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概率论
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Presentation Transcript

  1. 概率论 中南大学数学院 概率统计课程组

  2. §1.3古典概率 • 古典概型 • 设Ω为试验E的样本空间,若 • ①(有限性)Ω只含有限个样本点; • ②(等概性)每个基本事件出现的可能性相等; • 则称E为古典概型。

  3. 古典概型概率的定义设E为古典概型,Ω为E的 • 样本空间,A为任意一个事件,定义事件A的概率为:

  4. 注意: (1) 古典概型的判断方法(有限性 、等概性); (2) 古典概率的计算步骤: ①弄清试验与样本点; ②数清样本空间与随机事件中的样本点数; ③列出比式进行计算。

  5. 例1. 将一颗骰子接连掷两次,试求下列事件的概率: (1)两次掷得的点数之和为8; (2)第二次掷得3点. 解:设 A表示“点数之和为8”事件, B表示“第二次掷得3点”事件.

  6. 所以

  7. 例2 箱中有6个灯泡,其中2个次品4个正品,有放回地从中任取两次,每次取一个,试求下列事件的概率: (1)取到的两个都是次品; (2)取到的两个中正、次品各一个; (3)取到的两个中至少有一个正品.

  8. 解: 设A ={取到的两个都是次品},B={取到的两个中正、次品各一个}, C={取到的两个中至少有一个正品}. (1)样本点总数为62,事件A包含的样 本点数为22, 所以:P(A)=4/36=1/9 P(C)=32/36=8/9

  9. 思考:①若改为无放回地抽取两次呢? ②若改为一次抽取两个呢? (2)事件B包含的样本点数为4×2+2×4=16, 所以:P(B)=16/36=4/9 (3)事件C包含的样本点数为62-2×2=32,

  10. 例 3 一口袋装有 6 只球,其中 4 只白球、2 只红球。从袋中取球两次,每次随机的取一只。考虑两种取球方式: 放回抽样: 第一次取一只球,观察其颜色后放回袋中,搅匀后再取一球。 不放回抽样: 第一次取一球不放回袋中,第二次从剩余的球中再取一球。求:

  11. 8 5 9 6 1 4 2 3 10 7 1)取到的两只都是白球的概率; 2)取到的两只球颜色相同的概率; 3)取到的两只球中至少有一只是白球的概率。

  12. 解:从袋中取两球,每一种取法就是一个基本事件。解:从袋中取两球,每一种取法就是一个基本事件。 设 A= “取到的两只都是白球 ”, B= “取到的两只球颜色相同 ”, C= “取到的两只球中至少有一只是白球”。 有放回抽取:

  13. 无放回抽取:

  14. 例4 有三个子女的家庭,设每个孩子是男是女 的概率相等,则至少有一个男孩的概率是多少? 解:设A表示至少有一个男孩,以H表示某个孩子是男孩。 N(S)={HHH,HHT,HTH,THH,HTT,TTH,THT,TTT} N(A)={HHH,HHT,HTH,THH,HTT,TTH,THT}

  15. 解:N(S)=200, N(1)=[200/6]=33, N(2)=[200/8]=25, N(3)=[200/24]=8 例5 从1到200这200个自然数中任取一个; (1)求取到的数能被6整除的概率; (2)求取到的数能被8整除的概率; (3)求取到的数既能被6整除也能被8整除的概率. (1),(2),(3)的概率分别为:33/200,1/8,1/25

  16. 例 6 某接待站在某一周曾接待过 12 次来访, 已知所有这 12 次接待都是在周二和周四进行 的。问是否可以推断接待时间是有规定的? 解:假设接待站的接待时间没有规定,各来访 者在一周的任一天中去接待站是等可能的,那么,12 次接待来访者都在周二、周四的概率为: 212/712=0.0000003,即千万分之三。

  17. 例7 设有n个人,每个人都等可能地被分配 到N个房间中的任意一间去住( ),求 下列事件的概率:(1)指定的n个房间各有 一个人住;(2)恰好有n个房间,其中各住 一人。

  18. 解 因为每一个人有N个房间可供选择,所以 n个人住的方式共有 种,它们是等可能的。 在第一个问题中,指定的n个房间各有一个人住,其可能总数为n个人的全排列n!,于是

  19. 在第二个问题里,n个房间可以在N个房间中任意选取,其总数有 个,对选定的n个房间,按前述的讨论可知有n!种分配方式,所以恰有n个房间其中各住一个人的概率为

  20. 加法原理:完成一件事情有n类方法,第i类 方法中有 mi种具体的方法,则完成这件事情 共有 种不同的方法. 乘法原理:完成一件事情有n个步骤,第i个 步骤中有 种具体的方法,则完成这件事情 共有 种不同的方法. 补充: 组合记数

  21. 全排列: 可重复排列:从 n个不同的元素中可重复地取出 m个排成一排, 不同的排法有 种。 排列:从 n 个不同的元素中取出 m个 (不 放回地)按一定的次序排成一排不同的排 法共有

  22. 组合: 从 n个不同的元素中取出 m个(不放 回地)组成一组, 不同的分法共有

  23. 重复组合: 从 n 个不同元素中每次取出一个, 放回后再取下一个,如此连续取r次所得的组合称为重复组合,此种重复组合数共有

  24. 例如:两批产品各50件,其中次品各5件,从这两批产品中各抽取1件,例如:两批产品各50件,其中次品各5件,从这两批产品中各抽取1件, (1)两件都不是次品的选法有多少种? (2)只有一件次品的选法有多少种? 解 (1) 用乘法原理,结果为 (2)结合加法原理和乘法原理得选法为:

  25. 休息片刻继续