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二、数字积分法插补

二、数字积分法插补. 数字积分法又称数字微分分析器（ Digital Differential Analyzer, 简称 DDA) 。采用该方法进行插补，具有运算速度快，逻辑功能强，脉冲分配均匀等特点，且只输入很少的数据，就能加工出直线、圆弧等较复杂的曲线轨迹，精度也能满足要求。因此，该方法在数控系统中得到广泛的应用。. （一）数字积分的基本原理 如图：从时刻 t=0 到 t ，函数 Y=f(t) 曲线所包围的面积可表示为： S=∫ f(t)dt 若将 0 ～ t 的时间划分成时间 间隔为 Δt 的有限区间，当 Δt 足够小时，可得公式：

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二、数字积分法插补

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  1. 二、数字积分法插补 数字积分法又称数字微分分析器（Digital Differential Analyzer,简称DDA)。采用该方法进行插补，具有运算速度快，逻辑功能强，脉冲分配均匀等特点，且只输入很少的数据，就能加工出直线、圆弧等较复杂的曲线轨迹，精度也能满足要求。因此，该方法在数控系统中得到广泛的应用。

  2. （一）数字积分的基本原理 如图：从时刻t=0到t，函数Y=f(t)曲线所包围的面积可表示为：S=∫ f(t)dt 若将0～t的时间划分成时间 间隔为Δt的有限区间，当Δt 足够小时，可得公式： S=∫ f(t)dt = ∑ Yi Δt 即积分运算可用一系列微小 矩形面积累加求和来近似。 0 Y t Y=f(t) Yo n-1 0 t i=0 O t T Δt

  3. n-1 若Δt取最小基本单位“1”，则上式可简化为： S=∑ Yi (累加求和公式或矩形公式） 这种累加求和运算，即积分运算可用数字积分器来实现， i=0 被积函数寄存器 存放Y值 Δt + ΔY 累加器（余数寄存器）

  4. 若求曲线与坐标轴所包围的面积，求解过程如下：若求曲线与坐标轴所包围的面积，求解过程如下： 被积函数寄存器用以存放Y值，每当Δt 出现一次，被积函数寄存器中的Y值就与累加器中的数值相加一次，并将累加结果存于累加器中，如果累加器的容量为一个单位面积，则在累加过程中，每超过一个单位面积，累加器就有溢出。当累加次数达到累加器的容量时，所产生的溢出总数就是要求的总面积，即积分值。 被积函数寄存器 存放Y值 Δt + ΔY 累加器（余数寄存器）

  5. 被积函数寄存器与累加器相加的计算方法： 例：被积函数寄存器与累加器均为3位寄存器，被积函数为5，求累加过程。 101 101 101 101 +）000 +）101+）010+）111 101 010 111 100 101 101 101 101 +） 100+）001+）110+） 011 001 110 011 000 经过2 = 8次累加完成积分运算，因为有5次溢出，所以积分值等于5。 ① ① ① ① ① 3

  6. (二)数字积分直线插补 如图:直线段OA，起点位于原点，终点为A(Xe,Ye)，东电沿X、Y坐标移动的速度为Vx、Vy，则动点沿X、Y坐标移动的微小增量为： ΔX=VxΔt ΔY=VyΔt 若动点沿OA匀速移动， V、 Vx、Vy均为常数，则有： V VxVy OA Xe Ye 成立。 Y A(Xe,Ye) V = = =K Vy O Vx X

  7. 因而可以得到坐标微小位移增量为： ΔX=VxΔt=KXeΔt ΔY=VyΔt =KYeΔt 所以，可以把动点从原点 走向终点的过程看作X、Y 坐标每经过一个单位时间 间隔以K Xe、 K Ye进行累加 的过程，则可得直线积分插补 近似表达式为： X= ∑ (K Xe)Δt Y= ∑ (K Ye)Δt Y A(Xe,Ye) V m Vy i=1 m O i=1 Vx X

  8. J Vx(K Xe)(被积函数寄存器) 由此可以得到直线插补的数字积分插补器： + X轴溢出脉冲 ΔX J Rx(累加器) Δt ΔY J Ry(累加器) Y轴溢出脉冲 + J Vy(K Ye)(被积函数寄存器)

  9. m i=1 设经过m次累加，X、Y坐标分别达到终点，则有： X= ∑ (K Xe)Δt =KmXe =Xe Y= ∑ (K Ye)Δt = KmYe = Ye 由该式可知：mK = 1,即 m= 1/K 这样，经过m次累加后，X、 Y坐标分别到达终点，而溢出 脉冲总数即为： X=Xe Y=Ye m i=1 Y A(Xe,Ye) V Vy O Vx X

  10. 确定K的取值： 根据每次增量ΔX、ΔY不大于1，以保证每次分配的进给脉冲不超过1，即需满足： ΔX=K Xe≤1 ΔY=K Ye≤1 其中Xe、Ye的最大允许值受被积函数寄存器容量的限制。假定寄存器有n位，则Xe、Ye的最大允许值为2 – 1。若取K=1/2 、则必定满足： K Xe = 2 – 1 / 2 <1 K Ye = 2 – 1 / 2 <1 由此可定，动点从原点到达终点的累加次数为： m = 1 / K = 2 n n n n n n n

  11. 例：插补第一象限直线OA，起点为O( 0 , 0 ) ，终点为 A ( 5 , 3 )。取被积函数寄存器分别为JVx， JVy，余数寄存器分别为JRx 、JRy ，终点计数器为JE，且都是三位二进制寄存器。试写出插补计算过程并绘制轨迹。 Y A( 5 , 3 ) 3 2 1 4 5 2 3 1 O X

  12. 累加 次数 (Δt） X积分器 Y积分器 终点 计数器 JE 溢出 ΔX 溢出 ΔY 备注 JVx JRx JVy JRy 插补计算过程如下 0 101 000 011 000 000 初始状态 1 101 101 011 011 111 第一次累加 011 2 101 010 1 110 110 JRx有进位， ΔX溢出 3 101 111 011 1 101 JRy有进位， ΔY溢出 001 101 100 4 1 011 100 100 ΔX溢出 5 101 001 1 011 111 011 ΔX溢出 6 101 110 011 010 1 010 ΔY溢出 7 101 011 1 011 101 001 ΔX溢出 ΔX,ΔY同时溢出 JE=0，插补结束 8 1 011 000 1 000 101 000

  13. 加工轨迹如下： Y A( 5 , 3 ) 3 2 1 4 5 2 3 1 O X

  14. 作业： 插补第一象限直线OA，起点为O( 0 , 0 ) ，终点为 A ( 2 , 6 )。取被积函数寄存器分别为JVx， JVy，余数寄存器分别为JRx 、JRy ，终点计数器为JE，且都是三位二进制寄存器。试写出插补计算过程并绘制轨迹。 Y A( 2 , 6 ) 6 5 4 3 2 1 O 2 1 X

  15. 累加 次数 (Δt） X积分器 Y积分器 终点 计数器 JE 溢出 ΔX 溢出 ΔY 备注 JVx JRx JVy JRy • 插补计算过程如下： 0 010 000 110 000 000 初始状态 1 010 010 110 110 111 第一次累加 110 2 010 100 100 1 110 JRy有进位， ΔY溢出 3 010 110 110 1 101 JRy有进位， ΔY溢出 010 010 000 4 1 110 000 1 100 ΔX,ΔY同时溢出 5 010 010 110 110 011 ΔX,ΔY同时无溢出 6 010 100 110 100 1 010 ΔY溢出 7 010 110 110 010 1 001 ΔY溢出 ΔX,ΔY同时溢出 JE=0，插补结束 8 1 110 000 1 000 010 000

  16. 加工轨迹如下： Y A( 2 , 6 ) 6 5 4 3 2 1 O 2 1 X

  17. (三)数字积分圆弧插补 如图所示，设加工半径为R的第一象限逆时针圆弧AB，坐标原点定在圆心上，A(Xo,Yo)为圆弧起点，B(Xe,Ye)为圆弧终点，Pi(Xi,Yi)为加工动点。 Y B(Xe,Ye) Pi(Xi,Yi) A(Xo,Yo) O X

  18. = = = K 如图所示，可以得到： V VxVy R Yi Xi 即Vx=K Yi，Vy=K Xi 因而可以得到坐标微小位移增量为： ΔX=VxΔt=KYiΔt ΔY=VyΔt =KXiΔt 设Δt=1，K=1/2 则有： V Vy Y n B(Xe,Ye) m n Vx X = 1/2 ∑Yi Pi(Xi,Yi) i=1 R m n Y = 1/2 ∑Xi A(Xo,Yo) i=1 O X

  19. m n X = 1/2 ∑Yi i=1 由 可看出，用DDA法进行圆弧插补时，是对加工 动点的坐标Xi和Yi的值分别进行累加，若积分累加器有溢出，则相应坐标轴进给一步，则圆弧积分插补器如图所示： m n Y = 1/2 ∑Xi i=1

  20. J Vx(Y)(被积函数寄存器) 圆弧积分插补器： + X轴溢出脉冲 ΔX J Ry(累加器) Δt ΔY J Rx(累加器) Y轴溢出脉冲 + J Vy(X)(被积函数寄存器)

  21. 例：设圆弧AB为第一象限逆圆弧，起点A（５，0）,终点为B（0,５），用DDA法加工圆弧AB。例：设圆弧AB为第一象限逆圆弧，起点A（５，0）,终点为B（0,５），用DDA法加工圆弧AB。 Y 5 4 3 2 1 O 1 5 X 2 3 4

  22. 累加 次数 (Δt） Y终 点计 数器 X终 点计 数器 X积分器 Y积分器 Jvy (Xi) JVx （Yi) 溢出 ΔX 溢出 ΔY 备注 JRy JRx • 插补计算过程如下： 0 000 000 101 101 000 101 初始状态 1 000 000 101 101 101 101 第一次累加 2 000 000 101 101 010 1 100 ΔY溢出,修正Yi 001 001 001 101 3 101 111 100 ΔX,ΔY无溢出 4 001 010 101 101 100 1 011 ΔY溢出修正Yi 010 5 010 100 101 101 001 1 010 ΔY溢出修正Yi 011

  23. 累加 次数 (Δt） Y终 点计 数器 X终 点计 数器 X积分器 Y积分器 Jvy (Xi) JVx （Yi) 溢出 ΔX 溢出 ΔY 备注 JRy JRx 插补计算过程如下： 6 011 111 101 101 110 010 无溢出 7 011 010 1 100 101 011 1 001 ΔXΔY同时溢出 ,修正Xi,Yi 100 100 无溢出 8 100 110 100 100 111 100 010 9 1 011 100 011 1 000 ΔXΔY同时溢出 ,Y到终点停止迭代 101 011 10 101 111 011 011 11 101 100 1 010 011 ΔX溢出修正Xi 010

  24. 累加 次数 (Δt） Y终 点计 数器 X终 点计 数器 X积分器 Y积分器 Jvy (Xi) JVx （Yi) 溢出 ΔX 溢出 ΔY 备注 JRy JRx • 插补计算过程如下： 12 101 001 1 001 010 ΔX溢出修正Xi 001 无溢出 13 101 110 001 001 14 101 011 1 000 001 ΔX溢出修正Xi X到达终点。结束插补。 000

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