浅谈对特征值特征向量的认识

1. 浅谈对特征值特征向量的认识 福建工程学院数理系 项景华

2. 主要内容结构图 线性变换 与函数 特征值特征 向量的概念 特征值特征 向量的直观意义 引言 马尔科夫过程 中的应用 特征值特征 向量的应用 在横梁临界力的 计算中的应用 在其他问题 中的应用概述

3. 引言： 线性代数这门课程是大部分在校大学生的一门公共基础课程，然而很多学生认真学完这门课程之后，对该课程的一些重要的概念的认识大多停留在运算规则（教材上的定义）的层面上，如矩阵的乘法，行列式，方程组的解，线性相关性，矩阵的秩，特征值特征向量等概念。 这种对概念较为单薄的理解（甚至没有实质的理解））阻碍了对整门课程的更深入理解以及学习的兴趣;当学生们自我感觉这门课程学得很好（只是计算和考试很好）的时候，却丝毫未觉察到线性代数强大的工具性性能和深刻的思想光芒。

4. 至于是否存在上述问题（有待调查研究）以及问题的根源不是本文要讨论的内容。至于是否存在上述问题（有待调查研究）以及问题的根源不是本文要讨论的内容。 本文的目的有二：一是对该课程中的特征值和特征向量的概念的描述说说个人的体会；二是谈谈他们的几个简单的应用。 注1：本文只作教学体会的交流之用，所涉及的内容无个人创新性。

5. 1、特征值特征向量的概念 • 1.1 映射.函数.线性变换 • 一元函数 • 二元函数 • 设A是m×n型矩阵， 是n维列向量 • 可见矩阵A和函数f一样也是一种映射，只是更一般空间之间的映射，经常称之为线性变换/线性映射/线性算子等。

6. 矩阵A和函数f都可以看成是空间中元素的变换器：矩阵A和函数f都可以看成是空间中元素的变换器： • x 输入 输出 y • 而变换特征无非是反映在如何改变向量的方向和大小（模长），其完全由变换器（矩阵）A的结构决定。 A(.)

7. 例1 在平面直角坐标系下，将 平面上点作如下变换A: 将每一点 的横坐标放大一倍，纵坐标不变。 (1) (2)对平面的向量 依次作 n次变换A,向量的变换特点是什么？ (3)是否有这样的向量，被A作用 之后得到的新的向量的方向与原 向量同向？若有，其大小有何变化？

8. 1.2特征值特征向量的意义 一、特征值为非负实数 • 当变换矩阵 作用在某非零向量 之后所得到的新的向量与原向量 同方向，大小缩放为原向量的 倍，即 • 则此向量 为A的特征向量，此向量的缩放倍数 为A在此向量方向上的特征值。 ，

9. 注1： 上述特征向量 是变换A作用下保持方向不变性的向 量，特征值 为变换A下的向量 的缩放倍数。 当特征值为1时有： 该特征向量 可以理解为变换A下的不动点。 注2： 与特征向量 共线的所有非零向量 都是A的特征向量，且对应同一个特征值 ，即

10. 二、 特征值特征向量的定义 • 常规定义：A是一n阶方阵，若存在一非零向量 及一数 ，使 ，则称 为A的特征值， 为对应 的特征值。 • 输入 输出 • 变换矩阵A作用于某方向的向量 ，所得向量与原向量 共线（线性相关），此方向即为特征向量的方向。 A(.)

11. 三、举例 • 例2.将平面直角坐标系上的任一向量 绕原点O逆时针旋转 度，此旋转变换对应的变换矩阵 Y 0 X 问：此平面上哪个方向上的向量为此变换的特征向量？ 结论：在实数域内无特征向量

12. y x • 例3.现将一圆盘状生面饼（有弹性）沿某方向放大(拉伸)2倍，使其变为椭圆状面饼，（如右图） 问：1）此变换的特征向量 是在哪些方向上？对应特征值 分别是多少？ 2）此变换对应的变换矩阵A=?

13. 例5.特征值特征向量在二次曲线中的几何意义

14. y1 x2 y2 x1

15. 其他例子： 1.“地球自转一个小时（不考虑公转）”，此变换的 特征向量及特征值。 2.“把门推开”这一变换的特征向量和特征值。

16. 思考：假设社会财富在某一阶段内在不同阶层中的分配的变化看成是一线性变换。若社会财富的初始状态是“两头小中间大” （穷人，中产者，富人）健康稳定型的占有状态，并假设变换的特征向量所在的方向分别代表穷人，中产者，富人所在的方向。 现考虑如下变换的特征值： 1.由于社会实行理想的分配制度，社会财富按原财富占有比例在各个阶层中分配，此变换A的特征值结构 如何？ 2.一个阶段之后，由于分配出现问题，中产 阶层消失了，此变换B的特征值如何？ 3.中产者消失之后，又经历一个阶段的劫贫济富 的分配政策，贫富分化进一步扩大，此阶段的变换 矩阵C的特征值如何？

17. 2.特征值特征向量的应用 2.1应用（一）（为方便，只考虑二维的情形）

18. 例 1 在Markov过程中的应用 在某城镇里，若每年有30%已婚妇女离婚，20%的单身女士结婚，假定该镇总体女士人口数保持不变，现假设有8000已婚女士，2000单身女士，试求： n年后此两类女性人数各为多少?

19. 例2 斐波那契数列的求解

20. 考虑 横梁弯曲的问题将一横梁左端固定在O点，对其右端点施加一向左的水平压力P，当压力增加到一定程度，横梁遍会出现弯曲，当压力达到一新临界点，横梁进一步弯曲，依次类推，设横梁长度为L，并设其沿X轴放置，左端点为原点 ，令 为横梁每一点所在的纵坐标，并假设横梁弯曲程度不大，为方便起见，设 ，则此系统可通过边值问题： 2.2 应用（二） y 来描述。P是作用在横梁右端的水平力，R为横梁的抗挠刚度。 P 0 x L

21. 于是有 因此

22. 结论：通过求A的所有特征值 ，可以算 得横梁每次弯曲的临界力 ，折断的临界 力 。

23. 2.3应用概述 • 尽管特征值和特征向量的数学定义是抽象的，且不管我们认识与否，特征值和特征向量的问题在我们运动变化着的现实和生活中无处不在的事实是客观的。 当我们给吉他调音时，我们就是在解决特征值问题， 当建筑师在研究建筑的结构振动频率时，他们在解 决特征值的问题，而这对地震多发地带是至关重要的， 对这类实际问题，我们说“哪里有震动，哪里就有 特征值问题”，

24. 此外，边值问题的特征值决定着原子的能量状态.此外，边值问题的特征值决定着原子的能量状态. 初值问题的特征值决定着运动的稳定性及运动轨迹. 在图像处理中，在几何造型的细分法中，矩阵的 特征值、特征向量扮演着一个重要的角色。 在各种模式识别中，特征值特征向量是识别的依据。 总之，哪有线性的运动和变化，哪就有描述运动特征的特征值、特征向量。

25. 谢谢！