فصل دوم: ساختارهای ابتدایی: مجموعه، تابع، دنباله و تجمیع بخش 1 . 2 مجموعه ها ( Sets )

1. فصل دوم: ساختارهای ابتدایی: مجموعه، تابع، دنباله و تجمیع بخش 1.2 مجموعه ها (Sets) درس ساختمان های گسسته

2. یک مجموعه (Set) چیست؟ یک مجموعه یک مجموعه نا مرتب از اشیا است. اسامی افراد کلاس: {علی، احمد، زهرا، ...} استان های ایران: {تهران، مازندران، گیلان، ...} مجموعه می تواند شامل اجزای کاملا نا مرتبط نیز باشد: {تهران، 3، قرمز،ب} خصوصیات مجموعه ترتیب مهم نیست {1, 2, 3, 4, 5} برابر است با {3, 5, 2, 4, 1} مجموعه عضو تکراری نمی تواند داشته باشد

3. مشخص نمودن مجموعه از حروف بزرگ (A, S…) برای نام گذاری مجموعه از حروف کوچک ایتالیک (a, x, y…)برای اعضای مجموعه راه ساده نمایش: لیست نمودن همه اعضای مجموعه A = {1, 2, 3, 4, 5} ، همیشه امکان پذیر نیست ممکن است از (...) نیز استفاده شود: B = {3, 5, 7, …} ممکن است ابهام ایجاد کند If the set is all odd integers greater than 2, it is 9 If the set is all prime numbers greater than 2, it is 11 معرفي يك مجموعه با بيان خصوصيت مشترك آنهاست (set builder notation ) D = {x | x is prime and x > 2} E = {x | x is odd and x > 2}

4. مشخص نمودن مجموعه یک مجموعه شامل (contains) تعدادی اعضای (members) یا المان های (elements) متفاوت است که آن مجموعه را می سازند aA : a عنصري از مجموعه A است 4  {1, 2, 3, 4} aA : a عنصري از مجموعه A نيست. 7  {1, 2, 3, 4}

5. مثال مجموعه های پرکاربرد • مجموعه حروف صدا دار: V = {a, e, I, o, u} • مجموعه اعداد فرد زير 10:O = {1,3,5,7,9} • مجموعه: T ={ a,2,Fred,New Jersey} • اعداد طبيعي : N = { 0, 1, 2, 3,…} • اعدادصحيح : Z = {…,-2,-1,0,1,2,…} • اعداد صحيح مثبت: Z+ = {1,2,3,…} • اعداد گويا: Q={ p/q | p∈Z, q∈Z, q≠0} • اعداد حقيقي R

6. نمودار ون (Venn diagrams) نمایش گرافیکی مجموعه ها مستطیل بیرونی مجموعه عالم را نشان می دهد دایره یک مجموعه را نمایش می دهد S مجموعه حروف صدا دار در زبان انگلیسی را نشان می دهد معمولا اعضای مجموعه در نمودار نوشته نمی شود c b d f U g h j S m k l n p q e i a r s t o u v w x y z

7. مجموعه ای از مجموعه ها S = { {1}, {2}, {3} } T = { {1}, {{2}}, {{{3}}} } V = { {{1}, {{2}}}, {{{3}}}, { {1}, {{2}}, {{{3}}} } } تعداد اعضای مجموعه V سه تا است 1 ≠ {1} ≠ {{1}} ≠ {{{1}}}

8. مجموعه تهی اگر تعداد اعضای یک مجموعه صفر باشد به آن مجموعه مجموعه تهی (empty یا null) می گوییم علامت:  = { } تهی خود می تواند عضو یک مجموعه باشد { , 1, 2, 3, x }  ≠ {  } { } ≠ {{ }} {} = {{ }}

9. تساوی مجموعه ها (Set Equality) و زیر مجموعه (Subsets) اگر دو مجموعه اعضای کاملا یکسان داشته باشند با هم مساوی هستند {1, 2, 3, 4, 5} = {5, 4, 3, 2, 1} {1, 2, 3, 2, 4, 3, 2, 1} = {4, 3, 2, 1} {1, 2, 3, 4, 5} ≠ {1, 2, 3, 4} مجموعه Sزير مجموعهT است، اگر و فقط اگر هر عضوي از S عضوي از T نيز باشد. اگر S = {2, 4, 6}و T = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7}S زیرمجموعه T است صورت نمایش: S  T به بیان دیگر  x (x  S  x  T) برای هر مجموعه S داریم: S  S (S S  S) برای هر مجموعه S داریم:  S (S  S)

10. مجموعه S زير مجموعه محض (proper subset) T است، اگر و فقط S زير مجموعه T باشد و. S⊂ T T = {0, 1, 2, 3, 4, 5} S = {1, 2, 3} S≠ T و S  T نمایش: S  T زیرمجموعه محض (Proper Subsets)

11. مثال Real Numbers R Rational Numbers Q Irrational Numbers H Integers Z Whole numbers W Natural Numbers N

12. Set cardinality اگر S يك مجموعه باشد و n تعداد عناصر متمايز مجموعه S كه n عدد صحيح نامنفي است، گوييمS يك مجموعه محدود و n، Cardinality مجموعه S است و با |S| نشان مي دهيم. R = {1, 2, 3, 4, 5}. |R| = 5 || = 0 S = {, {a}, {b}, {a, b}}. |S| = 4 مثال: اگرA مجموعه اعداد صحيح مثبت فرد كمتر از 10 باشد. مثال: اگرS مجموعه حروف الفباي انگليسي باشد. يك مجموعه نامحدود است اگر تعداد اعضای محدود نباشد.(infinite) مثال: مجموعه اعداد صحيح مثبت

13. مجموعه توانی (Power Sets) تمام زیر مجموعه های مجموعه S = {0, 1}, {0}, {1}, {0, 1}  زیر مجموعه تمام مجموعه ها است مجموعه توانی یک مجموعه S، مجموعه تمام زیر مجموعه های آن مجموعه است که آن را با P(S) نمایش می دهیم. P(S) = { , {0}, {1}, {0,1} } -- |S| = 2 و |P(S)| = 4 T = {0, 1, 2}. P(T) = { , {0}, {1}, {2}, {0,1}, {0,2}, {1,2}, {0,1,2} } |T| = 3 و |P(T)| = 8 P() = {  } -- || = 0 و |P()| = 1 مجموعه توانی یک مجموعه با n عضو، 2nعضو دارد.

14. تاپل ها (Tuples) در فضای دو بعدی (2-dimensional space) ما از زوج (x, y) برای برای مشخص نمودن یک نقطه استفاده می کنیم در فضای سه بعدی (3-dimensional space) ما از سه تایی (x, y, z) برای برای مشخص نمودن یک نقطه استفاده می کنیم (1,2,3) ≠ (3,2,1) یک فضای n بعدی (n-dimensional space) یک تاپل n تایی (n-tuple) از اعضا است Three-dimensional space uses triples, or 3-tuples توجه کنید که در این تاپل ها برعکس مجموعه ها ترتیب مهم است همیشه xاولین عنصر است +y (2,3) +x

15. تاپل ها (Tuples) • تاپل nتايي مرتب (a1, a2 ,… , an) مجموعه مرتبي است كه a1 اولين عنصر، a2 دومين عنصر ،...، وann امين عنصر است. • گوييم دو تاپل nتايي مرتب مساوي هستند اگر همه اعضاي نظير به نظير آن مساوي باشند. • به تاپل 2تايي مرتب، زوج مرتب مي گوييم.

16. ضرب کارتزین (Cartesian products) • فرض كنيد A وB مجموعه باشند ضرب كارتزينA وB كه با A✕B نشان داده مي شود • A x B = { (a,b) | a A and b  B } • A = { a, b } و B = { 0, 1 } • C = A x B = { (a,0), (a,1), (b,0), (b,1) }

17. ضرب کارتزین (Cartesian products) S = { Alice, Bob, Chris } و G = { A, B, C } D = { (Alice, A), (Alice, B), (Alice, C), (Bob, A), (Bob, B), (Bob, C), (Chris, A), (Chris, B), (Chris, C) } یک زیرمجموعه از مجموعه حاصل از ضرب کارتزین را رابطه (relation) نیز می نامند

18. فصل دوم: ساختارهای ابتدایی: مجموعه، تابع، دنباله و تجمیع بخش 2.2عملیات مجموعه (Set Operations)

19. عملیات بر روی مجموعه • اجتماع (Union) • اشتراک (Intersection) • تفاضل (Difference)

20. اجتماع (Union) A U B = { x | x A orx B } مثال {1, 2, 3} U {3, 4, 5} = {1, 2, 3, 4, 5} {a, b} U {3, 4} = {a, b, 3, 4} {1, 2} U  = {1, 2} خصوصیات اجتماع A U  = A Identity law A U U = U Domination law A U A = A Idempotent law A U B = B U A Commutative law A U (B U C) = (A U B) U C Associative law A

21. اشتراک (Intersection) A ∩ B = { x | x A andx B } مثال {1, 2, 3} ∩ {3, 4, 5} = {3} {a, b} ∩ {3, 4} =  {1, 2} ∩  =  خصوصیات اشتراک A ∩U = A Identity law A ∩  =  Domination law A ∩ A = A Idempotent law A ∩ B = B ∩ A Commutative law A ∩ (B ∩ C) = (A ∩ B) ∩ C Associative law U B A

22. مجموعه های مجزا (Disjoint sets) دو مجموعه مجزا هستند وقتی اشتراک دو مجموعه تهی باشد. مثال: {1, 2, 3} and {3, 4, 5} are not disjoint {a, b} and {3, 4} are disjoint {1, 2} and  are disjoint  and  are disjoint!

23. A - B = { x | x A andx B } مثال: {1, 2, 3} - {3, 4, 5} = {1, 2} {a, b} - {3, 4} = {a, b} {1, 2} -  = {1, 2} خصوصیات اشتراک A -U =  A -  = A A - A =  A - B ≠ B - A A - (B - C) ≠ (A - B) - C تفاضل (Difference) U A A B

24. تفاضل متقارن (Symmetric Difference) U B A

25. مجموعه مکمل (Complement set) U – A = { x | x A } = Ac = A مثال: (فرض می کنیم U = Z) {1, 2, 3}c = { …, -2, -1, 0, 4, 5, 6, … } {a, b}c = Z خصوصیات مجموعه مکمل (Ac)c= A Complementation law A U Ac = U Complement law A ∩ Ac =  Complement law U A A

26. خصوصیات مجموعه ها (Set identities)

27. چگونه می توان خصوصیات مجموعه ها را اثبات نمود؟ برای مثال A∩B=B-(B-A) چهار روش وجود دارد استفاده از خصوصیات پایه ای تر استفاده از جداول عضویت ثابت کنیم هر کدام از دو طرف تساوی زیر مجموعه دیگری است استفاده از set builder notation و هم ارزی منطقی

28. می خواهیم ثابت کنیم A∩B=B-(B-A) U A B A∩B = B-A B-(B-A)

29. اثبات به کمک خصوصیات پایه ای مجموعه ها A  B = A - (A - B) اثبات A - (A - B) = A - (A  Bc) = A  (A  Bc)c = A  (Ac B) = (A  Ac)  (A  B) =  (A  B) = A  B

30. اثبات به کمک زیر مجموعه بودن و هم ارزی منطقی (A  B)c = Ac Bc برای اثبات باید در دو حالت زیر را نشان دهیم که درست است (A  B)c Ac Bcand (A  B)c Ac Bc x  (A  B)c  x (A  B)  (x  A  B)  (x  A  x  B)  (x  A)  (x  B)  x  A  x  B  x  Ac x  Bc  x  Ac Bc  x (x (A  B)c x Ac Bc)  (A  B)c Ac Bc

31. استفاده از جداول عضویت • اثبات (AB)B = AB

32. چند مثال نشان دهید (AUB)  (AUBUC) (A∩B∩C)  (A∩B) (A-B)-C  A-C (A-C) ∩ (C-B) = 

33. اشتراک و اجتماع عمومیت یافته(Generalized) • اجتماع دسته ای از مجموعه ها مجموعه ای است که شامل عناصری است که حداقل عضو یکی از این مجموعه ها باشند. • اشتراک دسته ای از مجموعه ها مجموعه ای است که شامل عناصری است که عضو همه این مجموعه ها باشند.