1 / 66

Задание В4

Задание В4. Решение прямоугольных треугольников. Часть 1. Теорема Пифагора. Прямоугольный треугольник. Теорему Пифагора при - меняют для прямоугольных треугольников, то есть для треугольников у которых один угол равен 90 градусов.

uta
Download Presentation

Задание В4

An Image/Link below is provided (as is) to download presentation Download Policy: Content on the Website is provided to you AS IS for your information and personal use and may not be sold / licensed / shared on other websites without getting consent from its author. Content is provided to you AS IS for your information and personal use only. Download presentation by click this link. While downloading, if for some reason you are not able to download a presentation, the publisher may have deleted the file from their server. During download, if you can't get a presentation, the file might be deleted by the publisher.

E N D

Presentation Transcript

  1. Задание В4 Решение прямоугольных треугольников

  2. Часть 1 Теорема Пифагора

  3. Прямоугольный треугольник • Теорему Пифагора при-меняют дляпрямоугольных треугольников, то есть для треугольников у которых один угол равен 90 градусов. Стороны прямоугольных треугольников имеют названия. • Стороны, которые прилежат к прямому углу - КАТЕТЫ. • Сторона, лежащая напротив прямого угла - ГИПОТЕНУЗА A гипотенуза катет 90° B С катет

  4. Найдите катеты и гипотенузув данных треугольниках В D гипотенуза гипотенуза катет катет K C С Т катет катет P CH- катет СB – катет НВ - гипотенуза C F СР – катет СF – катет PF - гипотенуза B C H

  5. Теорема Пифагора A AB2 = AC2+ CB2 гипотенуза АС - катет катет ВС - катет c B АВ -гипотенуза катет Квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов

  6. А ? ? 3 3 4 4 С В Применение Теоремы Пифагора. Найти гипотенузу по двум катетам АС2 + СB2 = AВ2 К2+ К2 = Г2 32 + 42 =Г2 9 + 16 = Г2 25= Г2 Г= АВ =5

  7. А 10 8 ? В С Применение Теоремы Пифагора.Найти катет по гипотенузе и другому катету ВС2 = АВ2 - АС2 Г2 – К2 = К2 102 – 82 = К2 100 – 64 = К2 36 = К2 К = СВ = 6

  8. ? 1 2 1 ? Применение Теоремы Пифагора • К2 + К2 = Г2 12 + 12 = Г2 1 + 1 = Г2 2 = Г2 Г = • Г2 – К2 =К2 ( )2 – 22 = К2 8 – 4 = К2 4 = К2 К = 2 А АВ = С В А СВ = 2 С В

  9. Упражнения 4 5 ? ? 1 3 2 ? 13 2 12 √6 5 √10 ?

  10. Часть 2 ОПРЕДЕЛЕНИЕСИНУСА, КОСИНУСА ТАНГЕНСА ОСТРОГО УГЛА В ПРЯМОУГОЛЬНОМ ТРЕУГОЛЬНИКЕ

  11. Синус, косинус, тангенс – это дроби, которые описывают величину угла. В числителе и в знаменателе такой дроби стоит длина одной из сторон. • Как разобраться длину, какой стороны надо поставить в числитель или в знаменатель?

  12. Определение косинуса • Просто косинуса не бывает!!!! Косинус описывает величину какого-то угла. Итак, надо, например, найти cos А (т.е. косинус угла А). • Найдем этот угол в треугольнике.Обведем «пожирнее» его стороны. В С А

  13. Определим cos A • Косинус этого угла – это отношение тех сторон, которые обвели. • Это дробь в числитель, которой записана меньшая (из обведенных сторон) , а в знаменатель большая. • Большая сторона треугольни- ка - это гипотенуза( сторона, которая лежит напротив прямого угла) В Гипотенуза AC cos A = AB С А Прилежащий катет

  14. Определим cos В. • Повторяем предыдущий алгоритм. Нашли угол В, обвели его стороны. • Записали дробь в числителе, которая меньшая из обведенных сторон, а в знаменателе большая B прилежащий катет Гипотенуза ВС cos B = АВ C A

  15. Определение синуса • Определим sin A. Обведем стороны углаА. • Синус этого угла - это дробь в числителе, которой та сторона, которую не обвели, а в знаменателе большая из обведенных. B Противолежащий катет Гипотенуза BC sin A = AB A C

  16. Определим sin В. • Повторяем предыдущий алгоритм. Нашли угол В, обвели его стороны. • Записали дробь в числителе, сторона, которую не обвели, а в знаменателе большая из обведенных. B Гипотенуза AC sin B = АВ C A Противолежещий катет

  17. Определение тангенса • Определим tg A. Обведем стороны углаА. • Тангенс этого угла - это дробь в числителе, которой та сторона, которую не обвели, а в знаменателе меньшая из обведенных. B Противолежащий катет BC tg A = AC A C Прилежащий катет

  18. Определим tg В. • Обведем стороны угла В. • Тангенс этого угла - это дробь в числителе, которой та сторона, которую не обвели, а в знаменателе меньшая из обведенных B Прилежащий катет AC tg B = BC C A Противолежещий катет

  19. T C M Найдите sin, cos,tg выделенного угла A D M A D M

  20. Найдите sin, cos,tg выделенного угла C A D C M N

  21. Нaйдите sin, cos, tg выделенного угла T P А H T A P H

  22. Нaйдите sin, cos, tg выделенного угла H A B cos B = BH/BK sin B = HK/BK tg B = HK/BH K cos B = BH/BT sin B = HT/BT tg B = HT/BH T A H B

  23. Два прямоугольных треугольника с общим острым углом • Пусть дан прямоугольный треугольник, в котором проведена высота к гипотенузе. • Угол D общий для ∆АDC и ∆DCH • Синус, косинус и тангенс угла А можно выразить через стороны одного и через стороны другого треугольника D D sin D=CH/CD cos D=DH/CD tg D=CH/DH sin D= AC/AD cos D=DC/AD tg D=CA/DH H H высота A C A C

  24. Найдите sin, cos, tgвыделенного угла R cos R = RC/BR sin R = BC/BR tg R = BC/RC H C B R H cos R = RH/CR sin R = HC/CR tg R = HC/RH C B

  25. Часть 3 I и II тип задач

  26. I тип: найти sin (cos, tg) по двум данным сторонам Как решать: • Выразитьsin (cos, tg) через стороны треугольника по определению • Подставить те стороны, которые даны в задаче • При необходимости найти недостающую сторону по теореме Пифагора

  27. Пример • Выразим sin A через стороны треугольника sin A = BC/AB • AB=25, надо найти ВС, • По теореме Пифагора. • sin A = 20/25=4/5=0,8 AC=15 AB=25 В sin A = ? 25 15 А С

  28. Упражнения A sin B = ? A g A = ? tg 20 25 20 0,75 0,8 С B B C 12 ,7 tg A = ? B B cos A = ? 5 3 10 0,75 0,8 A A C C 8

  29. IIтип: найти сторону треугольника по данному sin (cos, tg) и стороне Как решать: • Выразитьsin (cos, tg) через стороны треугольника по определению • Подставить ту сторону, которая дана • Приравнять к данному значению sin (cos,tg) • Решить пропорцию. • При необходимости найти недостающую сторону по теореме Пифагора

  30. Пример • Выразим cosB через стороны треугольника cosB = CB/AB • BC/13=5/13, значит ВС=5 • надо найти AС, по теореме Пифагора ВС=12 cosB=5/13 В AB =13 AC = ? 13 ? А С

  31. Упражнения cos B = 4/5 B cos A = 0,5 B ? 15 8 25 С A A С 4 ? B cos A =5/13 cos B = 0,8 B 39 21 ? 35 36 С A A С ?

  32. Часть 4 Основное тригонометрическое тождество

  33. sin2 A + cos2 A = 1 • Эта формула позволяет по данному значению синуса острого угла прямоугольного треугольника найти значение косинуса и наоборот • sin A = √ 1 – cos2A • cos A = √1 – sin2A

  34. Применение основного тригонометрического тождества sin A = 3/5 cos A = ? cos A = √1 – (3/5)2 cos A = √1 - 9/25 cos A =√25/25 - 9/25 cos A = √16/25 cos A =4/5 cos A = √13/ 7 sin A = ? sin A =√1 – (√13/7)2 sin A = √1- 13/49 sin A = √49/49 -13/49 sin A = √36/49 sin A = 6/7

  35. Упражнения sin A = 0,8 cos A = ? 0,6 cos A = 0,6 sin A = ? sin A = 12/13 cos A = ? cos A = √7/10 sin A = ? 5/13 √93/10 0,8 sin A = 3/√34 cos A = ? cos A=√91/10 sin A = ? sin A = 5/√41 cos A = ? cos A =5/13 sin A = ? 5/√34 12/13 0,3 4/√41

  36. Часть 5 III тип задач

  37. IIIтип: найти сторону треугольника по данному sin (cos) и стороне Как решать: • Выразитьsin (cos) через стороны треугольника • Подставить ту сторону, которая дана, но такой стороны нет (в этом отличие от второго типа) • По данному значению sin (cos) найти cos (sin) • Выразить найденный cos (sin) через стороны • Подставить ту сторону, которая дана в условии • Приравнять к найденному значению • Решить пропорцию. • При необходимости найти недостающую сторону по теореме Пифагора

  38. Пример • Выразить sin через стороны треугольника • Подставить ту сторону, которая дана, но такой стороны нет • По данному значению sinA найти cosA • Выразить найденный cos через стороны • Подставить ту сторону, которая дана вусловии • Приравнять к найден- ному значению cos • Решить пропорцию: sin A = BC/AB B sin A = 3/5 cos A = √1 – (3/5)2 = 4/5 ? cos A = AC/AB 4 cos A = 4/AB С A 4/5 = 4/AB АВ = 5

  39. Упражнение • sin B = AC/AB • cos B =√1 – (11/14)2 cos B = √1 – 121/196 cos B = √75/14= 5√3/14 • cos B = CB/AB cos B = 10√3 /AB • AB = 28 А sin B =11/14 ? В С 10√3

  40. Проверь себя В В sin A = 0,9 sin A = 3/5 ? ? А 12 С С А √19 ВС = 9 Ответ: Ответ: АВ = 10

  41. Проверь себя В В cos A = 14/15 cos A = 0,4 ? ? А С А С AB =5 Ответ: Ответ: АВ = 30

  42. Часть 6 Свойства равнобедренного треугольника

  43. Равнобедренный треугольник • Равнобедренный треуголь-ник - это треугольник, у которого две стороны равны. • Эти стороны называются боковыми. Третья сторона называется основание. В равнобедренном треугольнике • Углы при основании равны. С Боковая сторона Боковая сторона А основание В

  44. BC - основание CA - основание Упражнения • Укажите в равнобедренных треугольниках основание и равные углы • Важно помнить: основание не обязательнорасполагаетсягоризонтально. C B C A C B A A B AB – основание

  45. Медиана, высота и биссектриса треугольника • Высота треугольника – это отрезок, который соединяет вершину треугольника и точку противоположной стороны и является перпендикуляром к ней. • Медиана треугольника – это отрезок, который соединяет вершину треугольника и середину противоположной стороны. • Биссектриса треугольника – это отрезок, который соединяет вершину треугольника и точку противоположной стороны и лежит на биссектрисе угла, т. е. на луче который делит данный угол пополам. A В С D K H СD - медиана AK - биссектриса BH - высота

  46. Высота, проведенная к основанию в равнобедренном треугольнике • Высота, проведенная к основанию, является медианой и биссектрисой. • Медиана, проведенная к основанию, является высотой и биссектрисой • Биссектриса, проведенная к основанию, является высотой и медианой C AC = CB А B H AH - высота, биссектриса, медиана.

  47. Часть 7 Равнобедренный треугольник, в котором проведена высота

  48. C C H H D A Равнобедренный треугольник, в котором проведена высота к основанию • Высота, проведенная к основанию равнобедренного треугольника, разбивает его на два равных треугольника. • При решении задач вместо данного равнобедренного треугольника можно рассматривать его половину – прямоугольный треугольник. • Фактически решение задачи сводится к решению прямоугольного треугольника (смотри I, II, III тип задач) C A H D

  49. Пример. Задача, сводимая к задаче I типа • Рассмотрим ∆ BAH. Это прямоугольный треугольник, в котором даны две стороны и надо найти косинус угла. Это задача I типа. • Выразим косинус угла через стороны. Подставим данные значения. Очевидно, надо найти AH. • По теореме Пифагора найдем: AH = 1 B AB = BC AB = 5 BH =2√6 cosA = ? 5 2√6 C А H B cosA = AH/AC cosA = AH/5 5 2√6 cosA = 1/5 =0,2 H A

  50. Пример. Задача, сводимая к задаче II типа • AH = HB = 16 CH – высота, значит и медиана. • Рассмотрим ∆ CAH. Это прямоугольный треугольник, в котором дана сторона и косинус угла надо найти сторону. Это задача II типа. • Найдем АС • По теореме Пифагора найдем СH: С AC = BC AB = 32 cosA = 4/5 CH =? ? В А H C cosA = 4/5 cosA = AH/AC AH/AC = 4/5 16/AC = 4/5 AC = 20 ? H A 16

More Related