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Matemática Financeira

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1. 2012. Matemática Financeira. Taxas Equivalentes, Efetivas, Nominais e Proporcionais. UNIP – Universidade Paulista ICSC – Instituto de Ciências Sociais e Comunicação Curso de Graduação em Administração.

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Matemática

Financeira

Taxas Equivalentes, Efetivas, Nominais e Proporcionais

UNIP – Universidade Paulista ICSC – Instituto de Ciências Sociais e Comunicação Curso de Graduação em Administração

Prof. Me. Marcelo Stefaniak Aveline

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Prof. Me. Marcelo Stefaniak Aveline

Equivalência de Taxas

Historicamente o cálculo dos juros foi caracterizado por forte presença de taxas compostas anuais. Atualmente, com as grandes variações de taxas e prazos e a marcante presença da inflação, abriu-se espaço para as aplicações de taxas em períodos menores, com recálculos mais freqüentes.

As operações de recálculo das taxas de juros são importantes nas economias inflacionadas para garantir o valor dos ativos financeiros e nas economias estáveis para garantir a confiabilidade da margem de lucro, de difícil recuperação nesse perfil econômico.

Por terem que levar junto suas capitalizações, os cálculos da taxa efetiva no critério composto são mais complexos do que no simples, onde as taxas equivalentes são proporcionais. Atualmente essas dificuldades estão minimizadas pela eficiência das calculadoras modernas que, a um custo baixo, incorporaram grande eficiência e precisão de cálculos.

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Equivalência de Taxas

Os bancos e financeiras desenvolveram esquemas práticos para cálculos em situações corriqueiras, que não atendem a situações de exceção cada vez mais freqüentes, cujos cálculos devem ser específicos. A conseqüência importante dessa situação é uma exigência maior da competência do administrador que gerencia o dia-a-dia das empresas. Quando não se consegue esse desenvolvimento nas escolas as empresas acabam arcando com os custos dessa formação dos seus gerentes financeiros.

Para facilitar nosso trabalho, vamos estabelecer um conceito operacional que será traduzido em uma fórmula aberta que, com pequenas alterações poderão ser aplicadas a todas as situações.

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Equivalência de Taxas

Duas taxas de juros diferentes, referentes a unidades de tempo diferentes, serão equivalentes quando, a partir do mesmo principal, no mesmo prazo, produzirem o mesmo montante.

Aplicação: Qual a importância do conceito de equivalência de taxas compostas?

R.: Esse conceito é muito importante porque nos permite calcular valores em prazos cujas taxas de juros não conhecemos. Existem situações como as de pagamentos parcelados, cujos prazos não podem ser alterados para se adequar à unidade de tempo da taxa de juros.

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Equivalência de Taxas

Para construirmos uma fórmula que relacione duas taxas equivalentes de acordo com o critério do juro composto, vamos fixar as taxas anual e mensal.

ia = taxa unitária anual

im = taxa unitária mensal

Número de períodos: um ano para a taxa anual e doze meses para a taxa mensal.

Aplicando a fórmula do montante composto, teremos:

M = P.(1 + im )12 , para a taxa mensal

M = P.(1 + ia) , para a taxa anual

Repare que para o mesmo prazo de um ano a taxa anual vê um período e a taxa mensal vê doze.

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Equivalência de Taxas

Como, de acordo com o conceito, os montantes e os principais são iguais, teremos:

(1 + im )12 = 1 + ia

Essa fórmula indica que a taxa anual possui doze capitalizações da taxa mensal equivalente.

Equivalências em outros períodos poderão ser calculadas alterando-se, na fórmula, os números de capitalizações correspondentes.

Repare que o número de capitalizações dessa fórmula é obtido através da relação entre os prazos das duas taxas de juros consideradas.

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Equivalência de Taxas

Aplicações: Calcule a taxa composta anual equivalente a 2% a.m.

Solução por aplicação direta da fórmula:

( 1 + im)12 = ( 1 + ia )

(1 + 2÷100)12 = (1 + ia)

1 + ia = 1,268242

ia = 0,268242 ao ano ou 26,82%a.a..

Como fica na HP12C

2 ENTER

100 ÷

1+

12 yx

1-

100 x

26,82

Como fica na HP12C

1 CHS PV

12 n

2 i

FV

1 –

100 x

26,82

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Equivalência de Taxas

A taxa composta semestral equivalente a 3% ao bimestre será: Resposta: 9,27%a.s.

A taxa de juros composta mensal equivalente a 30% a.a. é: Resposta: 2,21%a.m.

3) Um funcionário de uma Financeira recebe uma proposta de financiamento à taxa composta de 2% ao bimestre. Pretendendo pagar através do bônus que recebe ao final do ano, solicita que a dívida seja calculada anualmente. Podemos afirmar que o valor da taxa anual composta que a financeira deverá usar, equivalente a 2% ao bimestre, será: Resposta: 12,62%a.a.

4) Uma empresa financia seu capital de giro a juros compostos de 3% ao mês, fechando seu balanço anualmente. Podemos afirmar que a taxa anual equivalente a 3% ao mês, presente no balanço, será: Resposta: 42,58%a.a.

5) Uma empresa financia seu capital de giro à taxa composta de 36%a.a. Como o controler dessa empresa faz as projeções de caixa mês a mês, necessita da taxa composta mensal equivalente. Podemos afirmar que essa taxa será de: Resposta: 2,60%a.m.

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6) O PIB (produto interno bruto) de um país cresceu 46,9328% em 5 anos. Podemos afirmar que a taxa anual média desse crescimento foi de: Resposta: 8%a.a.

7) Um banco opera sua bandeira de cartões de crédito a juros compostos de 14% ao mês. Como são muitas as operações com prazos menores que um mês, foi preciso calcular a taxa diária equivalente. Considerando mês de trinta dias, podemos afirmar que esse banco deverá aplicar a taxa diária de: Resposta: 0,44%a.d.

8) Uma financeira recebe sua planilha de cálculo dos valores financeiros com a taxa de juros quinzenal (capitalizada a cada quinze dias) de 3%. Para uma planilha quadrimestral, a taxa equivalente deverá ser de: Resposta: 26,68%a.q.

9) Seguindo o esquema da Tabela Price, muito comum em financiamentos, uma financeira afirma utilizar a taxa de juros compostos anual de 12%. Exemplifica mostrando que divide a taxa anual por doze chegando a uma taxa mensal de 1%. Para o cálculo do financiamento essa taxa mensal é capitalizada mensalmente durante doze períodos. Podemos afirmar que a taxa de juros compostos anual que o cliente desse financiamento está pagando efetivamente é: Resposta: 12,68%a.a.

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