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§3 . 9 角的平分线. 一、学习目标. 1 .理解并掌握角平分线的性质定理和它的 逆定理. 2 .综合应用角平分线的性质定理和它的逆 定理进行有关证明和计算. 3 .理解并掌握角平分线的轴对称性及添加 辅助线的方法.. 二、重点难点. 本节的重点是:角平分线的性质定理和 角平分线的判定定理. 本节的难点是:综合运用角平分线的性 质定理和角平分线的判 定定理..
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一、学习目标 1.理解并掌握角平分线的性质定理和它的 逆定理. 2.综合应用角平分线的性质定理和它的逆 定理进行有关证明和计算. 3.理解并掌握角平分线的轴对称性及添加 辅助线的方法.
二、重点难点 本节的重点是:角平分线的性质定理和 角平分线的判定定理. 本节的难点是:综合运用角平分线的性 质定理和角平分线的判 定定理.
三. 新课 定理 角平分线上的点到角的两边的距离相等 逆定理 到角的两边距离相等的点在这个角的 角平分线上
三. 新课 角平分线定理是用组成这条射线上的点应满足的条件来描述的,它包含了两方面的意义: (1)定理“角平分线上的点到角的两边的距离相等”说明,凡在角的平分线上的点,都有“到角的两边距离相等”这个性质,无一例外,这就是说点的集合(角平分线)不允许有任何不满足条件的点混在其中. (2)定理“到角的两边距离相等的点在这个角的角平分线上”说明,凡具备“到角的两边距离相等”这一性质的所有的点,都在这个角的角平分线上,角平分线包含了满足条件的点的全体,这就是说,点的集合(角平分线)不应有任何遗漏.
三. 新课 定理“到角的两边距离相等的点在这个角 的角平分线上”还可以看作角平分线的判定定 理. 由于到角的两边距离相等的点一定在这 个角的平分线上,那么连结角的顶点和这个 点的射线一定是这个角的平分线.
A E F C B D 三. 新课 例1 已知:如图,△ABC中,AD平分 ∠BAC,DE⊥AB于E, DF⊥AC于F,BD=CD. 求证:∠B=∠C. 【分析】 欲证∠B=∠C,可证△BDE≌△CDF只需证明DE=DF, 这由角平分线的性质可得.
A 【证明】∵ AD平分∠BAC,DE⊥AB于E, DF⊥AC于F(已知), ∴ DE=DF(角平分线上的点到这个角的 两边距离相等). 在Rt△BDE与Rt△CDF中 ∴ Rt△BDE≌Rt△CDF(HL). ∴ ∠B=∠C(全等三角形对应角相等). E F C B D 三. 新课 例1 已知:如图,△ABC中,AD平分 ∠BAC,DE⊥AB于E, DF⊥AC于F,BD=CD. 求证:∠B=∠C.
A D B C P 三. 新课 例2 已知:如图,PB⊥AB,PC⊥AC, 且PB=PC,D是AP上一点. 求证:∠BDP=∠CDP. 【证明】(1)先证∠APB=∠APC ∵ PB⊥AB,PC⊥AC,且PB=PC(已知), ∴ ∠PAB=∠PAC (到角两边距离相等的点在这个角的平分线上). ∵ ∠APB+∠PAB=90°,∠APC+∠PAC=90° (直角三角形两锐角互余). ∴ ∠APB=∠APC(等角的余角相等).
A D B C (2)再证∠BDP=∠CDP 在△DPB和△PDC中, ∴ △DPB≌△DPC(SAS). ∴ ∠BDP=∠CDP(全等三角形对应角相等). P 三. 新课 例2 已知:如图,PB⊥AB,PC⊥AC, 且PB=PC,D是AP上一点. 求证:∠BDP=∠CDP. 接上页
A E F B C D H 三. 新课 例3 已知:如图,△ABC中,AB>AC, AD是角平分线. 求证:BD>CD. 【证明】作AH⊥BC于H, DE⊥AB于E,DF⊥AC于F. ∵ ∠DAB=∠DAC(已知), ∴ DE=DF(角平分线上的点到这个 角的两边距离相等). ∵ AB>AC(已知), ∴ AB·DE>AC·DF. ∵ AB·DE=BD·AH,AC·DF=DC·AH (三角形面积公式), ∴ BD·AH>DC·AH. ∴ BD>CD.
三. 新课 例4 如图,在△ABC中,∠ACB=90°, ∠BAC=30°, AD、CE分别为 △ABC的角平分线, AD、CE交 于点F. 求证:EF=DF. 【分析】问题:怎样证明线段EF=FD? 有几种途径? [答案]: (1)寻求分别以 EF、FD为边的三角形; (2)连结ED,证明∠DEF=∠FDE; (3)作出第三线段,证明EF和FD都和它相等.
三. 新课 例4 如图,在△ABC中,∠ACB=90°, ∠BAC=30°, AD、CE分别为 △ABC的角平分线, AD、CE交 于点F. 求证:EF=DF. 【分析】问题:在上述几种途径中, 哪一种有实现的可能? [答案]:第3种. 观察图形,直接证明EF和DF相等 困难,可考虑借助一条“中间线段”来沟通,而两条角平分线则提供了实现这一目标的条件.
例4 如图,在△ABC中,∠ACB=90°, ∠BAC=30°, AD、CE分别为 △ABC的角平分线, AD、CE交 于点F. 求证:EF=DF. 三. 新课 【证明】(1)先证∠2+∠3=120° 在AC上取点H,使AH=AE,连结FH. ∵ AD平分∠BAC,CE平分∠ACB(已知), ∴ ∠EAF=∠CAF,∠ACF=∠BCF. ∵ ∠ACB=90°,∠BAC=30°, ∴ ∠1=(∠ACB+∠BAC) =(30°+90°) =60° (三角形外角等于和它不相邻的两内角的和). ∴ ∠2+∠3=120°(邻补角定义).
(2)再证∴ ∠3=∠4=60°. 在△AEF和△AHF中, ∴ △AEF≌△AHF(SAS). ∴ EF=HF(全等三角形对应边相等). ∴ ∠2=∠1=60°(全等三角形对应角相等). 而 ∠1=∠4(对顶角相等), ∴ ∠3=∠4=60°. 例4 如图,在△ABC中,∠ACB=90°, ∠BAC=30°, AD、CE分别为 △ABC的角平分线, AD、CE交 于点F. 求证:EF=DF. 三. 新课
(3)最后证EF=DF 在△CFH和△CFD中, ∴ △CFH≌△CFD(ASA). ∴ HF=DF(全等三角形对应边相等). ∴ EF=DF. 例4 如图,在△ABC中,∠ACB=90°, ∠BAC=30°, AD、CE分别为 △ABC的角平分线, AD、CE交 于点F. 求证:EF=DF. 三. 新课
练 习 (一)填空题: 1.在△ABC中,∠A=90°,BD平分∠ABC 交AC于D,AC=5,DC=3,则D点到BC 的距离为; 2 2.如图,∠C=90°,AD平分 ∠CAB,AD=BD=2CD, BC=15cm,则D到AB的距 离为; 2.5cm
练 习 (一)填空题: 3.如图,已知BQ和CQ分别为△ABC 的内角∠ABC的平分线和∠ACB的 外角∠ACD的平分线,若Q到AC的 距离为4,则Q到AB的距离为. 4
B G C F E D A 练 习 (二)证明题: 1.如图所示,已知AD⊥CD于D, AB⊥BC于B,且AD=AB.E为 AC上一点,EF∥AD交CD于F, EG∥AB交CB于G. 求证:EF=EG. 【提示一】先证△ADC≌△ABC,得∠DAC=∠BAC,再证△FEC≌△GEC,可得EF=EG. 【提示二】利用角平分线的判定定理可知,CA 为∠BCD的平分线, 再证△FEC≌△GEC,可得EF=EG.
练 习 (二)证明题: 2.如图,已知,AC=DB,△PAC的面积与 △PBD的面积相等. 求证:OP平分∠AOB. 【提示】作PE⊥OC,PF⊥OB, 利用面积可知PE=PF,从而得 OP平分∠AOB.
练 习 (二)证明题: 3.求证:三角形的三条角平分线交于一点.