散射的能量与单位时间通过单位面积的入射波能量之比。量子理论中，入射光和散射光被看成光子流，如单位时间通过单位面积的入射光子数为n，入射能流为，如单位时间向各方向散射的光子总数为n’, 则沿各方向散射总功率为，散射截面为：散射截面反映每个入射光子被散射的概率。微分散射截面反映每个入射光子被散射到给定方向的单位立体角中去的概率大小。只当入射光子能量比电子能量小很多时，经典散射公式才适用。只有低频光子才有Tompson散射。

2、Compton散射 当光子能量与电子静能可以比较时，应考虑量子效应，把电子对光波的散射看成电子-光子的碰撞过程。如入射光子动量和能量记为，静止电子的能量为。碰撞后光子动量为，能量为，电子动量为P，能量为W。由能量守恒和动量守恒，可求出： 为散射角(散射光与入射光方向间夹角)。上式为Compton散射公式。散射光频率一般小于入射光，光子损失能量给电子。

量子理论给出Compton散射的微分截面公式： (Klein-Nishina公式) 对积分，得到电子对光子的总散射截面：式中为入射光子能量与电子静能之比，当时，。当入射光子频率极高时，受到电子散射的概率非常小，即散射截面随入射光频率的增加而减小。

当时，，则 其中即为电子Tompson散射的经典截面值。可见是在时的极限值。当，则

3、辐射压 辐射压：当光子被电子散射时，电子受到入射光子施加的力。若入射波在一周期中的平均能密度为，n为光子数密度。平均动量密度则为，单位时间通过垂直于波传播方向的单位面积的动量流为，当入射波通过一散射电子时将在单位时间中损失动量：微分散射截面对角和-对称，即向前与向后两对称方向的散射强度相同，故对非相对论电子，散射波总动量为零。入射波失去的动量为电子所吸收，电子在单位时间吸收的动量即平均辐射力。

若电子密度是，而光子散射的平均自由程是，则波作用于气体的辐射压。若电子密度是，而光子散射的平均自由程是，则波作用于气体的辐射压。因散射截面反比于粒子质量平方，故可只考虑电子的辐射力而忽略质子的辐射力。由于光子平均自由程，故最后得到平面入射波对气体的辐射压强为。对各向同性辐射场，辐射压为： (对热平衡辐射场， ) *辐射压的存在阻碍了在引力影响下物质的吸积过程，限制了靠吸积释放引力能的天体可能具有的最大辐射功率。

吸积过程中，吸积物质落到天体表面时其引力能被转化为辐射能释放出来。吸积过程中，吸积物质落到天体表面时其引力能被转化为辐射能释放出来。吸积是天体物理学中重要的辐射来源！目前原恒星、激变变星、X射线双星、活动星系核与类星体的主要辐射普遍认为主要来自于吸积过程。当辐射压与引力相等时，吸积到达饱和，据此可求出以吸积为辐射能源的天体的极限光度。由于电子和离子所受到的引力和辐射压都不同，它们彼此分开形成感应电场从而阻止正负电荷继续分离，达到平衡态时，电子和离子受力分别为：

令，并略去及其高阶项，可得： i 电子和离子所受净力为：若，吸积过程停止，辐射场的极限能密度为: 利用辐射场能密度与恒星光度间的关系式：可得吸积过程中产生的最大光度(Eddington极限)： 1.3

4、逆Compton散射的辐射功率与辐射谱 • 运动电子与光子的碰撞 • 先在与电子一起运动的“电子静止系”S’中观察电子与光子的碰撞(Compton散射)，Compton公式成立，再利用Lorentz变换由电子静止系S’回到实验室系S，即可导出散射光子频率与入射光子频率关系。在电子静止系S’中，由Compton公式：由电子静止系S’回到实验室系S需用到以下公式：

可得: 此式为Compton公式在电子运动情况下的推广。考虑相对论电子与光子的碰撞，，但仍满足，由当时，，尽管入射光子有各种方向，散射光子总是大体上沿电子运动方向射出，具有很强的方向性。

由于，，因此： 的变动范围是，粗略地说有：这表明：在与相对论电子碰撞后，光子能量可能增加到原来的倍！而电子则损失部分动能，这与Compton散射的情况正好相反，故称为逆Compton散射。由于这一散射，当高能电子在辐射场中穿行时，不断和光子发生碰撞，使每个散射光子能量增大约倍，且沿电子速度方向射出。由于逆Compton散射效应，辐射场中相对论电子不断向前方辐射，有尖锐方向性，辐射频率可达到非常高，所以此机制在X和射线天文学中非常重要。

逆Compton散射的辐射功率 • 电子散射截面为 , 可看成不透明球，当它在能量密度为的辐射场中穿行时，单位时间与光子的碰撞次数为： • 单位时间中电子的能量损耗为： • 严格计算只比上式多一个4/3的因子。 • 从实验室系S到电子静止系S’，时间的变换，频率的变换，角(光传播方向与电子速度方向夹角)变换(光行差公式)：

围绕光传播方向的小立体角元的变换为： 由散射光子数不变可导出强度变换公式：逆Compton散射的辐射功率公式的推导：首先考虑单色定向入射束，再考察其中具有指定散射方向的碰撞。在电子静止系S’中，把单色定向的光子流方向和频率记为及，强度为。

在时间内入射光子被散射到立体角元的数目为( 为光子散射角)：考虑从S’到实验室系S的变换，得到：每个被散射到方向的光子的能量为(假定 )： dt时间内指定散射方向的散射能量为：

对全部散射角及对全部入射频率成分积分，得到电子沿角入射的定向光束的总散射功率：对全部散射角及对全部入射频率成分积分，得到电子沿角入射的定向光束的总散射功率：代表沿角入射的光子束的总强度。对相对论电子，入射光在电子静止系S’中的角度，因此有：

对各向同性辐射场，强度I 实际上与无关， 完成对立体角的积分，即得电子的总散射功率为：严格计算只比定性公式多一个4/3的因子( )。电子的同步辐射功率： (磁场能量密度) 判断哪种辐射机制更主要，只需查看磁场能密度与辐射场能密度之比。

由逆Compton散射的辐射功率可求出相对论电子的寿命为：由逆Compton散射的辐射功率可求出相对论电子的寿命为：对3K微波背景辐射，，电子寿命很长，即ICS对电子能谱几乎没有影响；对类星体，， ICS可能是相对论电子最主要的辐射机制。以上公式只在满足条件的低频范围适用，因只有满足这一条件计算辐射功率时才能采用 Tomson散射截面公式。如考虑相对论电子与高频光子碰撞，则必须采用克莱因-仁科公式给出的量子理论中的微分散射截面公式。

单电子逆Compton散射的辐射谱 • 频率为的入射光子在与电子碰撞后，频率变化范围为0到，因此不再是单色的。 • 求谱功率时，先求单位时间内沿方向入射的频率为的单色定向光子束遭到电子散射后，频率为的散射光子带走的能量。为此需先在电子静止系S’中完成的计算，而后通过Lorentz变换求出实验室系S中的。完成对各种入射光频率及各种方向的积分，即可定出所求的谱功率P()。

对>>1相对论电子, 假定辐射场是各向同性的，得到的结果为：其中，而代表辐射场单位体积中光子的数密度。实际代表电子散射单色入射光(频率为 ) 的无量纲的Compton辐射谱，x为辐射频率与最大频率之比，即无量纲的辐射频率值。在x=0.61处f(x)达到极值0.16, 在 << 时谱功率P()，即在低频端无锐截止。由图可知， Compton辐射谱分布相当弥散。

四、逆Compton散射： 5、电子系集体的逆Compton散射以上已给出一个能量为的电子和光子数密度分布为的各向同性辐射场发生逆Compton散射时的辐射谱。若单位体积中能量为-+d的电子数为N()d, 则单位体积所有电子总的谱功率为：其中假定电子具有幂律能谱：，即可完成以上积分。

可以先固定值，完成对的积分，再对积分。 的下限：由于x<=1,必须；又由于电子能谱特点，下限应取；故对积分时，下限应取和中较大的一个。由于实际关心的是频率较高的辐射，，下限应取。若进一步假定，可近似认为，得到：此即Compton辐射的谱辐射系数，适用于高频端。可见，当电子具有幂律能谱时，Compton辐射谱也为幂律形式，谱指数为(n-1)/2, 与同步辐射谱相同。

若知道辐射场光子数密度的谱分布，即可完成 • 对的积分。 • 如初始辐射场具有黑体谱(Uph(i)=4B (i)/c)，则：是辐射场能密度，代入谱发射系数公式得到：是黎曼函数式中

如初始辐射场是幂律形式的非热谱，则： 求电子总的谱功率时可先完成对的积分，再以积分下限代替，上限近似为无穷大，得到： Compton辐射谱仍保持幂律形式 .

许多活动星系核(AGN)同时发出幂律谱型的非热射电辐射和X射线辐射，物理上常用同步-自Compton模型(SSC;Synchrotron Self-Compton)来解释. 具有幂律能谱的相对论电子先由同步辐射产生低频射电辐射，而后这些电子又与产生的射电光子发生逆Compton散射，产生X射线辐射。

SEDs and model fittings of gamma-ray bright AGNs (Ghisellini et al. 1998)

6、电子对的湮灭(annihilation)与产生(production) • 电子-正电子对湮灭过程，产生双光子。是射线天文学中常见的辐射机制。 • 在电子静止系中观察，能量为的正电子和静止电子的湮灭截面为：在能量很低时(1)，有较大值。在低速极限下，在正电子速度v->0时, 截面发散，湮灭概率仍有限。设电子密度为，每秒电子对湮灭速率为：与静止电子Tompson散射速率相同

在极端相对论情况下(正电子能量>>1)，则： • 高能正电子的湮灭截面很小。 >>1时湮灭截面为0。 • 故高速正电子先通过碰撞电离失去能量而后湮灭。 • 所产生的双光子一般不具有相同频率，在极端相对论情况下，向前方射出的光子几乎带走全部正电子能量，向后方射出的光子能量只近似有的量级。 • 光子产生电子对 • 要产生电子对，光子能量必须不小于，且须有其它粒子(如核子)参与作用。可能产生两种情况： • (1)、入射光子产生电子对，电子再与核子场作用 • (2)、入射光子产生电子对，正电子再与核子场作用

QED给出：在极端相对论情况下，光子能量及产生的电子、正电子能量都远大于时，即，正电子能量在间隔内形成电子对的截面为：QED给出：在极端相对论情况下，光子能量及产生的电子、正电子能量都远大于时，即，正电子能量在间隔内形成电子对的截面为：式中 =1/137是精细结构常数，是电子经典半径，Z 为核的原子序数。可见，产生截面对是对称的。式中忽略了电子对核库仑场的屏蔽作用，只有满足条件时这种忽略才合理。对完全屏蔽情况当时，极端相对论的电子对产生截面公式为：

对所有能量积分可得产生的电子对总数。 极端相对论下不考虑电子屏蔽的积分截面为：极端相对论下考虑电子完全屏蔽的积分截面为：与克莱因-仁科(Klein-Nishina)公式相比， ( ) 电子对产生是高频光子在等离子体中穿行时损失能量的更重要的原因。光子产生电子对及轫致辐射是宇宙线中电子-光子级联簇射的原因(能量极高的光子被吸收后产生高能电子对，它们通过轫致辐射失去部分能量，产生次级光子...)

簇射粒子的极大数的量级是： 是原始电子或光子的能量，对空气。对温度很高的热等离子体(如T108K)，其中就存在由于高温热激发产生的电子对。如在中子星或黑洞吸积盘的内区(处于热平衡的高温等离子体区域)，电子对的数密度为：由于存在电子对，物态方程(单位体积内能和压强)可表示为：内能的第三项即电子对的贡献，当温度很高时甚至超过第二项，此时电子对的作用不能忽视。

电子对必须考虑的临界温度T0由下式估计： ( ) 其中是远离吸积中心天体处的气体初始密度和温度。或其中dM/dt以 yr-1为单位。可见温度相当恒定，总是，几乎不随吸积率而变化。表示电子对的产生会阻止温度的继续升高。在温度下，尽管电子对总量很少，但电子对湮灭对辐射的贡献已很重要。

电子对数密度仅为： 电子对湮灭贡献的发射系数为：在T 温度下，轫致辐射发射系数约为：因此和是同量级的。

双光子湮灭产生电子对过程 • 当能量分别是和的两光子发生碰撞，且满足一定阈值条件时，可能发生双光子湮灭产生电子对的反应(电子对湮灭的逆过程)，即： • QED计算表明，这一过程的反应截面可与高频光子-电子Compton散射截面(Klein-Nishina公式)比较，也可与电子对湮灭的截面比较，因此在射线天文学中不可忽视。 • 在两光子的动量中心参考系(CM-system)S0中，两光子的动量等值而反向，动量和为零。因而两光子的动量(频率)相同，生成的正负电子对的动量和仍为零。即：

在动量中心参考系S0中，非偏振光子湮灭产生电子对的总截面(考虑生成的电子对所有的出射方向后的双光子湮灭截面)为：在动量中心参考系S0中，非偏振光子湮灭产生电子对的总截面(考虑生成的电子对所有的出射方向后的双光子湮灭截面)为：为动量中心参考系S0中电子(或正电子)的速度。如考虑，E0为S0系中电子(或正电子)的能量E-(或E+)。由和由此得到用在动量中心参考系S0中湮灭前光子能量表示的双光子湮灭截面，即：

在非相对论极限下， (即 )，有： 在极端相对论极限下， (即 )，有：或其中为无量纲光子能量值(S0系中)。可见双光子湮灭截面可与高频光子与自由电子的Compton散射截面公式比较，因此不能轻率忽略光子湮灭过程。双光子湮灭的光子能量阈值为：。 S0系中光子能量太高或太低，都会使光子-光子湮灭概率减小。粗略地说，在时湮灭截面最大。

现求在实验室系中的湮灭截面表达式： 若两光子在湮灭前在实验室系S中的能量分别为和，动量分别是和，光子飞行方向和之间夹角为，双光子总动量为。选S系x轴平行于总动量。而在动量中心S0系中，两光子具有相同能量，动量等值反向分别为。因此在实验室系S中，两光子总的能量-动量四矢为：在动量中心系S0中，总的能量-动量四矢为：

能量-动量四矢模值平方( )为一不随参考系变换的标量，故由S系变换到S0系时，有：由关系式由即可给出实验室系S中两光子( )湮灭的截面表示。在实验室系中，双光子湮灭的能量阈值条件变为：

对实验室中两给定光子，如=0或值太小(即两光子同向或近于同向飞行)，则不可能发生碰撞湮灭反应。最小的临界夹角由确定。对实验室中两给定光子，如=0或值太小(即两光子同向或近于同向飞行)，则不可能发生碰撞湮灭反应。最小的临界夹角由确定。如两光子对头碰撞， =，得到：能量阈值条件为：因此，仅当很高能量的光子穿过低频辐射场时 ( )，才最有利于发生双光子湮灭反应。相反，两个能量都很高的光子( )碰撞发生湮灭反应的概率反而非常小(因 )。这就是在射线天文学中经常讨论射线穿过低频辐射场(红外、光学、软X射线场区)时的光子湮灭反应的原因。

现讨论高能光子穿过各向同性辐射的低频光子场情况，场区每点辐射强度值与方向无关。此时角在0--区间等概率随机取值，因此值对角取平均值：现讨论高能光子穿过各向同性辐射的低频光子场情况，场区每点辐射强度值与方向无关。此时角在0--区间等概率随机取值，因此值对角取平均值：为区间( )中的某一中值。对方向取平均后简化的双光子( )湮灭截面公式为：对各向同性低频光子场，cos 的平均值可取为：相当于近似取平均角。

因此可得到如下简化公式： 及简化阈值公式：利用简化的平均值即可得到湮灭截面。在射线天文学中，一高能光子穿过平均频率为的各向同性辐射场区时每秒由于湮灭反应被吸收的概率为：其中表示低频辐射场中平均能量是的光子数密度，而高能光子在低频光子场中的平均自由程为，吸收光深为，其中L是低频光子场的线度。

高能光子在强磁场中被吸收转化为正负电子对 • 高能光子( )穿过强磁场( )时，只要光子飞行方向与磁场B方向间夹角不太小，斜穿磁场的光子将以很大概率被磁场吸收，转化为正负电子对。其吸收系数为：其中是精细结构常数，是磁中子星临界磁场， 是光子与磁场夹角，表示以MeV为单位的光子能量，代表以为单位的磁场强度。

为使高能光子顺利通过强磁场而不被吸收，要求磁场对高能光子光学薄，即，取，，则：。即要求磁场“壁厚”仅1m量级。为使高能光子顺利通过强磁场而不被吸收，要求磁场对高能光子光学薄，即，取，，则：。即要求磁场“壁厚”仅1m量级。许多射线爆能谱中观察到明显的E>10MeV的高能尾巴，这似乎表明射线爆源中没有强磁场存在；或虽有强磁场，但光子飞行方向与磁力线近于平行；或射线和强磁场区不在空间同一区域。

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